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专 题 二 三 角 变 换 与 平 面 向 量 、复 数 2 i( ) ii 1. ii( ) 00 01 00 0i i2 a b a b a bz a b a b bz a b z bz a b z a bz a ba b c d a b c d R RR形 如 ， 的 数 叫 做 复 数 ， 其 中 是 虚数 单 位 ， 把 复 数 的 形 式 叫 做 复 数 的 代数 形 式 记 作 ， 当 且 仅 当 时 ，为 实 数 ； 当 且 仅 当 时 ， ； 当 时 ，叫 做 虚 数 ； 当 且 时 ， 叫 作 纯 虚 数 与分 别 叫 做 复 数 的 实 部 和 虚 部 两 个 复 数 的 实 部 和 虚 部 分 别 相 等 两 个 复 数 相等 ， 即 如 果 、 、 、 ， 那 么 ii 0 0.aa c b ad bb ， 2 2 21 22 2 2 21 2 1 2 1 22 22i i( )i i ( ) ( )i.2i i i.i .3.4 i .zz a b z c d a b c da b c d a c b dz z z z za ba bi a bi c di ac bc di c d za b c d ac bd ad bca b a b a b R则 复 数 的 加 、 减 、 乘 、 除 法 运 算 按 以 下 法 则 进 行 ：设 ， ， ， ， ， 下 不 再 说 明 ，加 减 法 ：推 论 ： 乘 法 ：特 别 地 ，除 法 ： 2 2 .d bc ad ic d 22 2 2121234 567 . , ,. ()5 z z z z zz z z 重 要 等 式 ： z z此 等 式 虽 然 结 构 很 简 单 ， 但 它 将 ， z 紧 密 联 系 在一 起 ， 并 且 等 式 从 左 右 具 有 实 数 化 功 能 ， 从 右左 具 有 因 式 分 解 功 能 推 论 ： 若 为 虚 数 ， 则平 面 向 量 的 重 点 内 容 包 括 ：向 量 的 概 念 ；向 量 的 加 法 、 减 法 的 定 义 及 运 算 法 则 三 角 形 法 则 和 平行 四 边 形 法 则 ；向 量 共 线 的 充 要 条 件 ；平 面 向 量 基 本 定 理 及 应 用 ； 平 面 向 量 的 坐 标 表 示 及 应 用 ；线 段 的 定 比 分 点 坐 标 公 式 及 应 用 ； 平 面 向 量 数 量 积 的 定 义 、 运 算 律 及 应 用 1 2 1 222 1 1 2 2 1 2 1( ) ., 1.( ) ( ) 123 c46 os aO AB P ABOP xOA yOB x y x yx y x yx x y 几 个 重 要 结 论 ：平 面 向 量 基 本 定 理 ： 如 果 、 是 同 一 平 面 内 两个 不 共 线 的 向 量 ， 那 么 对 这 个 平 面 内 任 一 向 量 ，有 且 只 有 一 对 实 数 ， ， 使若 是 直 线 外 一 点 ， 则 在 直 线 上 的 充 要 条件 是 、 ， 且若 ， ， ， ，则 1 2 1 2e ea e eRa aa ba b a b a,b 21 2 1 21 2 2 1 00.yx x y yx y x y ； 的 充 要 条 件 是 ； 的 充 要 条 件 是a ba / /b ( )1A 1 B 1 C. 2 D 22( )A 1 B 3 C 3 (2 D010 112 )31 2 R aa i ai a i b i a b iia b z一 、 复 数 的 概 念 及 其 四 则 运 已 知 是 实 数 ，是 纯 虚 数 ， 则 等 于 若 ， 其 中 ， ， 是 虚 数例 单 位 ，则 的 值 为 长 沙 市 雅 礼 复 中数 学 月 考算( )2 ( )A B C Di ii 为 虚 数 单 位 在 复 平 面 内 对 应 的点 所 在 象 限 为 第 一 象 限 第 二 象 限 第 三 象 限 第 四 象 限 2 1 1 .1 21 0 1.1 02i i 2 i2 1 12 2 3 421 5 5 A. A.D3 .2 a i a a iia aaa i b a bia b a bi i iz iz由 已 知 得 ， 所 以由 ， 得 ，所 以 ， ， ，因 为 ，故 复 数 对 应 点 在 第 四 象 限 故 选析 故 选， 选解 ： 2( )3 7 1 1A. B.2 6 2 61 1 1 2C. D.2 6 2 31 ABCD O ACBD E BC BE ECAB AD 如 图 ， 平 行 四 边 形 中 ， 为 与的 交 点 ， 点 在 上 ， 且 ，设 ， ，二 平 面 向 量 的 基 本 概 念 运例 2. 算则 为 a ba b a ba b a b ( )A 2 B 1C 1 D2 1a b a ba b R ABAC A B C已 知 ， 是 不 共 线 的 向 量 ， ， ， ， 那 么 、 、 三 点 共线 的例二 平 面 向 量 的 基 本 概 念 运 算充 要 条 件 为 2. 