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暨南大学珠海学院第七章第七章 微分方程微分方程 积分问题积分问题 微分方程问题微分方程问题 推广 第七章 第七章 微分方程 积分问题 微分方程问题 推广 暨南大学珠海学院第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 与一阶微分方程解法与一阶微分方程解法 一阶微分方程的基本概念与解法一阶微分方程的基本概念与解法引例引例 几何问题几何问题物理问题物理问题 第七章 第一节 微分方程的基本概念一阶微分方程的基本概念与解法引例暨南大学珠海学院引例引例1.一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的解解:设所求曲线方程为 y=y(x),则有如下关系式:(C为任意常数)由 得 C=1,因此所求曲线方程为由 得切线斜率为 2x,求该曲线的方程.引例1.一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的解:暨南大学珠海学院引例引例2.列车在平直路上以的速度行驶,制动时获得加速度求制动后列车的运动规律.解解:设列车在制动后 t 秒行驶了s 米,已知由前一式两次积分,可得利用后两式可得因此所求运动规律为说明说明:利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能停住,以及制动后行驶了多少路程.即求 s=s(t).引例2.列车在平直路上以的速度行驶,制动时获得加速度求制暨南大学珠海学院常微分方程偏微分方程含未知函数及其导数的方程叫做微分方程微分方程.方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程(本章内容)(n 阶显式微分方程)一、微分方程的基本概念一、微分方程的基本概念一般地,n 阶常微分方程的形式是的阶阶.分类或常微分方程偏微分方程含未知函数及其导数的方程叫做微分方程.暨南大学珠海学院引例2 使方程成为恒等式的函数.通解通解 解中所含独立的任意常数的个数与方程 确定通解中任意常数的条件.n 阶方程的初始条件初始条件(或初值条件或初值条件):的阶数相同.特解特解引例1 通解:特解:微分方程的解解 不含任意常数的解,定解条件定解条件 其图形称为积分曲线积分曲线.其图形称为积分曲线族积分曲线族.引例2 使方程成为恒等式的函数.通解 解中所含独立的任意暨南大学珠海学院例例1.验证函数是微分方程的解,的特解.解解:这说明是方程的解.是两个独立的任意常数,利用初始条件易得:故所求特解为故它是方程的通解.并求满足初始条件 例1.验证函数是微分方程的解,的特解.解:这说明是暨南大学珠海学院求所满足的微分方程.例例2.已知曲线上点 P(x,y)处的法线与 x 轴交点为 Q解解:如图所示,令 Y=0,得 Q 点的横坐标即点 P(x,y)处的法线方程为且线段 PQ 被 y 轴平分,求所满足的微分方程.例2.已知曲线上点 P(x,y)暨南大学珠海学院1、可分离变量微分方程 或或 可分离可分离变量方程。变量方程。形如形如的微分方程的微分方程称为称为解法：可分离变量方程的解法解法：可分离变量方程的解法:两边积分,得 则有称为方程的隐式通解.二、一阶微分方程的解法二、一阶微分方程的解法1、可分离变量微分方程 或 可分离变量方程。形如的微分方程暨南大学珠海学院例例1.求微分方程的通解.解解:分离变量得两边积分得即(C 为任意常数)或说明说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式含分离变量时丢失的解 y=0)例1.求微分方程的通解.解:分离变量得两边积分得即(暨南大学珠海学院例例2.解初值问题解解:分离变量得两边积分得即由初始条件得 C=1,(C 为任意常数)故所求特解为例2.解初值问题解:分离变量得两边积分得即由初始条件得暨南大学珠海学院例例3.求下述微分方程的通解:解解:令 则故有即解得(C 为任意常数)所求通解:例3.求下述微分方程的通解:解:令 则故有即解得(暨南大学珠海学院练习练习:解法解法 1 分离变量即(C 0 )解法解法 2故有积分(C 为任意常数)所求通解:练习:解法 1 分离变量即(C 0 )解法 2故有暨南大学珠海学院例例4.子的含量 M 成正比,求在衰变过程中铀含量 M(t)随时间 t 的变化规律.解解:根据题意,有(初始条件)对方程分离变量,即利用初始条件,得故所求铀的变化规律为然后积分:已知 t=0 时铀的含量为已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原例4.