32边缘条件独立课件

13.2.3.2.边缘分布、条件分布边缘分布、条件分布与随机变量的独立性与随机变量的独立性2 3.2边缘分布、条件分布边缘分布、条件分布 与随机变量的独立性与随机变量的独立性一、边缘分布一、边缘分布问题问题：由：由(X,Y)的分布导出的分布导出X或或Y的分布的分布.(X,Y)的分量的分量X,Y的分布函数称为的分布函数称为二维随机变量二维随机变量(X,Y)关于关于X、Y的边缘分布函数的边缘分布函数,分别记作分别记作FX(x),FY(y).FX(x)FY(y)PY yF(+,y)PX xF(x,+)二维随机变量二维随机变量(X,Y)中的中的X,Y均为随机变量均为随机变量.分布函数或分布律分布函数或分布律(离散型离散型)、概率密度、概率密度(连续型连续型)3例例1.已知已知(X,Y)的分布函数为的分布函数为 求求FX(x)与与FY(y).4二维离散型二维离散型:X的概率分布的概率分布称为称为(X,Y)关于关于X的边缘概率分布的边缘概率分布或或边缘分布律边缘分布律;Y的概率分布的概率分布称为称为(X,Y)关于关于Y的边缘概率分布的边缘概率分布或或边缘分布律边缘分布律.5则则(X,Y)关于关于X、Y的边缘分布律的边缘分布律分别为分别为:若随机变量若随机变量X与与Y的联合分布的联合分布律为律为由由边缘分布律边缘分布律易求易求边缘分布函数边缘分布函数1、二维离散型、二维离散型r.v.的边缘分布的边缘分布P59例例46例例2 已知已知(X,Y)的联合概率分布为的联合概率分布为(1)求求(X,Y)关于关于X和关于和关于Y的边缘概率分布的边缘概率分布(2)求求Z=X+Y的概率分布的概率分布(3)求求PX=1|Y=10 1 20 0.2 0.1 0.3XY pip j0.40.610.3 0.3 0.41 0.1 0.2 0.17解解:(1)关于关于X、Y的边缘概率分布为的边缘概率分布为 X 0 1 Y 0 1 2 P 0.60.4 P 0.3 0.3 0.4(2)Z的概率分布为的概率分布为(3)PX=1|Y=1=PZ=0=PX=0,Y=0=0.2PZ=1=PX=0,Y=1+PX=1,Y=0=0.2PZ=2=PX=0,Y=2+PX=1,Y=1=0.5PZ=3=PX=1,Y=2=0.1 Z 0 1 2 3 P 0.2 0.2 0.5 0.18二维连续型二维连续型:X的概率密度的概率密度称为称为(X,Y)关于关于X的边缘概率密度的边缘概率密度;Y的概率密度的概率密度称为称为(X,Y)关于关于Y的边缘概率密度的边缘概率密度.9(X,Y)关于关于X的边缘密度函数的边缘密度函数为为:设设(X,Y)f(x,y),(x,y)R2,F(x,y)为分布函数为分布函数,则则2、连续型、连续型r.v.边缘分布边缘分布(X,Y)关于关于Y的边缘密度函数的边缘密度函数为为:由由边缘边缘密度函数易求密度函数易求边缘分布函数边缘分布函数例例3 设设求求(1)关于关于X,Y的边缘概率密度的边缘概率密度 (2)求求P0X1/2解解:(1)X的概率密度的概率密度-1x 0,在在Y=yj的的条件下条件下,X的条件分布律的条件分布律:对固定的对固定的i,pi.0,在在X=xi的的条件下条件下,Y 的条件分布律的条件分布律:18X|Y=yjx1 x2 xi PY|X=xiy1 y2 yj P19i,j=1,2,X 和和Y 的联合概率分布的联合概率分布 X和和Y 的联合密度函数的联合密度函数边缘边缘概率概率分布分布边缘密度边缘密度202 连续型随机变量的条件分布连续型随机变量的条件分布X=x条件下关于条件下关于Y的条件密度函数的条件密度函数从而从而Y=y条件下关于条件下关于X 的条件密度函数的条件密度函数21例例7 已知已知(X,Y)的概率密度为的概率密度为解解:(1)求条件概率密度求条件概率密度(2)求条件概率求条件概率xy12223解解例例8(X,Y)N(1,2,12,22,)，求，求P64例例924三、随机变量的相互独立性三、随机变量的相互独立性定义定义 如果对任意实数如果对任意实数x,y,F(x,y)=FX(x)FY(y),即即称随机变量称随机变量X与与Y独立独立.