c刚体的定点运动动力学课件

三维刚体定点运动的三维刚体定点运动的运动学与动力学运动学与动力学专题内容专题内容 张宇张宇 主讲主讲 学好工程力学学好工程力学 提高工程素养提高工程素养万向节应用实例万向节应用实例研制中的火星车研制中的火星车 刚体一般运动的实例刚体一般运动的实例三维刚体定点运动的运动学与动力学三维刚体定点运动的运动学与动力学 张宇张宇 主讲主讲 学好工程力学学好工程力学 提高工程素养提高工程素养 刚体一般运动的实例刚体一般运动的实例三维刚体定点运动的运动学与动力学三维刚体定点运动的运动学与动力学 张宇张宇 主讲主讲 学好工程力学学好工程力学 提高工程素养提高工程素养问题：问题：什么是刚体的定点运动什么是刚体的定点运动?三维刚体定点运动的运动学与动力学三维刚体定点运动的运动学与动力学 张宇张宇 主讲主讲 学好工程力学学好工程力学 提高工程素养提高工程素养三维刚体定点运动的运动学与动力学三维刚体定点运动的运动学与动力学 张宇张宇 主讲主讲 学好工程力学学好工程力学 提高工程素养提高工程素养刚体定点运动刚体定点运动(fixed-point motion of rigid body)：若刚体在运动过程中其上或其延展体上有一点保持不动。若刚体在运动过程中其上或其延展体上有一点保持不动。则称刚体作定点运动则称刚体作定点运动问题：问题：用什么方法分析和研究刚体的定点运动？用什么方法分析和研究刚体的定点运动？三维刚体定点运动的运动学与动力学三维刚体定点运动的运动学与动力学 张宇张宇 主讲主讲 学好工程力学学好工程力学 提高工程素养提高工程素养一、刚体定点运动的运动学方程一、刚体定点运动的运动学方程Oxyz为固定参考系为固定参考系Oxyz为固连在刚体上的随体参考系为固连在刚体上的随体参考系问题：问题：1：如何描述刚体的定点运动？如何描述刚体的定点运动？2：定点运动刚体有几个自由度？定点运动刚体有几个自由度？3：用哪些参数描述其运动？用哪些参数描述其运动？用随体参考系相对固定参考系位用随体参考系相对固定参考系位置的变化描述刚体的定点运动。置的变化描述刚体的定点运动。三维刚体定点运动的运动学与动力学三维刚体定点运动的运动学与动力学 张宇张宇 主讲主讲 学好工程力学学好工程力学 提高工程素养提高工程素养进动角进动角(angle of precession)章动角章动角(angle nutation)自旋角自旋角(spin angle)欧拉角欧拉角(Euler angle)节线N三维刚体定点运动的运动学与动力学三维刚体定点运动的运动学与动力学 张宇张宇 主讲主讲 学好工程力学学好工程力学 提高工程素养提高工程素养运动方程：运动方程：三维刚体定点运动的运动学与动力学三维刚体定点运动的运动学与动力学 张宇张宇 主讲主讲 学好工程力学学好工程力学 提高工程素养提高工程素养例题：例题：试用欧拉角确定陀螺的位置试用欧拉角确定陀螺的位置欧拉角欧拉角节线节线节线节线确定欧拉角的三个转轴确定欧拉角的三个转轴三维刚体定点运动的运动学与动力学三维刚体定点运动的运动学与动力学 张宇张宇 主讲主讲 学好工程力学学好工程力学 提高工程素养提高工程素养例题：例题：试用欧拉角确定碾盘的位置试用欧拉角确定碾盘的位置节线节线欧拉角欧拉角三维刚体定点运动的运动学与动力学三维刚体定点运动的运动学与动力学 张宇张宇 主讲主讲 学好工程力学学好工程力学 提高工程素养提高工程素养神州飞船神州飞船节线节线绕绕三三个个轴轴的的转转角角为为欧欧拉拉角角例：试用欧拉角确定飞船的姿态例：试用欧拉角确定飞船的姿态三维刚体定点运动的运动学与动力学三维刚体定点运动的运动学与动力学 张宇张宇 主讲主讲 学好工程力学学好工程力学 提高工程素养提高工程素养思考题：思考题：试用欧试用欧拉角确定汽车和拉角确定汽车和飞机的姿态。