资源描述
专题九平面解析几何【真题典例】9.1直线方程与圆的方程挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.直线方程在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线的几何要素;理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式;掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系2015课标,20,12分直线方程抛物线的几何性质2.圆的方程掌握圆的几何要素;掌握圆的标准方程与一般方程2018课标,19,12分直线方程与圆的方程抛物线的几何性质2017课标,20,12分直线方程与圆的方程两直线垂直与其斜率的关系2016课标,4,5分圆的方程点到直线距离公式2015课标,14,5分圆的方程椭圆的几何性质分析解读从近5年高考情况来看,对本节主要考查直线方程和圆的方程的求法,常以选择题、填空题的形式出现,难度中等,解答时应充分利用分类讨论、数形结合的思想.在解决有关圆的问题时应充分利用圆的几何性质简化运算.破考点【考点集训】考点一直线方程1.(2017吉林梅河口校级二模,4)已知角是第二象限角,直线2x+ytan+1=0的斜率为83,则cos等于()A.35B.-35C.45D.-45答案D2.(2018江西九江月考,5)经过点A(1,2)且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为()A.y=2x或x-y+1=0B.y=2x或x+y-3=0C.x+y-3=0或x-y+1=0D.y=2x或x+y-3=0或x-y+1=0答案D考点二圆的方程1.(2018广东珠海四校4月联考,8)已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的标准方程为()A.(x+1)2+(y-1)2=2B.(x-1)2+(y+1)2=2C.(x-1)2+(y-1)2=2D.(x+1)2+(y+1)2=2答案B2.(2017河南豫北名校4月联考,4)与圆(x-2)2+y2=4关于直线y=33x对称的圆的方程是()A.(x-3)2+(y-1)2=4B.(x-2)2+(y-2)2=4C.x2+(y-2)2=4D.(x-1)2+(y-3)2=4答案D3.(2018甘肃兰州模拟,7)已知点A是直角三角形ABC的直角顶点,且A(2a,2),B(-4,a),C(2a+2,2),则ABC的外接圆的方程是()A.x2+(y-3)2=5B.x2+(y+3)2=5C.(x-3)2+y2=5D.(x+3)2+y2=5答案D炼技法【方法集训】方法1直线的倾斜角与斜率的求解方法1.(2018陕西延安期中,5)直线a2x-b2y=1(其中a,bR,且ab0)的倾斜角的取值范围为()A.0,2B.4,34C.2,34D.2,答案A2.(2018湖北黄冈模拟,4)直线x-ysin+1=0的倾斜角的取值范围是()A.4,34B.0,434,C.0,4D.4,22,34答案A3.(2017河南豫南九校联考,5)若是直线l的倾斜角,且sin+cos=55,则l的斜率为()A.-12B.-12或-2C.12或2D.-2答案D方法2解与圆有关的最值问题的方法1.(2017湖南长沙二模,5)圆x2+y2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2距离的最大值是()A.1+2B.2C.1+22D.2+22答案A2.(2018河南洛阳期末)已知正数x,y满足x2+y2=1,则3x+y的取值范围是()A.(1,3B.(1,2C.(3,2D.(2,23)答案B3.(2018福建长汀模拟,10)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠,他对圆锥曲线有深刻且系统的研究,主要研究成果集中在他的代表作圆锥曲线一书中,阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一,指的是:已知动点M与两定点A、B的距离之比为(0,1),那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.如动点M与两定点A95,0、B(5,0)的距离之比为35时的阿波罗尼斯圆为x2+y2=9.下面,我们来研究与此相关的一个问题:已知圆O:x2+y2=1上的动点M和定点A-12,0,已知点B(1,1),则2|MA|+|MB|的最小值为()A.6B.7C.10D.11答案C过专题【五年高考】A组统一命题课标卷题组考点一直线方程(2015课标,20,12分)在直角坐标系xOy中,曲线C:y=x24与直线l:y=kx+a(a0)交于M,N两点.(1)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;(2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有OPM=OPN?说明理由.解析(1)由题设可得M(2a,a),N(-2a,a)或M(-2a,a),N(2a,a).又y=x2,故y=x24在x=2a处的导数值为a,C在点(2a,a)处的切线方程为y-a=a(x-2a),即ax-y-a=0.y=x24在x=-2a处的导数值为-a,C在点(-2a,a)处的切线方程为y-a=-a(x+2a),即ax+y+a=0.故所求切线方程为ax-y-a=0和ax+y+a=0.(5分)(2)存在符合题意的点,证明如下:设P(0,b)为符合题意的点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为k1,k2.将y=kx+a代入C的方程得x2-4kx-4a=0.故x1+x2=4k,x1x2=-4a.从而k1+k2=y1-bx1+y2-bx2=2kx1x2+(a-b)(x1+x2)x1x2=k(a+b)a.当b=-a时,有k1+k2=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,故OPM=OPN,所以点P(0,-a)符合题意.(12分)疑难突破要使OPM=OPN,只需直线PM与直线PN的斜率互为相反数.考点二圆的方程1.