资源描述
第 二 节 参 数 方 程 三 年 21考 高 考 指 数 : 1.了 解 参 数 方 程 ， 了 解 参 数 的 意 义 ；2.能 选 择 适 当 的 参 数 写 出 直 线 、 圆 和 椭 圆 的 参 数 方 程 . 1.直 线 、 圆 和 椭 圆 的 参 数 方 程 是 高 考 考 查 的 重 点 ；2.利 用 参 数 方 程 解 决 最 大 值 、 最 小 值 等 问 题 是 难 点 ；3.高 考 多 以 解 答 题 的 形 式 考 查 属 低 、 中 档 题 . 1.参 数 方 程（ 1） 参 数 方 程 的 概 念一 般 地 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 如 果 曲 线 上 任 意 一 点 的 坐 标 x,y都 是 某 个 变 数 t的 函 数 ， 并 且 对 于 t的 每 一 个 允 许 值 ，由 这 个 方 程 组 所 确 定 的 点 M(x,y)都 在 这 条 曲 线 上 ， 那 么 这 个 方 程组 就 叫 做 这 条 曲 线 的 参 数 方 程 ， 联 系 变 数 x,y的 变 数 t叫做 ， 简 称 .相 对 于 参 数 方 程 而 言 ， 直 接 给 出 点 的 坐 标 间 关 系 的 方 程 F(x， y) 0叫 做 普 通 方 程 . x f(t)y g(t) 参 变 数 参 数 （ 2） 参 数 方 程 与 普 通 方 程 的 互 化曲 线 的 参 数 方 程 和 普 通 方 程 是 曲 线 方 程 的 不 同 形 式 ， 一 般 地 ，可 以 通 过 消 去 而 从 参 数 方 程 得 到 普 通 方 程 ， 如 果 知 道 变数 x,y中 的 一 个 与 参 数 t的 关 系 ， 例 如 x=f(t),把 它 代 入 普 通 方程 ， 求 出 另 一 个 变 数 与 参 数 的 关 系 y=g(t),那 么 就 是 曲线 的 参 数 方 程 .在 参 数 方 程 与 普 通 方 程 的 互 化 中 ， 必 须 使 x,y的 取值 范 围 保 持 一 致 .参 数 x f(t)y g(t) 【 即 时 应 用 】(1)参 数 方 程 ( 为 参 数 ,且 满 足 0 )的 普 通 方程 为 _.(2)参 数 方 程 （ 为 参 数 ,且 满 足 ） 的 普 通方 程 为 _.x cos ,y sin . x cos ,y sin . 2 2 【 解 析 】 (1)参 数 方 程 （ 为 参 数 ,且 满 足 0 ）的 普 通 方 程 为 x2+y2=1(0 y 1),表 示 上 半 圆 .(2)参 数 方 程 （ 为 参 数 ,且 满 足 ） 的 普 通方 程 为 x2+y2=1(0 x 1),表 示 右 半 圆 .答 案 ： (1)x2+y2=1(0 y 1)(2)x2+y2=1(0 x 1). x cos ,y sin . x cos ,y sin . 2 2 2.直 线 、 圆 锥 曲 线 的 普 通 方 程 和 参 数 方 程轨 迹 普 通 方 程 参 数 方 程直线圆 (x-a) 2+(y-b)2=r2y-y0=tan (x-x0)( ， 点 斜 式 )2 （ t为 参 数 ）x _,y _. 0y tsin 0 x tcos （ 为 参 数 ）x _,y _. a rcos b rsin 轨 迹 普 通 方 程 参 数 方 程椭圆双曲线 （ 为 参 数 ）x _,y _. bsinacos（ 为 参 数 ）x _,y _. asecbtan(a b 0)2 22 2x y 1a b (a 0， b 0)2 22 2x y 1a b 轨 迹 普 通 方 程 参 数 方 程x _,y _. （ t为 参 数 ， p 0）抛物线 y2 2px(p 0) 2pt22pt 【 即 时 应 用 】判 断 下 列 命 题 是 否 正 确 .