飞机的姿态。三维刚体定点运动的运动学与动力学三维刚体定点运动的运动学与动力学 张宇张宇 主讲主讲 学好工程力学学好工程力学 提高工程素养提高工程素养问题：问题：给定欧拉角，给定欧拉角，如何确定刚体上某一点在空间的位置如何确定刚体上某一点在空间的位置给定：给定：如何确定：如何确定：三维刚体定点运动的运动学与动力学三维刚体定点运动的运动学与动力学 张宇张宇 主讲主讲 学好工程力学学好工程力学 提高工程素养提高工程素养进动角进动角正交矩阵正交矩阵三维刚体定点运动的运动学与动力学三维刚体定点运动的运动学与动力学 张宇张宇 主讲主讲 学好工程力学学好工程力学 提高工程素养提高工程素养三维刚体定点运动的运动学与动力学三维刚体定点运动的运动学与动力学 张宇张宇 主讲主讲 学好工程力学学好工程力学 提高工程素养提高工程素养三维刚体定点运动的运动学与动力学三维刚体定点运动的运动学与动力学 张宇张宇 主讲主讲 学好工程力学学好工程力学 提高工程素养提高工程素养式式(1)给出了定点运动刚体上某一点在空间的位置与欧拉角的关系给出了定点运动刚体上某一点在空间的位置与欧拉角的关系.三维刚体定点运动的运动学与动力学三维刚体定点运动的运动学与动力学 张宇张宇 主讲主讲 学好工程力学学好工程力学 提高工程素养提高工程素养二、刚体定点运动的有限位移和无限小位移二、刚体定点运动的有限位移和无限小位移1、刚体定点运动的有限位移、刚体定点运动的有限位移有限位移：有限位移：定点运动刚体从某定点运动刚体从某一位置到另一位置的变化一位置到另一位置的变化问题：问题：定点运动刚体的有限位移的顺序可否交换？定点运动刚体的有限位移的顺序可否交换？oo点位移的性质：点位移的性质：三维刚体定点运动的运动学与动力学三维刚体定点运动的运动学与动力学 张宇张宇 主讲主讲 学好工程力学学好工程力学 提高工程素养提高工程素养结论：结论：定点运动刚体有限位移的顺序定点运动刚体有限位移的顺序不可交换不可交换三维刚体定点运动的运动学与动力学三维刚体定点运动的运动学与动力学 张宇张宇 主讲主讲 学好工程力学学好工程力学 提高工程素养提高工程素养2、刚体定点运动的位移定理（达、刚体定点运动的位移定理（达-欧欧 定理）定理）定理：定理：定点运动刚体的任意有限位定点运动刚体的任意有限位移，可以绕通过固定点移，可以绕通过固定点O 的某一轴的某一轴经过一次转动来实现经过一次转动来实现。O三维刚体定点运动的运动学与动力学三维刚体定点运动的运动学与动力学 张宇张宇 主讲主讲 学好工程力学学好工程力学 提高工程素养提高工程素养例题：例题：将定点运动的板从位置将定点运动的板从位置(A)转动到位置转动到位置(B),(1):通过两次转动实现通过两次转动实现;(A)(B)(2)通过一次转动实现通过一次转动实现正方体问问题题：一一次次转转动动轴轴的的方方位位如如何何确确定定三维刚体定点运动的运动学与动力学三维刚体定点运动的运动学与动力学 张宇张宇 主讲主讲 学好工程力学学好工程力学 提高工程素养提高工程素养A三维刚体定点运动的运动学与动力学三维刚体定点运动的运动学与动力学 张宇张宇 主讲主讲 学好工程力学学好工程力学 提高工程素养提高工程素养A三维刚体定点运动的运动学与动力学三维刚体定点运动的运动学与动力学 张宇张宇 主讲主讲 学好工程力学学好工程力学 提高工程素养提高工程素养3、刚体定点运动的无限小位移、刚体定点运动的无限小位移问题：问题：在什么条件下，转动位移的顺序可交换在什么条件下，转动位移的顺序可交换可交换可交换结论：结论：定点运动刚体无限小位移的顺序定点运动刚体无限小位移的顺序可交换可交换三维刚体定点运动的运动学与动力学三维刚体定点运动的运动学与动力学 张宇张宇 主讲主讲 学好工程力学学好工程力学 提高工程素养提高工程素养o问题：问题：如何确定定点运动刚如何确定定点运动刚体绕某轴的无限小转角与刚体绕某轴的无限小转角与刚体上点的位移的关系？