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(理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理)7.2 空 间 点 、 直 线 、 平 面 之 间 的 位 置 关 系 1 平 面 的 基 本 性 质 (1)公 理 1： 如 果 一 条 直 线 上 的两点在 一 个 平 面 内 ， 那 么 这 条 直 线 上 所 有 的 点 都 在 这 个 平 面 内 (即 直 线 在 直 线 内 ) (2)公理2 ：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 (3)公 理 3 ： 如 果 两 个 不 重 合 的 平 面 有 一 个 公 共 点 ， 那 么 它 们 有 且 只 有 一 条 过该 点 的 公 共直线 2 空 间 两 条 直 线 的 位 置 关 系(1)公 理 4： 平 行 于 同 一 条 直 线 的 两 条 直 线 互 相 平 行 (2)定 理 ： 如 果 一 个 角 的 两 边 和 另 一 个 角 的 两 边 分 别 平 行 且 方 向 相 同 ， 那 么 这两 角 相 等 (3)异 面 直 线 的 定 义 ： 不 同 在 任 何 一 个 平 面 内 的 两 条 直 线 (4)异 面 直 线 l 1和 l2的 夹 角 ： 当 直 线 l1 与 l2是 异 面 直 线 时 ， 在 直 线 l1上 任 取 点 A作AB l2， 把 直 线 l1和 直 线 AB的 夹 角 叫 做 异 面 直 线 l1 与 l2 的 夹 角 ， 已 知 直 线 l1 与l2的 方 向 向 量 分 别 为 s1, s2 ， 当 0 时 ， 直 线 l1 与 l2的 夹 角 等 于 ； 当 时 ， 直 线 l1 与 l2 的 夹 角 等 于 1若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成() A5部分 B6部分 C7部分 D8部分 答 案 ： C2如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中 点那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是() A三角形 B四边形 C五边形 D六边形 答 案 ： D 3(2009全 国)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E为AA1的 中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为() A. B. C. D. 解 析 ：如图，连接A1B，则 A1BE即为所求，设AB1， 在A1BE中，A1E1，BE ，A1B . cos A 1BE . 答 案 ： C 4下列各图是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，过四 个点共面的图形是_(写出符合要求序号) 解 析 ： 在选项中，可证Q点所在棱与PRS平行，因此，P、Q、R、S四 点不共面可证中PQRS为梯形；中可证PQRS为平行四边形；中 如图取A1A与BC的中点分别为M、N，可证明PMQNRS为平面图形，且 PMQNRS为正六边形 答 案 ： 本题型是利用平面的性质证明若干元素(点或直线)共面，常有两种方法：方法一是根据公理3或推论确定一个平面，然后再证其他元素也在这个平面内；方法二是先根据公理3或其推论确定出两个平面，然后再证明这两个平面重合解决此类问题的方法是将立体几何问题转化为平面几何问题 【 例 1】 如 图 ， 已 知 直 线 a、 b、 c、 l满 足 a b c且 al A， bl B， cl C， 证 明 四 条 直 线 a， b， c， l在 同 一 平 面 内 证 明 ： alA，直线a与l确定一个平面，此平面设为；又a b，则a 与b也确定一个平面设为，而平面与平面都过直线a与直线a外一点 B，因此与为同一平面，因此b ，同理可证c ，因此直线a、b、 c、l在同一平面内. 利用两平面交线的唯一性，证明诸点在两平面的交线上是证明空间诸点共线的常用方法证明点共线的方法从另一个角度讲也就是证明三线共点的方法证明线共点，基本方法是先确定两条直线的交点，再证交点在第三条直线上，也可将直线归结为两平面的交线，交点归结为两平面的公共点，由公理2证明点在直线上 【 例 2】 已 知 空 间 四 边 形 ABCD中 ， E、 H分 别 是 边 AB、 AD的 中 点 ， F、 G分 别 是 边 BC、 CD上 的 点 ， (1)若 F、 G分 别 为 BC、 CD的 中 点 ， 试 证 EFGH为 平 行 四 边 形 ； (2)若 2， 试 证 EF、 AC、 HG相 交 于 一 点 证 明 ： (1)如 图 连 结 AC， BD， 则 EF AC， HG AC， 因 此 EF HG；同 理 EH FG， 则 EFGH为 平 行 四 边 形 (2) E、 H分 别 是 AB、 AD的 中 点 ， EH綊 BD；又 2， FG綊 BD， EFGH为 梯 形 ， 则 EF，GH相交于一点O，即O EF，O GH， O平面ABC，O平面ADC，又面ABC面ADCAC，则O AC，即EF、AC、HG相交于一点 变 式 2.