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第二节第二节 Fourier变换变换|一一.Fourier变换的概念变换的概念|三三.非周期函数的频谱非周期函数的频谱我们知道,若函数f(t)满足Fourier积分定理的条件,则在f(t)的连续点处,有可以看出可以看出 f(t)与与 F(w)可相互转换可相互转换,分别记为分别记为 F(w)=F f(t)和和 f(t)=F -1F(w)1.Fourier变换的概念变换的概念(1.9)式叫做式叫做 f(t)的的Fourier变换式变换式,(1.10)式为式为 F(w)的的Fourier逆变换式逆变换式,2可以说象函数可以说象函数F(w w)和象原函数和象原函数f(t)构成了一个构成了一个Fourier变换对变换对.它们有相同的奇偶性它们有相同的奇偶性(习题二习题二).还可以将还可以将f(t)放在左端放在左端,F(w w)放在右端放在右端,中间用双向中间用双向箭头连接箭头连接:f(t)F(w)F(w w)称作称作f(t)的的象函数象函数,(1.9)式右端的积分运算式右端的积分运算,叫做叫做f(t)的的Fourier变换变换,f(t)称作称作F(w w)的的象原函数象原函数.同样同样,(1.10)式右端的积分运算式右端的积分运算,叫做叫做F(w w)的的Fourier逆变换逆变换.3由f(t)的Fourier正弦积分公式可得,f(t)的Fourier正弦变换F(w)的Fourier正弦逆变换由f(t)的Fourier余弦积分公式可得,f(t)的Fourier余弦变换F(w)的Fourier余弦逆变换4tf(t)15根据根据(1.9)式式,有有这就是指数衰减函数的这就是指数衰减函数的Fourier变换变换.6根据根据(1.10)式式,有有现在现在,我们来求指数衰减函数的积分表达式我们来求指数衰减函数的积分表达式.71.柯西-古萨基本定理.见复变函数课本第 170 页例 5.8因此有如果令b=1/2,就有可见钟形函数的Fourier变换也是钟形函数.9求钟形脉冲函数的积分表达式,根据(1.10)式10注意:在半无限区间上的同一函数,其正弦变换和余弦变换结果是不同的.11在物理和工程技术中,常常会碰到单位脉冲函数.有许多物理现象具有脉冲性质,如：2.单位脉冲函数及其单位脉冲函数及其Fourier变换变换在电学中,要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电流;在力学中,要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等.12在原来电流为零的电路中,某一瞬时(设为t=0)进入一单位电量的脉冲,现在要确定电路上的电流i(t).由于电流强度是电荷函数对时间的变化率,即当t0时,若以q(t)表示上述电路中的电荷函数,则当t=0时,q(t)在这一点不连续,0是q(t)的第一类间断点.从而在普通导数意义下,q(t)在这一点不存在导数.i(t)=0.13如果我们形式地计算这个导数,则得问题问题:在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够表示这样的电流强度表示这样的电流强度.解决办法解决办法:引进狄拉克引进狄拉克(Dirac)函数函数,简单记成简单记成 14弱收敛弱收敛:若对任何一个无穷次可微的函数f(t),如果函数序列Sn满足出发点出发点:想办法把无法表示的函数用某个可以表想办法把无法表示的函数用某个可以表出出的函数列求弱极限来得到的函数列求弱极限来得到.15称de(t)的弱极限为d-函数,记为d(t)de(t)1/eeO即即:d d-函数可以看成一个普通函数序列的函数可以看成一个普通函数序列的弱极限弱极限.16d d-函数的性质函数的性质:证明证明:因为对任何一个无穷次可微的函数f(t),性质性质1.17工程上将d-函数称为单位脉冲函数,tOd(t)1可将d-函数用一个长度等于1的有向线段表示,这个线段的长度表示d-函数的积分值,称为d-函数的强度.d(t)18性质性质2.证明证明:d d-函数的筛选性质函数的筛选性质19推论推论.证明证明:20d d-函数的其他性质函数的其他性质（习题（习题13）单位阶跃函数；单位阶跃函数；21d d-函数的函数的Fourier变换变换d d-函数的函数的Fourier变换为变换为:根据根据d d-函数的筛选性质可得函数的筛选性质可得,可见可见,d d-函数和函数和1构成了一个构成了一个Fourier变换对变换对.注意注意:此处的此处的Fourier变换是一种广义变换是一种广义Fourier变换变换.所谓广义是相对于古典意义而言的所谓广义是相对于古典意义而言的.22tOd(t)1wOF(w)1可见,单位脉冲函数d(t)与常数1构成了一Fourier变换对.同理,d(t-t0)和 亦构成了一个Fourier变换对.23在物理学和工程技术中,有许多重要函数不满足Fourier积分定理中的绝对可积条件,即不满足条件例如常数常数,符号函数符号函数,单位阶跃函数以及正单位阶跃函数以及正,余弦函数余弦函数等,然而它们的广义广义Fourier变换变换也是存在的,利用单位脉冲函数及其Fourier变换就可以求出它们的Fourier变换.引入单位脉冲函数的意义引入单位脉冲函数的意义:24pwO|F(w)|Otu(t)25证证:分析分析:当没有办法直接验证F(w)是一个函数的Fourier变换时,可以将F(w)代入Fourier逆变换,看结果是否为f(t).2627若F(w)=2pd(w)时,由Fourier逆变换可得所以1和2pd(w)也构成了一个Fourier变换对.推论推论:同理,如果F(w)=2pd(w-w0)28由上面两个函数的变换可得意义意义:d-d-函数的引入使得在普通意义下不存在的积分函数的引入使得在普通意义下不存在的积分有了确定的数值有了确定的数值.29例5 求正弦函数f(t)=sinw0t的Fourier变换.由Fourier变换公式可得解:30如图所示:tsintpp-w0w0Ow|F(w)|313.非周期函数的频谱非周期函数的频谱的振幅为而函数的复指数复指数形式为32频率为频率为w wn时的振幅时的振幅,即振幅随频率变化的分布情况即振幅随频率变化的分布情况.频谱图频谱图:频率和振幅的关系图频率和振幅的关系图.特点特点:频谱的图形是不连续的频谱的图形是不连续的,因为因为n=0,1,2,离散频谱离散频谱.33f(t)tE-t/2t/2例6 求下列周期函数的频谱.-T/2T/2解解:3435离散频谱离散频谱36对于非周期函数对于非周期函数,在频谱分析中在频谱分析中,傅氏变换傅氏变换F(w w)又称为又称为f(t)的的频谱函数频谱函数,而它的模而它的模|F(w w)|称为称为f(t)的的振幅频谱振幅频谱(亦简称为频谱亦简称为频谱).与周期函数频谱的区别与周期函数频谱的区别:连续频谱连续频谱,结论结论:对一个时间函数作对一个时间函数作Fourier变换变换,就是求这个就是求这个时间函数的频谱时间函数的频谱.37例7 作如图所示的单个矩形脉冲的频谱图f(t)解:单个矩形脉冲的频谱函数为:tE-t/2t/238矩形脉冲的频谱图为wEt|F(w)|O39注注:振幅函数振幅函数|F(w w)|是角频率是角频率w w的偶函数的偶函数,即即证明:40我们定义为f(t)的相角频谱.相角频谱相角频谱:显然,相角频谱j(w)是w的奇函数,即j(w)=-j(-w).结束放映41
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