第八章第二节直线的方程

第二节 直线的方程一、直线方程的形式及适用条件一、直线方程的形式及适用条件名称名称几何条件几何条件方程方程局限性局限性点斜式点斜式过点点(x0，y0)，斜率斜率为k不含不含 的直的直线斜截式斜截式斜率斜率为k，纵截截距距为b不含不含 的直的直线yy0k(xx0)ykxb垂直于垂直于x轴垂直于垂直于x轴名称名称几何条件几何条件方程方程局限性局限性两点式两点式过两点两点(x1，y1)，(x2，y2)，(x1x2，y1y2)不包括不包括 的直的直线截距式截距式在在x轴、y轴上上的截距分的截距分别为a，b(a，b0)不包括不包括 和和 的直的直线AxBy C0(A，B不全不全为0)垂直于坐垂直于坐标轴垂直于垂直于坐坐标轴过原点原点一般式一般式过两点过两点P1（x1,y1），），P2(x2,y2)的直线是否一定可用的直线是否一定可用两点式方程表示？两点式方程表示？提示：提示：不一定不一定.(1)若若x1=x2且且y1y2,直线垂直于直线垂直于x轴，方程为轴，方程为x=x1.(2)若若x1x2且且y1=y2，直线垂直于，直线垂直于y轴，方程为轴，方程为y=y1.(3)若若x1x2且且y1y2,直线方程可用两点式表示直线方程可用两点式表示.二、线段的中点坐标公式二、线段的中点坐标公式若点若点P1，P2的坐标分别为的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，且线段，且线段P1P2的中点的中点M的坐标为的坐标为(x，y)，则，则1过点过点A(3,1)，倾斜角的余弦为，倾斜角的余弦为0的直线方程是的直线方程是()Ax3By1Cy3Dx1解析：解析：由已知由已知cos0，x3.答案：答案：A2如果如果AC0，且，且BC0，那么直线，那么直线AxByC0不通过不通过()A第一象限第一象限B第二象限第二象限C第三象限第三象限D第四象限第四象限解析：解析：由由AC0，BC0，直线过一、二、四象限直线过一、二、四象限答案：答案：C3过点过点(1.3)且垂直于直线且垂直于直线x2y30的直线方程为的直线方程为()A2xy10B2xy50Cx2y50Dx2y70解析：解析：直线直线x2y30的斜率为的斜率为k，则所求直线，则所求直线的斜率为的斜率为2，故所求直线方程为，故所求直线方程为y32(x1)，即，即2xy10.答案：答案：A4已知直线的倾斜角是已知直线的倾斜角是60，在，在y轴上的截距是轴上的截距是5，则该直，则该直线的方程为线的方程为_解析：解析：因为直线的倾斜角是因为直线的倾斜角是60，所以直线的斜率为，所以直线的斜率为ktan60，又因为直线在，又因为直线在y轴上的截距是轴上的截距是5，由斜截式，由斜截式，得直线的方程为得直线的方程为y5.答案：答案：y55已知直线已知直线l过点过点P(2,3)，它的一个方向向量为，它的一个方向向量为a(2,4)，则直线则直线l的方程为的方程为_解析：解析：由已知由已知k2，l：y32(x2)，即即2xy70.答案：答案：2xy701用待定系数法求直线方程的步骤：用待定系数法求直线方程的步骤：(1)设所求直线方程的某种形式设所求直线方程的某种形式(2)由条件建立所求参数的方程由条件建立所求参数的方程(组组)(3)解这个方程解这个方程(组组)求参数求参数(4)把所求的参数值代入所设直线方程把所求的参数值代入所设直线方程2求直线方程时，首先分析具备什么样的条件；然后恰求直线方程时，首先分析具备什么样的条件；然后恰当地选用直线方程的形式准确写出直线方程要注意若当地选用直线方程的形式准确写出直线方程要注意若不能断定直线具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以不能断定直线具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论在用截距式时，应先判断截距是否为讨论在用截距式时，应先判断截距是否为0.