（ 请 在 括 号 中 填 写 “ ” 或 “ ” ）（ 1） 若 经 过 点 P0(x0， y0)， 倾 斜 角 是 的 直 线 l的 参 数 方 程 为 （ t为 参 数 ） ， 则 直 线 的 斜 率 为 tan .( )(2)若 圆 的 参 数 方 程 为 （ 为 参 数 ） ,则 圆 心 为(2,-1),半 径 为 3. ( )00 x x tcosy y tsin . ， x 2 3cosy 1 3sin 【 解 析 】 (1) 经 过 点 P0(x0， y0)， 倾 斜 角 是 的 直 线 l的 参 数方 程 为 即 （ t为 参 数 ， t R） . 当 倾 斜 角 时 ， 直 线 的 斜 率 k=tan = ;当 倾 斜 角 = 时 ， 直 线 的 参 数 方 程 为 直 线 的 斜 率不 存 在 .所 以 (1)不 正 确 .00 x x tcos ,y y tsin 00 x x aty y bt 2 ba2 00 x xy y t ， (2)将 圆 的 参 数 方 程 （ 为 参 数 ） 化 为 普 通 方 程为 (x-2)2+(y+1)2=9,所 以 圆 心 为 (2,-1),半 径 为 3.所 以 (2)正 确 .答 案 :(1) (2)x 2 3cos ,y 1 3sin . 参 数 方 程 化 为 普 通 方 程【 方 法 点 睛 】 参 数 方 程 与 普 通 方 程 互 化 的 方 法（ 1） 把 参 数 方 程 化 为 普 通 方 程 ， 需 要 根 据 其 结 构 特 征 ， 选 取适 当 的 消 参 方 法 常 见 的 消 参 方 法 有 ： 代 入 消 参 法 ； 加 减 消 参法 ； 平 方 和 (差 )消 参 法 ； 乘 法 消 参 法 等 （ 2） 把 曲 线 C的 普 通 方 程 F(x， y) 0化 为 参 数 方 程 的 关 键 ： 一是 适 当 选 取 参 数 ； 二 是 确 保 互 化 前 后 方 程 的 等 价 性 【 例 1】 已 知 参 数 方 程 ： (1)若 t为 常 数 ， 为 参 数 ， 判 断 方 程 表 示 什 么 曲 线 ？(2)若 为 常 数 ， t为 参 数 ， 方 程 表 示 什 么 曲 线 ？【 解 题 指 南 】 将 参 数 方 程 消 去 参 数 化 为 普 通 方 程 F(x,y)=0， 再判 断 曲 线 形 状 . 1x t sin t (t 0)1y t cos t （ ）（ ） 【 规 范 解 答 】 (1)当 t 1时 ， 由 得 sin =由 得 cos = ( )2+( )2=1，它 表 示 中 心 在 原 点 ， 长 轴 长 为 2|t+ |， 短 轴 长 为 2|t |,焦点 在 x轴 上 的 椭 圆 ；当 t= 1时 ， y=0， x= 2sin ,x 2,2 ,它 表 示 在 x轴 上 2,2 的 线 段 . x1t t ，y1t t ，x1t t y1t t 1t 1t (2)当 (k Z)时 ， 由 得 =t+ ， 由 得 =t ， 平 方 相 减 得它 表 示 中 心 在 原 点 ， 实 轴 长 为 4|sin |， 虚 轴 长 为 4|cos |，焦 点 在 x轴 上 的 双 曲 线 ；当 =k (k Z)时 ， x=0， 它 表 示 y轴 ；当 =k + (k Z)时 ， y=0， x= (t+ ).由 于 当 t 0时 ， t+ 2； 当 t 0时 ， t+ 2， 于 是 |x| 2. 方 程 y=0（ |x| 2） 表 示 x轴 上 以 （ 2， 0） 和 （ 2， 0） 为 端点 的 向 左 和 向 右 的 两 条 射 线 k2 xsin 1t ycos1t 2 2 2 22 2 2 2x y x y4, 1sin cos 4sin 4cos 即 2 1t1t 1t 【 反 思 感 悟 】 化 参 数 方 程 为 普 通 方 程 ， 关 键 是 消 去 参 数 ， 建立 关 于 x,y的 二 元 方 程 F(x， y) 0， 常 用 的 消 参 数 公 式 有 ：（ 1） t =1； （ 2） sin2 +cos2 =1；（ 3） (t+ )2-(t- )2=4；（ 4） 1t 1t1t 22 22 22t 1 t 1.1 t 1 t （ ） （ ） 【 变 式 训 练 】(1)将 参 数 方 程 （ 为 参 数 ， 且 0 2 ） 化为 普 通 方 程 ;(2)判 断 参 数 方 程 （ a 0， b 0,t为 参数 ） 表 示 的 曲 线 形 状 . 