事件相互独立性的推广事件相互独立性的推广1.离散型离散型r.v.的独立性的独立性定理定理1.离散型离散型r.v.(X,Y)的概率分布为的概率分布为则则X,Y 独立的充分必要条件为独立的充分必要条件为即即25例例9 设设r.v.(X,Y)的联合分布列为的联合分布列为证明证明X与与Y 相互独立相互独立.1 0 11 1/12 1/6 1/12XY pip j1/61/311/4 1/2 1/42 1/24 1/12 1/244 1/8 1/4 1/81/2易见：易见：类似可以验证类似可以验证:对所有的对所有的(i,j),有有X与与Y 相互独立相互独立.26定理定理2 设设(X,Y)是二维是二维连续型连续型随机变量，随机变量，X与与Y独独立的充分必要条件立的充分必要条件是是f(x,y)=fX(x)fY(y)2、连续型、连续型r.v.的独立性的独立性其中其中h(x),g(y)分别为分别为x,y函数函数.推论推论 设设(X,Y)是连续型随机变量是连续型随机变量,f(x,y)为为(X,Y)的概率密度函数的概率密度函数,则随机变量则随机变量X,Y独立的独立的充分必充分必要条件为要条件为f(x,y)h(x)g(y)27例例10 设设(X,Y)服从单位圆上的均匀分布服从单位圆上的均匀分布问问X,Y是否相互独立是否相互独立?解解:由例由例3 28例例11 设设(X,Y)服从服从N(1,2,12,22,)，证明，证明 X与与Y相互独立的充要条件是相互独立的充要条件是 0.(P66)证明证明 必要性必要性:(X,Y)的概率密度函数为的概率密度函数为关于关于X及及Y的边缘概率密度为：的边缘概率密度为：因因X,Y相互独立相互独立,则则当当x=1,y=2时时,有有充分性充分性 当当 =0时时,对任意的对任意的x,y均有均有f(x,y)=fX(x)fY(y)故故X,Y相互独立相互独立.四四n维随机变量的边缘分布与独立性维随机变量的边缘分布与独立性 n维随机变量维随机变量(X1,X2,Xn)的分布函数为的分布函数为(X1,X2,Xn)关于关于Xi(i=1,2,n)的边缘分布函数为的边缘分布函数为若对于所有的若对于所有的x1,x2,xn,有有则称则称X1,X2,Xn相互独立相互独立.30总结总结一、边缘分布一、边缘分布二、条件分布二、条件分布三、随机变量的相互独立性三、随机变量的相互独立性四、四、n维随机变量的边缘分布与独立性维随机变量的边缘分布与独立性31作业：作业：P67：6；P68：8(2).32练习练习:设随机变量设随机变量(X,Y)的概率密度是的概率密度是求求(1)c的值；的值；(2)两个边缘密度两个边缘密度.解：解：(1)由由(2)0 x1,c24/51 1331 10y1,34例例 某码头只能容纳一只船某码头只能容纳一只船.现预知某日将现预知某日将来到甲乙两只船来到甲乙两只船,且在且在24小时内来到的可小时内来到的可能性相等能性相等.如果两船需要停靠的时间均为如果两船需要停靠的时间均为3小时小时,试求甲船在江中等待的概率试求甲船在江中等待的概率.解解 设设X,Y表示甲乙两船到达码头的时间表示甲乙两船到达码头的时间,则则(1)35(2)X,Y相互独立相互独立A=“甲船在江中等待甲船在江中等待”=所求概率为所求概率为36372 连续型随机变量的条件分布连续型随机变量的条件分布函数定义为函数定义为定义定义 给定的给定的X=x条件下条件下,随机变量随机变量Y的条件分布的条件分布亦记为亦记为设随机变量设随机变量(X,Y)的分布函数为的分布函数为概率密度函数为概率密度函数为其边缘密度函数为其边缘密度函数为 ,则有则有38若记若记 为为Xx条件下关于条件下关于Y的条件密度函的条件密度函数数同理同理