子的含量 M 成正比,求在衰变过程中铀含量 M(t)暨南大学珠海学院例例5.成正比,求解解:根据牛顿第二定律列方程初始条件为对方程分离变量,然后积分:得利用初始条件,得代入上式后化简,得特解并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 降落伞下落速度与时间的函数关系.t 足够大时例5.成正比,求解:根据牛顿第二定律列方程初始条件为对方程暨南大学珠海学院2、齐次方程、齐次方程形如的方程叫做齐次方程齐次方程.令代入原方程得两边积分,得积分后再用代替 u,便得原方程的通解.解法:分离变量:2、齐次方程形如的方程叫做齐次方程.令代入原方程得两边积分暨南大学珠海学院例例1.解微分方程解解:代入原方程得分离变量两边积分得故原方程的通解为(当 C=0 时,y=0 也是方程的解)(C 为任意常数)例1.解微分方程解:代入原方程得分离变量两边积分得故原方程暨南大学珠海学院例例2.解微分方程解解:则有分离变量积分得代回原变量得通解即说明说明:显然 x=0,y=0,y=x 也是原方程的解,但在(C 为任意常数)求解过程中丢失了.例2.解微分方程解:则有分离变量积分得代回原变量得通解即暨南大学珠海学院3、一阶线性微分方程、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:若 Q(x)0,若 Q(x)0,称为非齐次方程非齐次方程.1.解齐次方程分离变量两边积分得故通解为称为齐次方程齐次方程;3、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:若 Q(x)暨南大学珠海学院对应齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解2.解非齐次方程用常数变易法常数变易法:则故原方程的通解即即作变换两端积分得对应齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解2.解非齐次方程暨南大学珠海学院例例1.解方程 解解:先解即积分得即用常数变易法常数变易法求特解.令则代入非齐次方程得解得故原方程通解为例1.解方程 解:先解即积分得即用常数变易法求特解.暨南大学珠海学院4、伯努利、伯努利(Bernoulli)方程方程 伯努利方程的标准形式:令求出此方程通解后,除方程两边,得换回原变量即得伯努利方程的通解.解法解法:(线性方程)4、伯努利(Bernoulli)方程 伯努利方程的标准暨南大学珠海学院例例4.求方程的通解.解解:令则方程变形为其通解为将代入,得原方程通解:例4.求方程的通解.解:令则方程变形为其通解为将代入,暨南大学珠海学院一、可降阶高阶微分方程一、可降阶高阶微分方程 第七章 二、线性微分方程解的结构二、线性微分方程解的结构第二节第二节一、可降阶高阶微分方程 第七章 二、线性微分方程解的结构第暨南大学珠海学院一、可降阶的高阶微分方程 1、型的微分方程2、型的微分方程3、型的微分方程一、可降阶的高阶微分方程 1、型的微分方暨南大学珠海学院1、令因此即同理可得依次通过 n 次积分,可得含 n 个任意常数的通解.型的微分方程型的微分方程 一、可降阶高阶微分方程一、可降阶高阶微分方程 1、令因此即同理可得依次通过 n 次积分,可得含 n 个任暨南大学珠海学院例例1.解解:例1.解:暨南大学珠海学院型的微分方程型的微分方程 设原方程化为一阶方程设其通解为则得再一次积分,得原方程的通解2、型的微分方程 设原方程化为一阶方程设其通解为则得再一次积分,暨南大学珠海学院例例2.求解解解:代入方程得分离变量积分得利用于是有两端再积分得利用因此所求特解为例2.求解解:代入方程得分离变量积分得利用于是有两端再积暨南大学珠海学院3、型的微分方程型的微分方程 令故方程化为设其通解为即得分离变量后积分,得原方程的通解3、型的微分方程 令故方程化为设其通解为即得分离变量后积分,暨南大学珠海学院例例3.求解代入方程得两端积分得(一阶线性齐次方程)故所求通解为解解:例3.求解代入方程得两端积分得(一阶线性齐次方程)故所求通暨南大学珠海学院例例4.解初值问题解解:令代入方程得积分得利用初始条件,根据积分得故所求特解为得例4.解初值问题解:令代入方程得积分得利用初始条件,根据暨南大学珠海学院为曲边的曲边梯形面积上述两直线与 x 轴围成的三角形面例例4.二阶可导,且上任一点 P(x,y)作该曲线的切线及 x 轴的垂线,区间 0,x 上以解解:于是在点 P(x,y)处的切线倾角为,满足的方程.积记为(99 考研考研 )为曲边的曲边梯形面积上述两直线与 x 轴围成的三角形面例4.