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第第1节函数的基本概念节函数的基本概念(一一)考纲展示考纲解读1.了解构成函数的要素，了解映射的概念2在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数3了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)1.对函数概念、函数表示方法的考，常以图形的形式出现，题目基础、简单，但背景灵活多变2分段函数是高考的一个重点，多以选择题、填空题的形式出现，为中、低档题.1函数(1)函数的概念设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数，记作yf(x)，xA，其中x叫做自变量质疑探究1：函数的定义域可以是空集吗？(2)函数的定义域、值域定义域：函数yf(x)自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域值域：所有函数值构成的集合y|yf(x)，xA叫做这个函数的值域(3)函数的二要素：定义域和对应法则，由它们可确定函数的值域质疑探究2：定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数吗？提示：不一定是同一函数，两个函数要想表示同一函数，其定义域和对应法则必须相同，但如果两个函数的定义域和值域相同，并不意味着它们就是同一个函数，因为它们的对应关系不一定相同，例如：f(x)x2和g(x)2x1的定义域、值域相同，但二者不是同一函数(4)函数的表示方法表示函数的常用方法有：列表法、图象法、解析法(5)分段函数在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数2映射(1)映射及相关概念设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射，这时，称y是x在映射f的作用下的象，记作f(x)，x称作y的原象，其中A叫做映射f的定义域(函数定义域的推广)，由所有象f(x)构成的集合叫做映射f的值域通常记作f(A)(2)一一映射如果映射f是集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的任意一个元素，在集合A中都有且只有一个原象，把这个映射叫做从集合A到集合B的一一映射理解映射的概念要注意以下几点：(1)集合A，B可以是数集，也可以是点集或其他集合(2)A中每一个元素都可以在B中找到一个且只有一个元素和它对应(3)A中的不同元素允许对应B中的相同元素，即映射允许“多对一”、“一对一”，但不允许“一对多”(4)B中的元素在A中可以没有元素和它对应1(教材改编题)已知f(x)4(xR)，则f(2)的值等于(B)(A)2 (B)4 (C)2 (D)不确定解析：f(x)4是一个常数函数，f(2)4.解析：由题意，1lg(x21)，x2110，x3，C3，3，故选C.3设集合A和集合B都是实数集R，映射f：AB把集合A中的元素x映射到集合B中的元素lg(x21)，则在映射f下，象1的原象所构成的集合是(C)(A)1,1 (B)3,0(C)3，3 (D)3【例1】已知集合M1,1,2,4，N0,1,2，给出下列四个对应关系：yx2，yx1，y2x，ylog2|x|，其中能构成从M到N的映射的是()(A)(B)(C)(D)解析：由映射的概念知，对于集合M中的任一元素，在集合N中都有唯一确定的元素与之对应，而对于集合M中的元素2、4，按照对应法则，N中都没有元素与之对应，不能构成从M到N的映射，只有符合要求故选D.变式探究11：已知映射f：AB，其中集合B2,0,4,10，集合B中的元素都是集合A中的元素在映射f下的对应元素，且对任意的aA，在B中和它对应的元素是(a1)(a2)，那么集合A中元素的个数最多可能是()(A)4 (B)6 (C)8 (D)10解析：当(a1)(a2)10时，得a4，3；当(a1)(a2)4时，得a3，2；当(a1)(a2)0时，得a2，1；当(a1)(a2)2时，得a0,1，所以根据映射的定义知集合A中元素最多可能有4，3,3，2,2，1,0,1，一共8个，故选C.判断函数是否为同一函数，关键是看定义域和对应法则是否同时相同，二者均相同时才是同一函数【例3】对任意的实数x1，x2，minx1，x2表示x1，x2中较小的那个数若f(x)2x2，g(x)x，求minf(x)，g(x)的最大值本题若利用解析式直接求最大值，讨论繁琐，而利用图象法则显得直观、便捷对于分段函数给定自变量求函数值时，应根据自变量的范围，利用相应的解析式直接求解；若给定函数值求自变量，应根据函数每一段的解析式分别求解，但应注意检验该值是否在相应的自变量取值范围之内(1)由实际问题确定的函数，不仅要确定函数的解析式，同时要求出函数的定义域(一般要受实际问题限制)(2)要根据实际问题中自变量所表示的具体数量的含义来确定函数的定义域解析：从题中和图中收集C(t)函数的信息：从题中得知C(12)10，可排除D，从图可知C(6)0，可排除C，从题中可知Q(t)第二次与Q(t)10相交并下穿，而C(12)10，可知一定存在点t使得C(t)10，可排除B，故选A.错源：解析式化简不当导致函数定义域错误(对应学生用书第211页)【选题明细表】知识点、方法题号映射概念3、9函数概念1、5函数的表示方法2、7分段函数4、6、8、10、11解析：A、B、C选项中均有“一对二”的情形，不符合函数定义中的“一对一”或“多对一”故选D.2函数yf(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式为(C)(A)y|x|1 (B)y|x1|(C)y|x|1 (D)y|x1|解析：由图象可知f(0)1，排除选项A，f(1)0，排除B，f(1)0，排除D，故选C.解析：对于A，当x4时，yM；对于B，当x1时，函数无意义，而1P；对于C，当x0时，y3M；D符合映射定义故选D.解析：f(0)2012，f(f(0)f(2)222a4a.a2.故选C.解析：函数是一种特殊的映射，正确；定义域不存在，故不是函数；函数y2x(xN)的图象是一群孤立的点，不正确；其图象关于原点对称，不是抛物线，选A.解析：当x6时，由f(x)2得x52，x7，即f(7)2.又当x6，xN时，f(x)f(x2)，f(1)f(3)f(5)f(52)f(7)2，综上x值为1,3,5,7，故选D.解析：由题中图象可知f(3)1，于是f()f()f(1)，而图象过A点，故f(1)2，所以f()2.答案：2
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