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等差数列及其前n项和挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点等差数列的定义及通项公式理解等差数列的概念.掌握等差数列的通项公式.了解等差数列与一次函数的关系2016课标全国,17,12分等差数列基本量计算数值的计算等差数列的性质能利用等差数列的性质解决相应问题2015课标,5,5分等差数列的性质下标和定理等差数列的前n项和掌握等差数列的前n项和公式2018课标全国,17,12分基本量的计算及求前n项和最值二次函数求最值2015课标,7,5分等差数列基本量的计算2014课标,5,5分求等差数列前n项和等差数列的定义分析解读等差数列是高考考查的重点内容,主要考查等差数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式、等差中项等相关内容.本节内容在高考中分值为5分左右,属于中低档题.破考点【考点集训】考点一等差数列的定义及通项公式1.(2018陕西咸阳12月模拟,7)张丘建算经卷上一题大意为今有女善织,日益功疾,且从第二天起,每天比前一天多织相同量的布,现在一月(按30天计)共织布390尺,最后一天织布21尺,则该女第一天共织多少布?() A.3尺B.4尺C.5尺D.6尺答案C2.(2017安徽淮南一模,15)已知数列an满足递推关系式an+1=2an+2n-1(nN*),且an+2n为等差数列,则的值是.答案-13.(2018河南开封定位考试,17)已知数列an满足a1=12,且an+1=2an2+an.(1)求证:数列1an是等差数列;(2)若bn=anan+1,求数列bn的前n项和Sn.解析(1)证明:an+1=2an2+an,1an+1=2+an2an,1an+1-1an=12.数列1an是以2为首项,12为公差的等差数列.(2)由(1)知an=2n+3,bn=4(n+3)(n+4)=41n+3-1n+4,Sn=414-15+15-16+1n+3-1n+4=414-1n+4=nn+4.考点二等差数列的性质(2019届湖北宜昌模拟,6)已知数列an满足5an+1=255an,且a2+a4+a6=9,则log13(a5+a7+a9)=()A.-3B.3C.-13D.13答案A考点三等差数列的前n项和1.(2018安徽安庆调研,5)等差数列an中,已知S15=90,那么a8=()A.12B.4C.3D.6答案D2.(2017河南部分重点中学二联,6)设Sn是公差不为零的等差数列an的前n项和,且a10,若S5=S9,则当Sn最大时,n=()A.6B.7C.10D.9答案B3.(2019届福建龙岩永定区模拟,10)已知等差数列an,bn的前n项和分别为Sn和Tn,且SnTn=3n2n+1,则a11b11=()A.1813B.6323C.3323D.6343答案D炼技法【方法集训】方法1等差数列的判定与证明的方法(2019届福建三明模拟,17)已知数列an中,an=2n-1.(1)证明:数列an是等差数列;(2)若数列an的前n项和Sn=25,求n.解析(1)证明:an+1-an=2(n+1)-1-(2n-1)=2,a1=1,数列an是等差数列,首项为1,公差为2.(2)由(1)得数列an的前n项和Sn=n+(n-1)n22=n2,由Sn=25得n2=25,又n0,解得n=5.方法2等差数列前n项和的最值问题的解决方法1.(2019届江西高安模拟,11)已知数列an是等差数列,其前n项和为Sn,满足a1+3a2=S6,给出下列结论:(1)a7=0;(2)S13=0;(3)S7最小;(4)S5=S8.其中正确结论的个数是() A.1B.2C.3D.4答案C2.(2019届福建龙岩新罗区模拟,12)已知等差数列an的公差为-2,前n项和为Sn,a3,a4,a5为某三角形的三边长,且该三角形有一个内角为120,若SnSm对任意的nN*恒成立,则实数m=()A.7B.6C.5D.4答案B3.(2019届福建龙岩新罗区模拟,16)等差数列an中,Sn是它的前n项和,且S6S8,给出下列结论:数列an的公差d0;S9S6;S140;S7一定是Sn中的最大值.其中正确的是(填序号).答案过专题【五年高考】A组统一命题课标卷题组考点一等差数列的定义及通项公式(2016课标全国,17,12分)等差数列an中,a3+a4=4,a5+a7=6.(1)求an的通项公式;(2)设bn=an,求数列bn的前10项和,其中x表示不超过x的最大整数,如0.9=0,2.6=2.解析(1)设数列an的公差为d,由题意有2a1+5d=4,a1+5d=3.解得a1=1,d=25.(3分)所以an的通项公式为an=2n+35.(5分)(2)由(1)知,bn=2n+35.(6分)当n=1,2,3时,12n+352,bn=1;当n=4,5时,22n+353,bn=2;当n=6,7,8时,32n+354,bn=3;当n=9,10时,42n+350B.d0D.a1d0.设an的前n项和为Sn,a1=1,S2S3=36.