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第九章直线、平面、简单的几何体 1. 如图，已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2， AB=4. (1)求直线PQ与平面 ADQ所成的角; (2)求异面直线AQ与PB所成的角.题型4 空间角的计算第二课时 解：(1)连结AC、BD，设其交点为O，则PO平面ABCD，QO平面ABCD，从而P、O、Q三点共线. 分别以直线CA、DB、QP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图)，则由已知可得A( ，0，0)，Q(0，0，-2)，D(0，- ，0)，P(0，0，1). 22 22 所以 =(0，0，-3)， =(- ，0，-2)， =(0， ，-2).设n=(x，y，z)是平面ADQ的一个法向量.由 ，得取x=1，则z=- ，y=-1，所以n=(1，-1，- ).PQAQ 22DQ 22 00DQn AQn 0222 0222 zy zx2 2 设直线PQ与平面ADQ所成的角为，则sin=|cosn， |所以= .故直线PQ与平面ADQ所成的角为 .(2)因为B(0， ，0)，所以 =(0， ，-1).又 =(- ，0，-2)，所以cos ， = .故异面直线AQ与PB所成的角为arccos .PQ 22 |PQn PQn|4 422 22PBAQ 22 AQ PB 93PBAQ PBAQ 93 点评：两向量的夹角公式可直接用来求两直线的夹角；而线面角可转化为直线对应的向量与平面的法向量所成的角；二面角可转化为两个平面的法向量所成的角.另外还需注意所求角与两向量夹角之间的关系. 如图，在长方体ABCD-A1 B1 C1D1中，已知AB=4，AD=3，AA1=2.E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB=FB=1. (1)求二面角C-DE-C1的正切值； (2)求直线EC1与FD1所成角的余弦值. 解：(1)以A为原点，AB,AD,AA1分别为x轴，y轴，z轴的正向，建立空间直角坐标系A-xyz. 则有D(0，3，0)、D1(0，3，2)、E(3，0，0)、F(4，1，0)、C1(4，3，2).于是 =(3,-3,0), =(1,3,2), =(-4,2,2).设向量n=(x,y,z)与平面C1DE垂直，则有 取z=2,则n=(-1,-1,2).则n是一个与平面C1DE垂直的向量.DE 1EC 1FD 1ECn DEn 21023 033 yxzyx yx 因为向量 =(0，0，2)与平面CDE垂直 观察图形知，n与 所成的角即为二面角C-DE-C1的平面角. 因为cos= 所以tan= . 所以二面角C-DE-C1的正切值为 . (2)设EC1与FD1所成的角为，则1AA 1AA 36400411 22010111 AAn AAn22 22 1 1 2 2 2 2 2 21 1 1 4 3 2 2 2 21cos 141 3 2 4 2 2EC FD (- ) EC FD ( ) 2. 长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=6，AA1=4，M是A1C1的中点，P在线段BC上，且CP=2，Q是DD1的中点，求： (1)点M到直线PQ的距离; (2)点M到平面AB1P的距离. 解：(1)如图所示，建立空间直角坐标系B-xyz，则A(4，0，0)，M(2，3，4)，P(0，4，0)，Q(4，6，2). 题型5 空间距离的计算 因为 =(-2，-3，2)， =(-4，-2，-2)，所以 在 上的射影长为故点M到PQ的距离为QMOP QM OP 6652410224 222342 222 )()()( )(-)(-)(-)(-)(-QPQPQM .-)-(|MQ|d 646262517665 22 (2)设n=(x，y，z)是平面AB1P的法向量，则n ，n .因为 =(-4，0，4)， =(-4，4，0)，所以.因此可取n=(1，1，1).由于 =(2，-3，-4)，那么点M到平面AB1P的距离为1AB 点评：利用求向量的长度可求两点间的距离，而点到直线的距离或点到平面的距离可转化为向量的投影长度问题. .|)(-)(-|n n|MA|d 3353 141312 AP1AB AP 044 044 yx- zx-1AB 在四棱锥P-ABCD中，底面AB C D为矩形，侧棱PA底面ABCD，AB = ，BC=1，PA=2，E为PD的中点. (1)在侧面PAB内找一点N，使NE平面PAC，并求出点N到AB和AP的距离； (2)求(1)中的点N到平面PAC的距离.3 解：(1)建立空间直角坐标系，如图.则A、B、C、D、P、E的坐标分别是A(0,0,0)、B( ,0,0)、C( ,1,0)、D(0,1,0)、P(0,0,2)、E(0, ,1).依题意设N(x,0,z)，则 =(-x, ,1-z).由于 平面PAC，所以3 321 NE 21NE ,ACNE APNE 00 则 ，即解得 ，即点N的坐标为( ,0,1)，从而点N到AB、AP的距离分别为1， .(2)设点N到平面PAC的距离为d，则 0013(121 0200(121 ),-z),(-x, ),-z),(-x, ,x - z- 0213 01 163zx 63 633 3 10 1 0 1 36 6 2 3 12 123 1 06 2|( , , ) (- , , )| AN NE|d NE ( , , ) 1. 运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题时，一般步骤为： (1)建立恰当的空间直角坐标系(例如:底面是矩形的直四棱柱，以底面其中一个顶点为原点建立空间直角坐标系；底面是菱形的直四棱柱，往往以底面对角线的交点为原点建立空间直角坐标系); (2)求出相关点的坐标； (3)写出向量的坐标; (4)结合公式进行论证、计算; (5)转化为几何结论. 建立空间直角坐标系，必须牢牢抓住相交于同一点的两两垂直的三条直线，要在题目中找出或构造出这样的三条直线，因此，要充分利用题目中所给的垂直关系(即线线垂直、线面垂直、面面垂直)，同时要注意，所建立的坐标系必须是右手空间直角坐标系. 2. 求空间角和距离有如下一些基本原理： (1)平面的法向量的求法：设n=(x，y，z)，利用n与平面内的两个不共线向量a，b垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，联立后取一组解(如图1). (2)线面角的求法：设n是平面的法向量， 是直线l的方向向量，则直线l与平面所成的角为 (如图2). (3)二面角的求法： AB、CD分别是二面角-l-的两个半平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小为 ， (如图3). 设n1，n2是二面角-l-的两个平面、的法向量，则就是二面角的平面角或其补角(如图4).AB nAB |nAB|arcsin AB CD 21 2121 arccos nn nn,nn (4)异面直线间的距离的求法：l1、l2是两条异面直线，n是l1、l2的公垂线段AB的方向向量，又C、D分别是l1、l2上的任意两点，则 (如图5).n n|CD|AB| (5)点面距离的求法：设n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线段，则点B到平面的距离为 (如图6). (6)线面距离、面面距离均可转化为点面距离，用(5)中方法求解. n nAB|
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