313-空间向量的数量积运算课件

3.1.33.1.3空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算课标要求课标要求素养达成素养达成1.1.掌握空掌握空间向量向量夹角的概念及表示角的概念及表示方法方法,掌握两个向量的数量掌握两个向量的数量积的概的概念、性念、性质和和计算方法及运算律算方法及运算律.2.2.掌握两个向量的数量掌握两个向量的数量积的主要用的主要用途途,会用它解决立体几何中一些会用它解决立体几何中一些简单的的问题.通通过对空空间向量的学向量的学习,培养学生培养学生观察分析、察分析、类比比转化能力化能力,提高学提高学生的空生的空间想象力想象力.新知探求新知探求 素养养成素养养成知识点一知识点一如图所示如图所示,已知平面向量已知平面向量a a,b b.问题问题1:1:试作出向量试作出向量a a,b b的夹角的夹角.空间向量的夹角空间向量的夹角答案答案:如图如图,AOB,AOB为为a a和和b b的夹角的夹角.问题问题2:2:若若a a,b b为空间非零向量为空间非零向量,两向量还有夹角吗两向量还有夹角吗?若有试作出若有试作出.AOBAOB (2)(2)夹角的范围夹角的范围空间任意两个向量的夹角空间任意两个向量的夹角的取值范围是的取值范围是 .特别地特别地,当当=0=0时时,两向量同向共线两向量同向共线;当当=时时,两向量反向共线两向量反向共线,所以若所以若a ab b,则则=0=0或或;当当=时时,两向量垂直两向量垂直,记作记作a ab b.0,0,知识点二知识点二空间向量的数量积空间向量的数量积问题问题3:3:平面向量中平面向量中,(,(a ab b)c c=a a(b bc c)对吗对吗?在空间向量中呢在空间向量中呢?答案答案:不对不对,(,(a ab b)c c表示一个与表示一个与c c共线的向量共线的向量,而而a a(b bc c)表示一个与表示一个与a a共线的向量共线的向量,c c与与a a却不一定共线却不一定共线.在空间向量中也不对在空间向量中也不对.梳理梳理(1)(1)定义定义:已知两个非零向量已知两个非零向量a a,b b,则则 叫做叫做a a,b b的数的数量积量积,记作记作a ab b.|a a|b b|cos|cos(2)(2)数量积的运算律数量积的运算律数乘向量与向量数乘向量与向量数量数量积的的结合律合律(a)b=.交交换律律ab=.分配律分配律a(b+c)=)=.(ab)baab+ac(3)(3)数量积的性质数量积的性质a a,b b是非零向量是非零向量,则则a ab b a ab b=0.=0.|a ab b|a a|b b|.|.题型一题型一 空间向量数量积运算空间向量数量积运算课堂探究课堂探究 素养提升素养提升题型二题型二 利用空间向量的数量积求夹角利用空间向量的数量积求夹角【例例2 2】已已知知BBBB1 1平平面面ABC,ABC,且且ABCABC是是B=90B=90的的等等腰腰直直角角三三角角形形,ABBABB1 1A A1 1,BBBB1 1C C1 1C C的的对对角角线线都都分分别别相相互互垂垂直直且且相相等等,若若AB=a,AB=a,求求异异面面直直线线BABA1 1与与ACAC所成的角所成的角.方法技巧方法技巧 (1)(1)求几何体中两个向量的夹角可以把其中一个向量平移使求几何体中两个向量的夹角可以把其中一个向量平移使其起点与另一个向量的起点重合其起点与另一个向量的起点重合,通过解三角形得出夹角的大小通过解三角形得出夹角的大小,此法就此法就是求两个向量夹角的平移法是求两个向量夹角的平移法.(2)(2)由两个向量的数量积定义得由两个向量的数量积定义得coscos=,=,求求 的大小的大小,转化转化为求两个向量的数量积及两个向量的模的大小为求两个向量的数量积及两个向量的模的大小,求出求出 的余弦值的余弦值,进而进而求求 的大小的大小.(3)(3)利用向量的数量积求出两向量的夹角利用向量的数量积求出两向量的夹角,则这个夹角就是两异面直线所则这个夹角就是两异面直线所成的角或补角成的角或补角(注意异面直线所成角的范围注意异面直线所成角的范围).).题型三题型三 利用空间向量解决垂直问题利用空间向量解决垂直问题【例例3 3】如图如图,已知平行六面体已知平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的底面的底面ABCDABCD是菱形是菱形,且且C C1 1CB=CB=CC1 1CD=BCD.CD=BCD.求证求证:CA:CA1 1BB1 1D D1 1.方法技巧方法技巧 用向量法证明垂直关系的操作步骤用向量法证明垂直关系的操作步骤(1)(1)把几何问题转化为向量问题把几何问题转化为向量问题;(2);(2)用已知向量表示所证向量用已知向量表示所证向量;(3);(3)结合数结合数量积公式和运算律证明数量积为量积公式和运算律证明数量积为0;(4)0;(4)将向量问题回归到几何问题将向量问题回归到几何问题.即时训练即时训练3 3-1:1:已知空间四边形已知空间四边形OABCOABC中中,AOB=BOC=AOC,AOB=BOC=AOC,且且OA=OB=OC.OA=OB=OC.M,NM,N分别是分别是OA,BCOA,BC的中点的中点,G,G是是MNMN的中点的中点.求证求证:OGBC.:OGBC.题型四题型四 利用数量积求距离利用数量积求距离方方法法技技巧巧 用用空空间间向向量量求求两两点点间间距距离离,首首先先用用其其他他已已知知夹夹角角和和模模的的向向量量表示此向量表示此向量,再利用再利用a aa a=|=|a a|2 2,通过向量运算求通过向量运算求|a a|.|.(2)(2)若若BAC=90,BAABAC=90,BAA1 1=CAA=CAA1 1=60,AB=AC=AA=60,AB=AC=AA1 1=1,=1,求求MNMN的长的长.