体上点的位移的关系？三维刚体定点运动的运动学与动力学三维刚体定点运动的运动学与动力学 张宇张宇 主讲主讲 学好工程力学学好工程力学 提高工程素养提高工程素养讨论讨论:无限小角位移的合成无限小角位移的合成结论：结论：同理同理无限小角位移满足矢量加法无限小角位移满足矢量加法在定点运动刚体上任意找一点，其矢径为在定点运动刚体上任意找一点，其矢径为 r三维刚体定点运动的运动学与动力学三维刚体定点运动的运动学与动力学 张宇张宇 主讲主讲 学好工程力学学好工程力学 提高工程素养提高工程素养AA三维刚体定点运动的运动学与动力学三维刚体定点运动的运动学与动力学 张宇张宇 主讲主讲 学好工程力学学好工程力学 提高工程素养提高工程素养AA三维刚体定点运动的运动学与动力学三维刚体定点运动的运动学与动力学 张宇张宇 主讲主讲 学好工程力学学好工程力学 提高工程素养提高工程素养三、刚体定点运动的角速度和角加速度三、刚体定点运动的角速度和角加速度角速度角速度瞬时转动轴：瞬时转动轴：三维刚体定点运动的运动学与动力学三维刚体定点运动的运动学与动力学 张宇张宇 主讲主讲 学好工程力学学好工程力学 提高工程素养提高工程素养角加速度角加速度用欧拉角表示的角速度用欧拉角表示的角速度欧拉角欧拉角节线节线三维刚体定点运动的运动学与动力学三维刚体定点运动的运动学与动力学 张宇张宇 主讲主讲 学好工程力学学好工程力学 提高工程素养提高工程素养例：例：已知动圆锥已知动圆锥A以匀角速率在定圆锥以匀角速率在定圆锥B上上纯滚动纯滚动，滚动的速率，滚动的速率为为（大小（大小为常量）常量）。确定动圆锥确定动圆锥A的角加速度的方向的角加速度的方向。结论结论：沿圆锥：沿圆锥B底面圆周的切线方向底面圆周的切线方向ABAB三维刚体定点运动的运动学与动力学三维刚体定点运动的运动学与动力学 张宇张宇 主讲主讲 学好工程力学学好工程力学 提高工程素养提高工程素养四、定点运动刚体上点的速度和加速度四、定点运动刚体上点的速度和加速度1、速、速 度：度：瞬时转动轴瞬时转动轴(instant axis of rotation)：在某瞬时，刚体上存在一根通过定点在某瞬时，刚体上存在一根通过定点O O的轴，在该的轴，在该轴上各点的速度均为零，该轴称为瞬时转轴。轴上各点的速度均为零，该轴称为瞬时转轴。问题：问题：在某瞬时刚体上哪些点的速度为零在某瞬时刚体上哪些点的速度为零？问题：问题：如何确定定点运动刚体的瞬时转动轴？如何确定定点运动刚体的瞬时转动轴？三维刚体定点运动的运动学与动力学三维刚体定点运动的运动学与动力学 张宇张宇 主讲主讲 学好工程力学学好工程力学 提高工程素养提高工程素养o向轴加速度向轴加速度转动加速度转动加速度角速度角速度2、加速度：、加速度：角加速度角加速度速速 度度三维刚体定点运动的运动学与动力学三维刚体定点运动的运动学与动力学 张宇张宇 主讲主讲 学好工程力学学好工程力学 提高工程素养提高工程素养例：例：已知已知 的大小为常量，求圆盘的角速度的大小为常量，求圆盘的角速度动系：动系：支架支架 动点：动点：圆盘上任意一点圆盘上任意一点变矢量变矢量常矢量常矢量根据根据 r 的任意性的任意性三维刚体定点运动的运动学与动力学三维刚体定点运动的运动学与动力学 张宇张宇 主讲主讲 学好工程力学学好工程力学 提高工程素养提高工程素养问题：问题：碾盘上的麦粒是被压碎的多碾盘上的麦粒是被压碎的多,还是被碾碎的多还是被碾碎的多?