(1)三 个 平 面 两 两 相 交 ， 则 三 个 平 面 的 交 线 可 能 有 _，可 能 将 整 个 空 间 划 分 为 _ (2)已 知 三 个 平 面 两 两 相 交 且 有 三 条 交 线 ， 试 证 三 条 交 线 互 相 平 行 或 者 相 交 于 一点 答 案 ： (1)一条或三条若三个平面有一条交线，则三个平面将空间分 为六部分，若三个平面有三条交线可将空间分为七或八部分(2)证明略 与异面直线相关的问题有异面直线的判定，异面直线所成的角，异面直线的公垂线及异面直线间的距离，这其中最重要的是异面直线所成的角求异面直线所成的角，一般是通过平行线首先找到它们所成的角，然后放到三角形中，通过解三角形求之 对于异面直线所成的角也可利用空间向量来求 【 例 3】 如 图 ， 在 棱 长 为 2的 正 方 体 ABCD A1B1C1D1中 ， O是 底 面 ABCD的 中 心 ， E、 F分 别 是 CC1、 AD的 中 点 ， 那 么 异 面 直 线 OE和 FD1所 成 的 角 的 余 弦 值 等 于 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： 解 法 一：连结AC、AC1，则O为AC中点， AC1 OE，取A1D1中点M，连结AM，MC1，由AF綊MD1知四边形AFD1M为平行四边形， AM D1F，则 MAC1或其补角为异面直线所成角，可求AC12 ，AMMC1 ，在MAC1中，cos MAC1 评 注 ： 还 可 采 用 以 下 两 种 作 辅 助 线 的 方 法 ，求 异 面 直 线 OE和 FD1所 成 角 的 余 弦 值 ， 如 图 所 示 ：(1)取 C1D1中 点 M， 连 结 OM、 ME， 解 MOE；(2)取 BC中 点 G， GC中 点 M， 连 结 C1G、 EM、 MO， 解 OEM. 解法二：以D为空间坐标原点，如图，建立空间直角坐标系，则D1(0,0,2)，F(1，0,0)，O(1,1,0)，E(0,2,1)， FD1(1,0,2)，OE(1,1,1)， FD1OE3， cos ， 即两条异面直线D1F与OE所成角的余弦值为 . 答 案 ： B 变 式 3.如 图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为() A. B. C. D. 解 析：如图，连结BC1，A1C1，则 A1BC1为异面直线A1B与AD1所成的角，设AB1，在RtA1AB中，A1B ，则BC1A1B ， 在RtA1B1C1中，A1C1 在A1BC1中，cos A1BC1 答 案 ： D 1由公理3及公理3的推论结合公理1，可证明点线共面问题，如例1及变式将立体几何问题转化为平面几何问题2利用公理2可证明点共线，线共点等问题 3求异面直线所成的角，是要将异面直线问题转化为相交直线所成的锐角或直角，可通过余弦定理解三角形，而作辅助线主要是作已知直线的平行线， 具体可利用平行四边形对边平行，三角形或梯形的中位线与底边平行等，而对两条异面直线的判定可根据“连结平面外一点和平面内一点的直线与平面内不经过此点的直线是异面直线”这个结论是对异面直线直接判定的重要依据，也是求异面直线成角作辅助线的重要依据之一，也可利用向量的夹角求异面直线所成的 角4求异面直线所成的角无论是用几何法还是向量法都要特别注意异 面直线成角的范围是(0，90. 【 方 法 规 律 】 (本题满分12分)如 图，ABCDA1B1C1D1是 正 四 棱 柱(1)求 证：BD 平 面 ACC1A1；(2)已 知 二 面 角 C1BDC的 大 小 为 60，求 异 面 直 线 BC1与 AC所 成 角 的 大 小 . 解 答 ： 解 法 一 ： (1)证 明： ABCDA1B1C1D1是正四棱柱， CC1平面ABCD， BD CC1， ABCD是正方形， BD AC，又 AC、CC1平面ACC1A1，且ACCC1C， BD平面ACC1A1.【 答 题 模 板 】 (2)如图，设BD与AC相交于O，连结C1O. CC1平面ABCD，BD AC， BD C1O， C1OC是二面角C1BDC的平面角， C1OC60.连结A 1B， A1C1 AC， A1C1B是BC1与AC所成的角设BCa，则CO a，CC1COtan 60 a，A1BBC1 a，A1C1 a.在A1BC1中，由余弦定理得，cos A1C1B ， A1C1Barccos ，异面直线BC1与AC所成角的大小为arccos . 解法二：(1)证明：如 图，建立空间直角坐标系Dxyz.设ADa，DD1b，则有D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，C1(0，a，b) BD(a，a,0)， AC(a，a,0)，CC1(0,0，b)， BDAC0，BDCC10， BD AC，BD CC1， 又 AC、CC 1平面ACC1A1，且ACCC1C， BD平面ACC1A1. (2)设BD与AC相交于O，连结C1O，则点O坐标为( ， ，0)， OC1( ， ，b) BDOC10， BD C1O，又BD CO， C1OC是二面角C1BDC的平面角， C1OC60， tan C1OC ， b a， AC(a，a,0)，BC1(a,0，b)， cosAC，BC 1 异面直线BC1与AC所成角的大小为arccos . 1. 高考考查平面的基本性质(如正方体的截面问题)、异面直线公垂线的证明(在指明公垂线的前提下)，以及异面直线成角大小的计算问题2本题主要解决异面直线成角大小的计算，可通过作图(作辅助线)、证明、计算， 也可以利用向量计算两向量的夹角，无论哪种方法都应注意到异面直线成角的 范围是(0，903利用向量法求异面直线a，b所成角，可在直线a，b上分别求出方向向量a， b，则cos |cosa，b|，然后再确定异面直线a、b所成角的大小【 分 析 点 评 】 点 击 此 处 进 入 作 业 手 册
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