1 1 12 .3 3 31 12 31 1 1 1 B.2 3 2 6/ 1 D.112 a b b a b BE EC CE CB DA bOE OC CE AC DAAB AC AB mACm m 由 ， 得由 向 量 的 运 算 法 则 得 ， 故 选因 为 ， 所 以 ，所 以 ， 所解 析 ： 故 正 确 选 项 为以 ， ( 1 2)2,3 ( 23 1)( )/1 /23 xOy AB CABCAB ACt AB tOC OB t 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 已 知 点 ， ， ， 判 断 的 形 状 ；求 以 线 段 、 为 邻 边 的 平 行 四 边三 、 平 面 向 量 基 本 定 理 及 坐 标 运 形 两 条对 角 线 的 长 ；设 实 数 满 足 ，例 求算 的 值 3,5 1,1 ( 4 4)0 | | | |3,52 1,1| |1 | |1AB AC BCAC BC AC BC AC BCAB ACAB ACAB AC AB ACAB ABC 所 以 为 不 等 边 的 直 角 三 角 形， ， ， ， 所 以 ， 又 ，由 题 设 知 ，方 又 以 线 段 、 为 邻 边 的 平 行 四 边 形 两 条 对 角 线长 即 为 与 ，由 法 ：解 析 ： 2,6 | | 2 104,4 | 4 2 2 10.| 4 2.AC AB ACAB AC AB AC ， 得 ，由 ， 得所 以 所 求 的 两 条 对 角 线 的 长 、 分 别 为 0,1 0,1 1,4( 2 1) 3 2 ,52| | 42 ,3 ( )/2 |33 2 | 2 10.1.452 3 DE E B CE E A D DOC AB tOC t tOB AB tOC OBt tBC AD t 设 该 平 行 四 边 形 的 第 四 个 顶 点 为 ，两 条 对 角 线 的 交 点 为 ， 则 为 、 的 中 点 ， 又 为 、 的 中 点 ， 所 以 ，故 所 求 的 两 条 对 角 线 的 长 分 别 为由 题 设 知 ， ， ， 由 ，得 ， 得方 、法 ： 2 2 2 (1 ) ()2 a b c 本 小 题 考 查 平 面 向 量 的 几 何 意 义 、线 性 运 算 、 数 量 积 ， 考 查 运 算 求 解 能 力 ；判 断 三 角 形 的 形 状 主 要 从 边 是 否 有 边 相 等或 是 否 有 的 形 式 和 角 是 否 有 角 相 等或 是 否 有 直 角 两 个 方【 点 评 】 面 分 析 (4cos sin ) (sin 4cos )(cos1 4sin )2 tan( )tan tan 13 6 / .2 /a bc a b cb c a b 设 向 量 ， ， ， ， 若 与 垂 直 ， 求 的 值 ；求 的四 、 平 面 向 量 的 数 量 积 及最 大 值 ；若 ， 求 证 ：平 面 向 量 综 合 用4 应例 2 2 2 2 22 2( 2 ) 2 04sin( ) 8cos( ) 0 tan( )(sin cos 4cos 4sin )sin 2sin cos cos 16cos32cos sin 16sin 17 30sin cos 17 15sin2212 .3 2.a b ca b c a b a cb cb cb c b b由 与 垂 直 ，得 ，即 ， 所 以因 为 ， ， 所 以易 知 的 最 大 值 为解 析 ， 所 以: tan tan 16 in sin 16cos cos4cos 4cos s 4 2./i /n sin 0 .3 a bc 的 最 大 值 为证 明 ： 由 ，得 s ， 所 以即 ， tan( )tan tan 16 b c 先 由 向 量 垂 直 的 条 件 得 出 ，再 结 合 三 角 函 数 的 基 本 关 系 式 、 二 倍 角 的正 弦【 点 公 式 求 解 的 最 大 值 ； 最 后 利 用切 化 弦 得 出 向 量 平 行 的 充评 】 要 条 件 (sin cos ) ( sin cos )0 4 4 2 2, ,1 3 3 3 33| ( )|2 3k k k R k a ba ba ba b a b已 知备 ， ，且 ， 求 的 最 值 ；若 ， 求 的 取选 题 值 范 围 2 2 2 2 2 sin sin cos cos cos2 .2 2 2cos2 4cos .10 cos 4 2 4 23 3 3 33 2 1 .| | 2 21 1 0 122cos cos1cos 1.2( ) 1 1,2 211 1 2 2coscos costt tt y t ttt aa ba b a b a ba ba bb因 为 ， ， 所 以 ， ，所 以 ，所 以令 ， 则又所 以 在 ，解 析 时 为 1 12 2 1,2 1 1.2 2t t 增 函 数 ，所 以即 所 求 式 子 的 最 大 值 为 ， 最 小 值 为 2 22 2 2 2 33 . 11 cos2 cos2 .410 cos2 13 21 1 12 4 3 22 2 3 1k kk k kkkkk 由 题 设 可 得 ，所 以又 ， ， 所 以由 ， ， 得 ，所 以解 得 ， a b a ba b a ba b a b 【 点 评 】 ： 本 题 是 以 向 量 为 工 具 考 查 三 角 函 数 、 函数 与 导 数 的 综 合 问 题 向 量 的 坐 标 表 示 实 际 上 就 是向 量 的 代 数 表 示 在 引 入 向 量 的 坐 标 表 示 后 ， 向 量之 间 的 运 算 便 代 数 化 了 1 复 数 的 基 本 概 念 ， 包 括 复 数 的 实 部 、 虚 部 ； 复数 的 分 类 ： 实 数 ， 虚 数 (纯 虚 数 )， 复 数 的 模 ， 共 轭复 数 ， 复 数 相 等 等 2 复 数 运 算 的 基 本 思 路 是 “ 实 数 化 ” ， 把 复 数 问题 转 化 为 实 数 问 题 3 以 “ 基 底 ” 形 式 出 现 的 向 量 问 题 通 常 将 题 中 的向 量 化 为 以 某 一 点 为 统 一 起 点 ， 再 进 行 向 量 运 算 会非 常 方 便 4 以 坐 标 形 式 出 现 的 向 量 问 题 可 以 尽 可 能 利 用 解析 思 想 ， 转 化 为 函 数 或 方 程 问 题 求 解
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