根据根据 三维刚体定点运动的运动学与动力学三维刚体定点运动的运动学与动力学 张宇张宇 主讲主讲 学好工程力学学好工程力学 提高工程素养提高工程素养例：例：已知棱长为已知棱长为L的正方体作定点运动，该瞬时的角速度的正方体作定点运动，该瞬时的角速度为为 （如左图所示），求正方体上（如左图所示），求正方体上A点的速度。点的速度。A解解：问题：问题：若已知定点运动刚体若已知定点运动刚体A点的速度的大小和方向（如点的速度的大小和方向（如右图所示），能否确定该瞬时刚体角速度的大小和方向。右图所示），能否确定该瞬时刚体角速度的大小和方向。A三维刚体定点运动的运动学与动力学三维刚体定点运动的运动学与动力学 张宇张宇 主讲主讲 学好工程力学学好工程力学 提高工程素养提高工程素养AB思考题：思考题：已知正方体作定点运动，该瞬时已知正方体作定点运动，该瞬时A、B两点的速度两点的速度方向如左图所，试确定正方体的角速度矢量方向。方向如左图所，试确定正方体的角速度矢量方向。问题：问题：已知正方体作定点运动，该瞬时已知正方体作定点运动，该瞬时A、B两点的两点的速度方向如右图所，试确定正方体的角速度矢量方向。速度方向如右图所，试确定正方体的角速度矢量方向。AB该该运运动动不不存存在在三维刚体定点运动的运动学与动力学三维刚体定点运动的运动学与动力学 张宇张宇 主讲主讲 学好工程力学学好工程力学 提高工程素养提高工程素养什么是陀螺？什么是陀螺？陀螺近似理论的关键陀螺近似理论的关键内容是什么？内容是什么？如何使用陀螺近似理如何使用陀螺近似理论？论？陀螺近似理论陀螺近似理论 张宇张宇 主讲主讲 学好工程力学学好工程力学 提高工程素养提高工程素养什么是陀螺？什么是陀螺？陀陀 螺螺(gyroscope)：绕质量对称轴高速旋转的定点运动刚体。绕质量对称轴高速旋转的定点运动刚体。结构特性：结构特性：有质量对称轴有质量对称轴运动特性：运动特性：绕质量对称轴高速转动绕质量对称轴高速转动（角速度的大小为常量）（角速度的大小为常量）陀螺近似理论陀螺近似理论 张宇张宇 主讲主讲 学好工程力学学好工程力学 提高工程素养提高工程素养陀螺近似理论的关键内容陀螺近似理论的关键内容问题问题:1 1、如何定性分析轴承、如何定性分析轴承C C、D D约束力的方向？约束力的方向？2 2、如何简便计算轴承、如何简便计算轴承C C、D D约束力的大小？约束力的大小？3 3、如何定性分析陀螺的动、如何定性分析陀螺的动力学特性？力学特性？目的：目的：要建立陀螺的运动及其作用力的简洁关系式要建立陀螺的运动及其作用力的简洁关系式 张宇张宇 主讲主讲 学好工程力学学好工程力学 提高工程素养提高工程素养充分利用陀螺的特性和动量矩定理等动力充分利用陀螺的特性和动量矩定理等动力学规律，学规律，(分析过程略分析过程略)，可以得到，可以得到陀螺近似理论公式：陀螺近似理论公式：陀螺近似理论陀螺近似理论 张宇张宇 主讲主讲 学好工程力学学好工程力学 提高工程素养提高工程素养陀螺的动力学特性：陀螺的动力学特性：陀螺（力矩）效应陀螺（力矩）效应、进动性、定向性、进动性、定向性陀螺力矩陀螺力矩(gyroscopic torque)：由于由于进动进动引起引起陀螺转子陀螺转子上上各质点惯性力各质点惯性力对对O点之矩的矢量和。点之矩的矢量和。陀螺近似理论：陀螺近似理论：其中：其中：MO是作用于陀螺转子上的所有外力对是作用于陀螺转子上的所有外力对O点之矩的矢量和，点之矩的矢量和，O点可以是点可以是惯性参考系惯性参考系中的中的固定点固定点，也可以是，也可以是刚体的质心刚体的质心。