若不确定，若不确定，则需分类讨论则需分类讨论 ABC的三个顶点为的三个顶点为A(3,0)，B(2,1)，C(2,3)，求：，求：(1)BC所在直线的方程；所在直线的方程；(2)BC边上中线边上中线AD所在直线的方程；所在直线的方程；(3)BC边上的垂直平分线边上的垂直平分线DE的方程的方程结合所结合所给条件选择适当的直线方程求解结合所结合所给条件选择适当的直线方程求解.【解解】(1)因为直线因为直线BC经过经过B(2,1)和和C(2,3)两点，由两点两点，由两点式得式得BC的方程为的方程为即即x2y40.(2)设设BC中点中点D的坐标的坐标(x，y)，则，则BC边的中线边的中线AD过点过点A(3,0)，D(0,2)两点，由截距式得两点，由截距式得AD所所在直线方程为在直线方程为即即2x3y60.(3)BC的斜率的斜率k1，则，则BC的垂直平分线的垂直平分线DE的斜率的斜率k22，由斜截式得直线，由斜截式得直线DE的方程为的方程为y2x2.1在本例条件下，求过在本例条件下，求过B点且与点且与AC平行的直线方程平行的直线方程解：解：所求直线的斜率为所求直线的斜率为3.又过点又过点B(2,1)，所求直线方程为所求直线方程为y13(x2)即即3xy50.1“截距截距”与与“距离距离”是两个不同的概念，横截距是指直线与是两个不同的概念，横截距是指直线与 x轴的交点的横坐标，纵截距是指直线与轴的交点的横坐标，纵截距是指直线与y轴交点的纵坐轴交点的纵坐标截距可以为任意实数，而距离是大于或等于零的标截距可以为任意实数，而距离是大于或等于零的实数实数2题目中凡涉及题目中凡涉及“截距相等截距相等”、“截距互为相反数截距互为相反数”、“截距截距的绝对值相等的绝对值相等”等条件时，一定要考虑截距为零的情等条件时，一定要考虑截距为零的情形截距要加绝对值符号后才能成为线段的长度形截距要加绝对值符号后才能成为线段的长度已知直线已知直线l过点过点P(3,2)，且与，且与x轴、轴、y轴的正半轴轴的正半轴分别交于分别交于A、B两点，如右图所示，求两点，如右图所示，求ABO的面积的最小的面积的最小值及此时直线值及此时直线l的方程的方程先建立先建立AB所在直线方程所在直线方程,再求出再求出A,B两点的坐标两点的坐标,表表示出示出ABO的面积的面积,然后利用相关的数学知识求最然后利用相关的数学知识求最值值.【解解】法一：法一：设设A(a,0)，B(0，b)(a0，b0)，则直线则直线l的方程为的方程为 l过点过点P(3,2)，从而从而故有故有当且仅当当且仅当a3即即a6时，时，(S ABO)min12，此时，此时b=直线直线l的方程为的方程为=1,即即2x3y120.法二：法二：设直线方程为设直线方程为代入代入P(3,2)得得得得ab24，从而，从而S AOBab12，此时此时 方程为方程为2x3y120.法三：法三：依题意知，直线依题意知，直线l的斜率存在的斜率存在设直线设直线l的方程为的方程为y2k(x3)(k0)，则有则有A(3，0)，B(0,23k)，当且仅当当且仅当9k时，时，即即k时，等号成立，时，等号成立，故所求直线的方程为故所求直线的方程为2x3y120.2在本例条件下，求在本例条件下，求l在两轴上的截距之和最小时直线在两轴上的截距之和最小时直线l 的方程的方程解：法一：解：法一：设设l的斜率为的斜率为k，则，则l的方程为的方程为yk(x3)2，令，令x0得得B(0,23k)，令，令y0得得A(3，0)，l在两轴上的截距之和为在两轴上的截距之和为52(当且仅当当且仅当k时，等号成立时，等号成立)k时，时，l在两轴上截距之和最小，此时在两轴上截距之和最小，此时l的方程为的方程为法二：法二：设设A(a,0)，B(0，b)(a0，b0)，则直线，则直线l的方程为的方程为故当且仅当故当且仅当即即时截距之和最小，此时时截距之和最小，此时l的方程为的方程为x3y360.a+ba+b=(=(a+ba+b)用解析法解决实际问题，就是在实际中建立直角用解析法解决实际问题，就是在实际中建