222a 1 tx 1 t2bty 1 t （ ）x | cos sin |2 2y 2 1 sin （ ） 【 解 析 】 (1)由 参 数 方 程 ,得 x2=1+sin =即 y=2x2.由 于且即 普 通 方 程 为 y=2x2,x 0, . 1 y,2x cos sin 2 sin( ) ,2 2 2 4 5 , x 0, 2 .4 2 4 4 2 (2)方 法 一 :将 参 数 方 程 化 为两 式 相 加 ， 得 1(a 0， b 0).由 于 x=a(-1+ )， 故 x -a.当 a=b时 ， 方 程 的 曲 线 为 圆 心 在 原 点 ， 半 径 为 a的 圆 ， 去 掉 点(-a,0)； 222a 1 tx 1 t2bty 1 t （ ） 2 2 22 22 22 2x 1 t( )a 1 ty 2t( )b 1 t ，2 22 2x ya b221 t 当 a b时 ， 方 程 的 曲 线 为 中 心 在 原 点 ， 焦 点 在 x轴 上 的 椭 圆 ，去 掉 点 (-a,0)；当 a b时 ， 方 程 的 曲 线 为 中 心 在 原 点 ， 焦 点 在 y轴 上 的 椭 圆 ，去 掉 点 (-a,0).方 法 二 :由 x= ， 得 t2= ， 代 入得当 a=b时 ， 方 程 的 曲 线 为 圆 心 在 原 点 ， 半 径 为 a的 圆 ， 去 掉 点(-a,0)； 22a 1 t1 t（ ） a xa x 2 2 22 2y 4tb 1 t 2 2 2 2 22 2 2 2 22a x4y y x x ya x 1 1 x a .a xb b a a b1 a x ， 即 ， （ ） 当 a b时 ， 方 程 的 曲 线 为 中 心 在 原 点 ， 焦 点 在 x轴 上 的 椭 圆 ，去 掉 点 (-a,0);当 a b时 ， 方 程 的 曲 线 为 中 心 在 原 点 ， 焦 点 在 y轴 上 的 椭 圆 ，去 掉 点 (-a,0). 【 变 式 备 选 】(1)已 知 曲 线 C的 参 数 方 程 为 （ t为 参 数 ） ， 则 曲 线C的 普 通 方 程 为 _.【 解 析 】 x2=t+ -2, 所 以 曲 线 C的 普 通 方 程 为 y=3x2+6.答 案 ： y=3x2+6 1x t t1y 3 t .t ，（ ）1t2 1 yx 2 t ,t 3 (2)参 数 方 程 （ 为 参 数 ， 且 0 2 ）的 普 通 方 程 为 _.【 解 析 】 由 参 数 方 程 ,得 x2=1+sin = y,即 y=2x2.由 于 x=|cos +sin |= |sin( + )|,且 + , x 0, .即 普 通 方 程 为 y=2x 2,x 0, .答 案 ： y=2x2,x 0, x | cos sin |2 2y 2(1 sin ) 122 2 2 424 2 4 542 22 圆 的 参 数 方 程【 方 法 点 睛 】 将 圆 的 普 通 方 程 化 为 参 数 方 程（ 1） 圆 x2+y2=r2的 参 数 方 程 为（ 2） 圆 (x-a)2+(y-b)2=r2的 参 数 方 程 为x rcos ,y rsin （ ） ；为 参 数x a rcos , .y b rsin （ ）为 参 数 【 提 醒 】 (1)参 数 的 几 何 意 义 是 OM与 x轴 正 方 向 的 夹 角 ;(2)随 着 选 取 的 参 数 不 同 ,参 数 方 程 形 式 也 有 不 同 ,但 表 示 的 曲 线是 相 同 的 ;(3)在 建 立 曲 线 的 参 数 方 程 时 ,要 注 明 参 数 及 参 数 的 取 值 范 围 . 