(1)求d及Sn;(2)求m,k(m,kN*)的值,使得am+am+1+am+2+am+k=65.解析(1)由题意知(2a1+d)(3a1+3d)=36,将a1=1代入上式解得d=2或d=-5.因为d0,所以d=2.从而an=2n-1,Sn=n2(nN*).(2)由(1)得am+am+1+am+2+am+k=(2m+k-1)(k+1),所以(2m+k-1)(k+1)=65.由m,kN*知2m+k-1k+11,故2m+k-1=13,k+1=5,所以m=5,k=4.考点二等差数列的性质1.(2014重庆,2,5分)在等差数列an中,a1=2,a3+a5=10,则a7=()A.5B.8C.10D.14答案B2.(2015陕西,13,5分)中位数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 015,则该数列的首项为.答案5考点三等差数列的前n项和1.(2017浙江,6,4分)已知等差数列an的公差为d,前n项和为Sn,则“d0”是“S4+S62S5”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案C2.(2015安徽,13,5分)已知数列an中,a1=1,an=an-1+12(n2),则数列an的前9项和等于.答案27C组教师专用题组考点一等差数列的定义及通项公式1.(2013安徽,7,5分)设Sn为等差数列an的前n项和,S8=4a3,a7=-2,则a9=() A.-6B.-4C.-2D.2答案A2.(2014陕西,14,5分)已知f(x)=x1+x,x0,若f1(x)=f(x), fn+1(x)=f(fn(x),nN+,则f2 014(x)的表达式为.答案f2 014(x)=x1+2 014x3.(2015福建,17,12分)等差数列an中,a2=4,a4+a7=15.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=2an-2+n,求b1+b2+b3+b10的值.解析(1)设等差数列an的公差为d.由已知得a1+d=4,(a1+3d)+(a1+6d)=15,解得a1=3,d=1.所以an=a1+(n-1)d=n+2.(2)由(1)可得bn=2n+n.所以b1+b2+b3+b10=(2+1)+(22+2)+(23+3)+(210+10)=(2+22+23+210)+(1+2+3+10)=2(1-210)1-2+(1+10)102=(211-2)+55=211+53=2 101.4.(2013课标,17,12分)已知等差数列an的前n项和Sn满足S3=0,S5=-5.(1)求an的通项公式;(2)求数列1a2n-1a2n+1的前n项和.解析(1)设an的公差为d,则Sn=na1+n(n-1)2d.由已知可得3a1+3d=0,5a1+10d=-5.解得a1=1,d=-1.故an的通项公式为an=2-n.(2)由(1)知1a2n-1a2n+1=1(3-2n)(1-2n)=1212n-3-12n-1,从而数列1a2n-1a2n+1的前n项和为121-1-11+11-13+12n-3-12n-1=n1-2n.5.(2013江西,17,12分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin Asin B+sin Bsin C+cos 2B=1.(1)求证:a,b,c成等差数列;(2)若C=23,求ab的值.解析(1)证明:由已知得sin Asin B+sin Bsin C=2sin2B,因为sin B0,所以sin A+sin C=2sin B,由正弦定理,有a+c=2b,即a,b,c成等差数列.(2)由C=23,c=2b-a及余弦定理得(2b-a)2=a2+b2+ab,即有5ab-3b2=0,所以ab=35.考点二等差数列的性质(2013辽宁,4,5分)下面是关于公差d0的等差数列an的四个命题:p1:数列an是递增数列;p2:数列nan是递增数列;p3:数列ann是递增数列;p4:数列an+3nd是递增数列.其中的真命题为()A.p1,p2B.p3,p4C.p2,p3D.p1,p4答案D考点三等差数列的前n项和1.(2014天津,5,5分)设an是首项为a1,公差为-1的等差数列,Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1=()A.2B.-2C.12D.-12答案D2.(2014重庆,16,13分)已知an是首项为1,公差为2的等差数列,Sn表示an的前n项和.(1)求an及Sn;(2)设bn是首项为2的等比数列,公比q满足q2-(a4+1)q+S4=0.求bn的通项公式及其前n项和Tn.解析(1)因为an是首项a1=1,公差d=2的等差数列,所以an=a1+(n-1)d=2n-1.故Sn=1+3+(2n-1)=n(a1+an)2=n(1+2n-1)2=n2.(2)由(1)得a4=7,S4=16.因为q2-(a4+1)q+S4=0,即q2-8q+16=0,所以(q-4)2=0,从而q=4.又因为b1=2,bn是公比q=4的等比数列,所以bn=b1qn-1=24n-1=22n-1.