立直角坐标系，用坐标表示点，用方程表示曲线，从而把问题坐标系，用坐标表示点，用方程表示曲线，从而把问题化为代数问题，利用代数的方法使问题得到解决化为代数问题，利用代数的方法使问题得到解决在路边安装路灯，路宽在路边安装路灯，路宽23m，灯杆长，灯杆长2.5m，且与灯柱成角且与灯柱成角120，路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与灯，路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与灯杆垂直当灯柱高为多少米时，灯罩轴线正好通过道路杆垂直当灯柱高为多少米时，灯罩轴线正好通过道路路面的中线？路面的中线？(精确到精确到0.01m)本题是实际应用问题，首先通过作图建立直角本题是实际应用问题，首先通过作图建立直角坐标系，从而化归为数学问题解决坐标系，从而化归为数学问题解决.【解解】记灯柱顶端为记灯柱顶端为B，灯罩顶为，灯罩顶为A，灯杆为，灯杆为AB，灯罩轴，灯罩轴线与道路中线交于点线与道路中线交于点C.以灯柱底端以灯柱底端O为原点，灯柱为为原点，灯柱为y轴，轴，建立如图所示的直角坐标系点建立如图所示的直角坐标系点B的坐标为的坐标为(0，h)，点，点C的的坐标为坐标为(11.5,0)OBA120，直线直线BA的倾斜角为的倾斜角为30，则点则点A的坐标为的坐标为(2.5cos30，h2.5sin30)，即，即(1.25，h1.25)，CA BA，KCA由直线的点斜式方程，由直线的点斜式方程，得得CA的方程为的方程为y(h1.25)(x1.25)，灯罩轴线灯罩轴线CA过点过点C(11.5,0)，(h1.25)(11.51.25)，解得解得h14.92(m)故灯柱高约为故灯柱高约为14.92m.3一根弹簧，挂一根弹簧，挂5kg的物体，长的物体，长10cm，挂，挂8kg的物体时的物体时长长16cm，已知弹簧长度，已知弹簧长度l(cm)和所挂物体的重量和所挂物体的重量W(kg)的的关系可以用直线方程来表示，用两点式表示这个方程，关系可以用直线方程来表示，用两点式表示这个方程，并且根据这个方程，求弹簧长为并且根据这个方程，求弹簧长为12cm时所挂物体的时所挂物体的重量重量解：解：以以W为横坐标为横坐标l为纵坐标，则由题意知直线过点为纵坐标，则由题意知直线过点(5,10)和和点点(8,16)，由直线的两点式方程得所求方程为：，由直线的两点式方程得所求方程为：把把l12代入得代入得 W6，即弹簧长为，即弹簧长为12cm时所挂物体的重量为时所挂物体的重量为6kg.直线方程问题在高考中是每年必考内容，大致考查直线方程问题在高考中是每年必考内容，大致考查方式有：方式有：（1）在选择、填空中与平行、垂直的条件相结合求）在选择、填空中与平行、垂直的条件相结合求直线方程直线方程.（2）与圆相联系，涉及圆的切线、弦长问题考查直）与圆相联系，涉及圆的切线、弦长问题考查直线方程的应用线方程的应用.（3）在解答题中考查直线与圆锥曲线的位置关系，）在解答题中考查直线与圆锥曲线的位置关系，多用点斜式和斜截式多用点斜式和斜截式.2009年安徽卷在选择题中将垂直年安徽卷在选择题中将垂直关系与直线方程的求法相结合进行考查，难度不大关系与直线方程的求法相结合进行考查，难度不大.属属容易题容易题.(2009安徽高考安徽高考)直线直线l过点过点(1,2)且与直线且与直线2x3y40垂垂直，则直，则l的方程是的方程是()A3x2y10B3x2y70C2x3y50D2x3y80解析解析法一：法一：由直线由直线2x3y40得其斜率为得其斜率为.k2.又又l过点过点(1,2)，l：y2(x1)即即3x2y10.法二：法二：设设l的方程为的方程为3x2ym0.l过点过点(1,2)代入，代入，m1.即方程为即方程为3x2y10.答案答案A本例解法二中采用了与已知直线本例解法二中采用了与已知直线AxByC0垂直的直垂直的直线方程可设为线方程可设为BxAym0，注意应用，注意应用