【 例 2】 已 知 x、 y满 足 x2+(y-1)2=1,求 ：（ 1） 3x+4y的 最 大 值 和 最 小 值 ；（ 2） (x-3)2+(y+3)2的 最 大 值 和 最 小 值 ;【 解 题 指 南 】 设 圆 的 参 数 方 程 ， 将 问 题 转 化 为 三 角 函 数 的 问 题 解决 . 【 规 范 解 答 】 由 圆 的 普 通 方 程 x2+(y-1)2=1得 圆 的 参 数 方 程 为（ 1） 3x+4y=3cos +4sin +4=4+5sin( + ),其 中 tan = ,且 的 终 边 过 点 （ 4， 3） . -5 5sin( + ) 5, -1 4+5sin( + ) 9. 3x+4y的 最 大 值 为 9， 最 小 值 为 -1. x cos , .y 1 sin 为 参 数34 （ 2） (x-3)2+(y+3)2=(cos -3)2+(sin +4)2=26+8sin -6cos =26+10sin( + ).其 中 tan =- ,且 的 终 边 过 点 （ 4,-3） . -10 10sin( + ) 10， 16 26+10sin( + ) 36, (x-3) 2+(y+3)2的 最 大 值 为 36， 最 小 值 为 16.34 【 反 思 感 悟 】 1.解 决 与 圆 有 关 的 最 大 值 和 最 小 值 问 题 ， 常 常 设出 圆 的 参 数 方 程 ， 转 化 为 求 三 角 函 数 的 最 大 值 和 最 小 值 问 题 来 解决 .2.注 意 运 用 三 角 恒 等 式 辅 助 角 公 式 求 最 值 ：asin +bcos = sin( + ).其 中 tan = (a 0),且 角 的 终 边 过 点 （ a,b） .2 2a bba 【 变 式 训 练 】 已 知 圆 的 极 坐 标 方 程 为 ： 2- cos( - )+6=0（ 1） 将 极 坐 标 方 程 化 为 普 通 方 程 ；（ 2） 若 点 P(x,y)在 该 圆 上 ， 求 x+y的 最 大 值 和 最 小 值 .4 24 【 解 析 】 （ 1） 2-4 cos -4 sin +6=0.又 2=x2+y2,x= cos ,y= sin ， x2+y2-4x-4y+6=0.（ 2） 圆 的 圆 心 坐 标 为 （ 2,2） ， 半 径 为 设 圆 的 参 数 方 程 为则 x+y=4+2sin( + )，故 x+y的 最 大 值 为 6， 最 小 值 为 2.2 4 2 cos 6 04 （ ） ，r 2 ，x 2 2cos ,y 2 2sin , 4 直 线 、 圆 锥 曲 线 参 数 方 程 的 综 合 问 题【 方 法 点 睛 】1.直 线 的 参 数 方 程 中 参 数 的 几 何 意 义设 e表 示 直 线 向 上 的 方 向 的 单 位 向 量 ， 如 图 ， =te， 当 参 数 t 0时 , 与 e方 向 相 同 ； 当 参 数 t 0时 , 与 e方 向 相 反 .因 此 ,总 有 | |=|t|， 所 以 参 数 t为 点 M0(x0,y0)到 直 线 上 点 M(x,y)的有 向 线 段 的 数 量 （ 即 方 向 +长 度 ） ， 这 就 是 参 数 t的 几 何 意义 0M M 0M M0M M0M M 0M M 2.直 线 参 数 方 程 的 常 用 公 式根 据 直 线 的 参 数 方 程 中 t的 几 何 意 义 ， 有 以 下 结 论 :（ 1） 设 A、 B是 直 线 上 任 意 两 点 ， 它 们 对 应 的 参 数 分 别 为 tA和 tB，则|AB|=|tB-tA|=（ 2） 线 段 AB的 中 点 所 对 应 的 参 数 值 等 于 2A B A Bt t 4t t . A Bt t2 【 例 3】 已 知 直 线 l的 参 数 方 程 为曲 线 C的 极 坐 标 方 程 是 = ， 以 极 点 为 原 点 ， 极轴 为 x轴 正 半 轴 建 立 直 角 坐 标 系 ， 点 M(-1,0)， 直 线 l与 曲 线 C交于 A、 B两 点 (1)求 直 线 l的 极 坐 标 方 程 与 曲 线 C的 直 角 坐 标 方 程 ；(2)线 段 MA， MB长 度 分 别 记 为 |MA|， |MB|， 求 |MA| |MB|的 值 2x 1 t2 t2y t2 （ ） ，为 参 数2sin1 sin 【 解 题 指 南 】 （ 1） 将 直 线 的 参 数 方 程 化 为 普 通 方 程 ， 再 化 为极 坐 标 方 程 ， 将 曲 线 的 极 坐 标 方 程 利 用 公 式化 为 直 角 坐 标 方 程 ；（ 2） 将 直 线 的 参 数 方 程 代 入 曲 线 的 普 通 方 程 ， 利 用 直 线 的 参数 方 程 的 几 何 意 义 以 及 一 元 二 次 方 程 的 根 与 系 数 的 关 系 计 算 .x cosy sin 【 规 范 解 答 】 （ 1） 直 线 l： 的 直 角 坐 标 方程 为 x-y+1=0，所 以 直 线 l的 极 坐 标 方 程 为 ： cos（ + ） =-1，曲 线 C： = 即 （ cos ） 2= sin ，所 以 曲 线 的 直 角 坐 标 方 程 为 y=x2. 2x 1 t2 t2y t2 （ ）为 参 数2 42sin1 sin （ 2） 由 于 直 线 l与 曲 线 C交 于 A、 B两 点 ，将 代 入 y=x2， 得 t2-3 t+2=0， 设 A、 B两 点 对 应的 参 数 分 别 为 t1， t2， 由 一 元 二 次 方 程 的 根 与 系 数 的 关 系 ， 得t1t2=2， |MA| |MB|=|t 1t2|=2.2x 1 t22y t2 2 【 反 思 感 悟 】 利 用 直 线 的 参 数 方 程 研 究 直 线 与 圆 锥 曲 线 的 位置 关 系 以 及 弦 长 计 算 ， 可 以 使 问 题 简 便 ,方 法 是 ： 把 l： （ t为 参 数 ） 代 入 圆 锥 曲 线 C： F（ x， y） =0,消 去x,y得 到 关 于 t的 一 元 二 次 方 程 at2+bt+c=0（ a 0） ， 其 中 =b2-4ac.00 x x tcosy y tsin 当 0时 ， l与 C有 两 个 公 共 点 ； 此 时 方 程 at2+bt+c=0有 两 个不 同 的 实 根 t1、 t2， 把 参 数 t1、 t2代 入 l的 参 数 方 程 ， 即 可 求 得 l与 C的 两 个 交 点 M1、 M2的 坐 标 . 【 变 式 训 练 】 （ 2011 福 建 高 考 ） 在 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 直 线 l的 方 程 为 x y 4=0， 曲 线 C的 参 数 方 程 为 （ 为 参数 ） .（ 1） 已 知 在 极 坐 标 系 （ 与 直 角 坐 标 系 xOy取 相 同 的 长 度 单 位 ，且 以 原 点 O为 极 点 ， 以 x轴 正 半 轴 为 极 轴 ） 中 ， 点 P的 极 坐 标 为（ 4， ） ， 判 断 点 P与 直 线 l的 位 置 关 系 ；（ 2） 设 点 Q是 曲 线 C上 的 一 个 动 点 ， 求 它 到 直 线 l的 距 离 的 最 小值 . x 3cosy sin 2 【 解 析 】 （ 1） 把 极 坐 标 系 下 的 P（ 4， ） 化 为 直 角 坐 标 ，得 P（ 0,4） ,显 然 点 P的 直 角 坐 标 （ 0,4） 满 足 直 线 l的 方 程x y 4=0， 所 以 点 P在 直 线 l上 .（ 2） 因 为 点 Q在 曲 线 C上 ， 故 可 设 点 Q的 坐 标 为 ( cos ,sin ).从 而 点 Q到 直 线 l的 距 离 为由 此 得 ， 当 cos( + )=-1时 ， d min= . 2 32cos 43cos sin 4 6d 2cos 2 262 2 （ ） （ ） ，6 2
展开阅读全文