从而bn的前n项和Tn=b1(1-qn)1-q=23(4n-1).3.(2013浙江,19,14分)在公差为d的等差数列an中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.(1)求d,an;(2)若d0,求|a1|+|a2|+|a3|+|an|.解析(1)由题意得5a3a1=(2a2+2)2,即d2-3d-4=0.故d=-1或d=4.所以an=-n+11,nN*或an=4n+6,nN*.(2)设数列an的前n项和为Sn.因为d0,由(1)得d=-1,an=-n+11,所以当n11时,|a1|+|a2|+|a3|+|an|=Sn=-12n2+212n.当n12时,|a1|+|a2|+|a3|+|an|=-Sn+2S11=12n2-212n+110.综上所述,|a1|+|a2|+|a3|+|an|=-12n2+212n,n11,12n2-212n+110,n12.【三年模拟】时间:45分钟分值:60分一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2018河南开封定位考试,5)等差数列an的前n项和为Sn,且a1+a5=10,S4=16,则数列an的公差为() A.1B.2C.3D.4答案B2.(2017辽宁六校协作体期中,8)已知等差数列an,bn的前n项和分别为Sn,Tn,若对于任意的正整数n,都有SnTn=2n-34n-1,则a3+a152(b3+b9)+a3b2+b10=()A.1943B.1740C.920D.2750答案A3.(2018云南玉溪模拟,9)若an是等差数列,公差d0,且a2 013(a2 012+a2 013)0成立的最大正整数n是()A.4 027B.4 026C.4 025D.4 024答案D4.(2017广东惠州二调,7)设Sn是等差数列an的前n项和,若a6a5=911,则S11S9=()A.1B.-1C.2D.12答案A5.(2019届河北唐山模拟,8)已知数列an的前n项和Sn=2+an,且a1=1,则S5=()A.27B.5327C.3116D.31答案C6.(2019届浙江温州模拟,9)已知an,bn均为等差数列,且a2=4,a4=6,b3=3,b7=9,由an,bn的公共项组成新数列cn,则c10=()A.18B.24C.30D.36答案C7.(2019届河北唐山模拟,6)设an是任意等差数列,它的前n项和、前2n项和与前4n项和分别为X,Y,Z,则下列等式中恒成立的是()A.2X+Z=3YB.4X+Z=4YC.2X+3Z=7YD.8X+Z=6Y答案D二、填空题(共5分)8.(2018四川德阳一模,7)我国古代数学名著张邱建算经中有“分钱问题”:今有与人钱,初一人与三钱,次一人与四钱,次一人与五钱,以次与之,转多一钱,与讫,还敛聚与均分之,人得一百钱,问人几何?意思是:将钱分给若干人,第一人给3钱,第二人给4钱,第三人给5钱,以此类推,每人比前一人多给1钱,分完后,再把钱收回平均分给各人,结果每人分得100钱,问有多少人?则题中的人数是.答案195三、解答题(共20分)9.(2018广东惠州一调,17)已知等差数列an的公差不为0,前n项和为Sn(nN*),S5=25,且S1,S2,S4成等比数列.(1)求an与Sn;(2)设bn=1SnSn+1,求证:b1+b2+b3+bn1.解析(1)设等差数列an的公差为d(d0),则由S5=25可得a3=5,即a1+2d=5,又S1,S2,S4成等比数列,且S1=a1,S2=2a1+d,S4=4a1+6d,所以(2a1+d)2=a1(4a1+6d),整理得2a1d=d2,因为d0,所以d=2a1,联立,解得a1=1,d=2,所以an=1+2(n-1)=2n-1,Sn=n(1+2n-1)2=n2.(2)证明:由(1)得bn=1n(n+1)=1n-1n+1,所以b1+b2+b3+bn=11-12+12-13+1n-1n+1=1-1n+1.又nN*,1-1n+11.b1+b2+b3+bn1.10.(2019届河北曲周模拟,17)等差数列an中,公差d0,a2+a6=-8,a3a5=7.(1)求an的通项公式;(2)记Tn为数列bn前n项的和,其中bn=|an|,nN*,若Tn1 464,求n的最小值.解析(1)等差数列an中,公差da5,解方程x2+8x+7=0,得a3=-1,a5=-7,a1+2d=-1,a1+4d=-7,解得a1=5,d=-3.an=5+(n-1)(-3)=-3n+8.(2)由(1)知an的前n项和Sn=5n+n(n-1)2(-3)=-32n2+132n.bn=|an|,b1=5,b2=2,b3=|-1|=1,b4=|-4|=4,当n3时,bn=|an|=3n-8.当n3时,T1=5,T2=7;当n3时,Tn=-Sn+2S2=3n22-13n2+14.Tn1 464,Tn=3n22-13n2+141 464,即(3n-100)(n+29)0,解得n1003,n的最小值为34.
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