暨南大学珠海学院再利用 y(0)=1 得利用得两边对 x 求导,得定解条件为方程化为利用定解条件得得故所求曲线方程为再利用 y(0)=1 得利用得两边对 x 求导,得定暨南大学珠海学院二、二、高阶线性微分方程高阶线性微分方程 解的结构解的结构 2、线性齐次方程解的结构、线性齐次方程解的结构 3、线性非齐次方程解的结构、线性非齐次方程解的结构 1、二阶线性微分方程、二阶线性微分方程 第七章 二、高阶线性微分方程2、线性齐次方程解的结构 3、线性非齐暨南大学珠海学院的方程，叫二阶线性微分方程。的方程，叫二阶线性微分方程。二阶线性齐次微分方程二阶线性齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程的方程，叫的方程，叫 n 阶线性微分方程。阶线性微分方程。1 1、二阶线性微分方程的概念、二阶线性微分方程的概念形如形如一般地，形如一般地，形如二、高阶线性微分方程解的结构 的方程，叫二阶线性微分方程。二阶线性齐次微分方程二阶线性非齐暨南大学珠海学院证毕2、线性齐次方程解的结构、线性齐次方程解的结构是二阶线性齐次方程的两个解,也是该方程的解.证证:代入方程左边,得(叠加原理)定理定理1.证毕2、线性齐次方程解的结构是二阶线性齐次方程的两个解,也是暨南大学珠海学院说明说明:不一定是所给二阶方程的通解.例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解 并不是通解但是则为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与 线性无关概念.说明:不一定是所给二阶方程的通解.例如,是某二阶齐次方程的解暨南大学珠海学院定义定义:是定义在区间 I 上的 n 个函数,使得则称这 n个函数在 I 上线性相关线性相关,否则称为线性无关线性无关.例如，在(,)上都有故它们在任何区间 I 上都线性相关线性相关;又如，若在某区间 I 上则根据二次多项式至多只有两个零点,必需全为 0,可见在任何区间 I 上都 线性无关线性无关.若存在不全为不全为 0 的常数定义:是定义在区间 I 上的 n 个函数,使得则称这 n个函暨南大学珠海学院两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件充要条件:线性相关存在不全为 0 的使(无妨设线性无关常数思考思考:中有一个恒为 0,则必线性相关相关(证明略)线性无关两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件:线性相关暨南大学珠海学院定理定理 2.是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解,则数)是该方程的通解.例如例如,方程有特解且常数,故方程的通解为推论推论.是 n 阶齐次方程 的 n 个线性无关解,则方程的通解为定理 2.是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解,则数)是暨南大学珠海学院3、线性非齐次方程解的结构、线性非齐次方程解的结构 是二阶非齐次方程的一个特解,Y(x)是相应齐次方程的通解,定理定理 3.则是非齐次方程的通解.证证:将代入方程左端,得3、线性非齐次方程解的结构 是二阶非齐次方程的一个特解,Y暨南大学珠海学院是非齐次方程的解,又Y 中含有两个独立任意常数,例如例如,方程有特解对应齐次方程有通解因此该方程的通解为证毕因而 也是通解.是非齐次方程的解,又Y 中含有两个独立任意常数,例如,方暨南大学珠海学院定理定理 4.分别是方程的特解,是方程的特解.(非齐次方程之解的叠加原理)定理3,定理4 均可推广到 n 阶线性非齐次方程.定理 4.分别是方程的特解,是方程的特解.(非齐次方程之解暨南大学珠海学院定理定理 5.是对应齐次方程的 n 个线性无关特解,给定 n 阶非齐次线性方程是非齐次方程的特解,则非齐次方程的通解为齐次方程通解非齐次方程特解定理 5.是对应齐次方程的 n 个线性无关特解,给定 n 暨南大学珠海学院常数,则该方程的通解是().设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程的解,是任意例例3.提示提示:都是对应齐次方程的解,二者线性无关.(反证法可证)(89 考研考研)常数,则该方程的通解是().设线性无关暨南大学珠海学院例例4.已知微分方程个解求此方程满足初始条件的特解.解解:是对应齐次方程的解,且常数因而线性无关,故原方程通解为代入初始条件故所求特解为有三 例4.已知微分方程个解求此方程满足初始条件的特解.解:是暨南大学珠海学院第三节常系数常系数齐次线性微分方程齐次线性微分方程 第七章 第三节常系数齐次线性微分方程 第七章 暨南大学珠海学院二阶常系数齐次线性微分方程:和它的导数只差常数因子,代入得称为微分方程的特征方程特征方程,1.