作用在陀螺上的外力矩与陀螺力矩相互平衡作用在陀螺上的外力矩与陀螺力矩相互平衡陀螺近似理论陀螺近似理论 张宇张宇 主讲主讲 学好工程力学学好工程力学 提高工程素养提高工程素养例：例：已知已知 且大小均为常量，均质圆盘质量为且大小均为常量，均质圆盘质量为m，半径半径为为R，CD2L，求转轴求转轴CD作用在支座作用在支座C、D的的附加动反力附加动反力。该问题是否该问题是否满足陀螺近似理满足陀螺近似理论的应用条件？论的应用条件？陀螺近似理论陀螺近似理论 张宇张宇 主讲主讲 学好工程力学学好工程力学 提高工程素养提高工程素养 当转子高速转动时，若转当转子高速转动时，若转轴也转动，则陀螺力矩会产生轴也转动，则陀螺力矩会产生附加动反力附加动反力。陀螺力矩陀螺力矩 陀螺力矩产生的作用效应陀螺力矩产生的作用效应称为称为陀螺效应。陀螺效应。陀螺近似理论陀螺近似理论 张宇张宇 主讲主讲 学好工程力学学好工程力学 提高工程素养提高工程素养 当计算机硬盘转动时，搬动计算机会损坏硬盘当计算机硬盘转动时，搬动计算机会损坏硬盘计算机硬盘的陀螺效应计算机硬盘的陀螺效应陀螺效应的实例陀螺效应的实例陀螺近似理论陀螺近似理论 张宇张宇 主讲主讲 学好工程力学学好工程力学 提高工程素养提高工程素养问题：问题：分析汽车转向时，车轮的陀螺效应分析汽车转向时，车轮的陀螺效应.设设汽汽车车右右转转弯弯陀螺近似理论陀螺近似理论 张宇张宇 主讲主讲 学好工程力学学好工程力学 提高工程素养提高工程素养问题：问题：分析飞机盘旋飞行时，发动机转子的陀螺效应。分析飞机盘旋飞行时，发动机转子的陀螺效应。转子的陀螺效应：转子的陀螺效应：使飞机抬头或低头。使飞机抬头或低头。陀螺近似理论陀螺近似理论 张宇张宇 主讲主讲 学好工程力学学好工程力学 提高工程素养提高工程素养陀螺近似理论陀螺近似理论 张宇张宇 主讲主讲 学好工程力学学好工程力学 提高工程素养提高工程素养陀螺近似理论陀螺近似理论 张宇张宇 主讲主讲 学好工程力学学好工程力学 提高工程素养提高工程素养O问题：问题：分析舰艇在波浪分析舰艇在波浪中行进时，转动系统的中行进时，转动系统的陀螺效应。陀螺效应。陀螺效应陀螺效应:产生疲劳破坏产生疲劳破坏陀螺近似理论陀螺近似理论 张宇张宇 主讲主讲 学好工程力学学好工程力学 提高工程素养提高工程素养问题：问题：碾轮转动时，作用在碾盘上外侧的正压力和碾轮转动时，作用在碾盘上外侧的正压力和内侧的正压力相比，哪个大？内侧的正压力相比，哪个大？陀螺效应：碾盘外侧的正压力增大陀螺效应：碾盘外侧的正压力增大陀螺近似理论陀螺近似理论 张宇张宇 主讲主讲 学好工程力学学好工程力学 提高工程素养提高工程素养陀螺的定向性陀螺的定向性在这里，我们不加证明地给出一个重要的结论：在这里，我们不加证明地给出一个重要的结论：高速转动的陀螺对作用时间短的外力具有很强高速转动的陀螺对作用时间短的外力具有很强的抗干扰能力，这个特性就叫做陀螺的定向性，的抗干扰能力，这个特性就叫做陀螺的定向性，也叫定轴性。也叫定轴性。陀螺近似理论陀螺近似理论 张宇张宇 主讲主讲 学好工程力学学好工程力学 提高工程素养提高工程素养飞行器惯性导航陀螺近似理论陀螺近似理论 张宇张宇 主讲主讲 学好工程力学学好工程力学 提高工程素养提高工程素养陀螺的进动性陀螺的进动性问题：问题：如何确定陀螺转子的如何确定陀螺转子的自转角速度方向？大小？自转角速度方向？大小？陀螺近似理论陀螺近似理论 张宇张宇 主讲主讲 学好工程力学学好工程力学 提高工程素养提高工程素养陀螺的定向性与进动性陀螺的定向性与进动性惯性导航仪需要定期重新校核，为什么？惯性导航仪需要定期重新校核，为什么？陀螺近似理论陀螺近似理论 张宇张宇 主讲主讲 学好工程力学学好工程力学 提高工程素养提高工程素养