当时,有两个相异实根方程有两个线性无关的特解:因此方程的通解为(r 为待定常数),所以令的解为 则微分其根称为特征根特征根.二阶常系数齐次线性微分方程:和它的导数只差常数因子,代入得暨南大学珠海学院2.当时,特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解设另一特解(u(x)待定)代入方程得:是特征方程的重根取 u=x,则得因此原方程的通解为2.当时,特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解设另暨南大学珠海学院3.当时,特征方程有一对共轭复根这时原方程有两个复数解:利用解的叠加原理,得原方程的线性无关特解:因此原方程的通解为3.当时,特征方程有一对共轭复根这时原方程有两个复数解:暨南大学珠海学院总结总结:特征方程:实根 特 征 根通 解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.二阶常系数齐次线性微分方程:总结:特征方程:实根 特 征 根通 暨南大学珠海学院若特征方程含 k 重复根若特征方程含 k 重实根 r,则其通解中必含对应项则其通解中必含对应项特征方程:推广推广:若特征方程含 k 重复根若特征方程含 k 重实根 r,则暨南大学珠海学院例例1.的通解.解解:特征方程特征根:因此原方程的通解为例例2.求解初值问题解解:特征方程有重根因此原方程的通解为利用初始条件得于是所求初值问题的解为例1.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程的通解为例2暨南大学珠海学院第四节 第七章 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程 一、一、二、二、第四节 第七章 常系数非齐次线性微分方程 一、二、暨南大学珠海学院二阶常系数线性非齐次微分方程:根据解的结构定理,其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据 f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.待定系数法待定系数法二阶常系数线性非齐次微分方程:根据解的结构定理,其通解暨南大学珠海学院则有形如的特解，其中其中 为实数,为 m 次多项式.此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.当 是特征方程的 k 重根 时,k=0,1,2一、一、待定多项式.为 m 次对非齐次方程则有形如的特解，其中其中 为实数,为 m 次多项式.此暨南大学珠海学院例例1.的一个特解.解解:本题而特征方程为不是特征方程的根.设所求特解为代入方程:比较系数,得于是所求特解为例1.的一个特解.解:本题而特征方程为不是特征方程的根.暨南大学珠海学院例例2.的通解.解解:本题特征方程为其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为比较系数,得因此特解为代入方程得所求通解为例2.的通解.解:本题特征方程为其根为对应齐次方程的通暨南大学珠海学院例例3.求解定解问题解解:本题特征方程为其根为设非齐次方程特解为代入方程得故故对应齐次方程通解为原方程通解为由初始条件得例3.求解定解问题解:本题特征方程为其根为设非齐次方程特暨南大学珠海学院于是所求解为解得于是所求解为解得暨南大学珠海学院对非齐次方程则可设特解:其中 为特征方程的 k 重根(k =0,1),上述结论也可推广到高阶方程的情形.二、二、对非齐次方程则可设特解:其中 为特征方程的 k 重根(k暨南大学珠海学院例例4.的一个特解.解解:本题 特征方程故设特解为不是特征方程的根,代入方程得比较系数,得于是求得一个特解例4.的一个特解.解:本题 特征方程故设特解为不是特征暨南大学珠海学院例例5.的通解.解解:特征方程为其根为对应齐次方程的通解为比较系数,得因此特解为代入方程:所求通解为为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为例5.的通解.解:特征方程为其根为对应齐次方程的通解为暨南大学珠海学院例例6.解解:(1)特征方程有二重根所以设非齐次方程特解为(2)特征方程有根利用叠加原理,可设非齐次方程特解为设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:例6.解:(1)特征方程有二重根所以设非齐次方程特解为
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