(2016课标,4,5分)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=()A.-43B.-34C.3D.2答案A2.(2015课标,14,5分)一个圆经过椭圆x216+y24=1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为.答案x-322+y2=2543.(2018课标,19,12分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.(1)求l的方程;(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.解析(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k0),设A(x1,y1),B(x2,y2).由y=k(x-1),y2=4x得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.=16k2+160,故x1+x2=2k2+4k2.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=4k2+4k2.由题设知4k2+4k2=8,解得k=-1(舍去),或k=1,因此l的方程为y=x-1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则y0=-x0+5,(x0+1)2=(y0-x0+1)22+16.解得x0=3,y0=2或x0=11,y0=-6.因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.方法总结有关抛物线的焦点弦问题,常用抛物线的定义进行转化求解,在求解过程中应注重利用根与系数的关系进行整体运算.一般地,求直线和圆的方程时,利用待定系数法求解.4.(2017课标,20,12分)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.(1)证明:坐标原点O在圆M上;(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.解析本题考查直线与圆锥曲线的位置关系.(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2.由x=my+2,y2=2x可得y2-2my-4=0,则y1y2=-4.又x1=y122,x2=y222,故x1x2=(y1y2)24=4.因此OA的斜率与OB的斜率之积为y1x1y2x2=-44=-1,所以OAOB.故坐标原点O在圆M上.(2)由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4.故圆心M的坐标为(m2+2,m),圆M的半径r=(m2+2)2+m2.由于圆M过点P(4,-2),因此 APBP=0,故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.由(1)可得y1y2=-4,x1x2=4.所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=-12.当m=1时,直线l的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为10,圆M的方程为(x-3)2+(y-1)2=10.当m=-12时,直线l的方程为2x+y-4=0,圆心M的坐标为94,-12,圆M的半径为854,圆M的方程为x-942+y+122=8516.解后反思直线与圆锥曲线相交问题,常联立方程,消元得到一个一元二次方程,然后利用根与系数的关系处理.以某线段为直径的圆的方程,也可以用该线段的两端点坐标(x1,y1)、(x2,y2)表示:(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.B组自主命题省(区、市)卷题组1.(2014陕西,12,5分)若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为.答案x2+(y-1)2=12.(2016江苏,18,16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程;(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得TA+TP=TQ,求实数t的取值范围.解析圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.(1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).因为圆N与x轴相切,与圆M外切,所以0y00,r0),则有(1-a)2+(7)2=r2,71-a37=-1,解得a=4,r=4,所以圆M的方程为(x-4)2+y2=16.(2)由题意知AOB=2,设直线OA的斜率为k(k0),则直线OB的斜率为-1k,直线OA的方程为y=kx,直线OB的方程为y=-1kx.由y=kx,x2+y2-8x=0,得(1+k2)x2-8x=0,解得x=0,y=0或x=81+k2,y=8k1+k2,则点A的坐标为81+k2,8k1+k2.同理可得点B的坐标为8k21+k2,-8k1+k2.又由题意知,C(8,8k),D8,-8k,因此,S1S2=OAOBOCOD,又OAOC=xAxC=81+k28=11+k2,同理OBOD=xBxD=k21+k2,所以S1S2=k2k4+2k2+1=1k2+1k2+214,当且仅当|k|=1时取等号,又S1S20,所以S1S2的取值范围是0,14.12.(2018广东深圳3月联考,19)如图,直角三角形ABC的顶点A的坐标为(-2,0),直角顶点B的坐标为(0,-22),顶点C在x轴上,点P为线段OA的中点.(1)求BC边所在直线方程;(2)若M为直角三角形ABC外接圆的圆心,求圆M的方程;(3)在(2)的条件下,若动圆N过点P且与圆M内切,求动圆N的圆心的轨迹方程.解析(1)易知kAB=-2,ABBC,kCB=22,BC边所在直线方程为y=22x-22.(2)由(1)及题意得C(4,0),M(1,0),又AM=3,外接圆M的方程为(x-1)2+y2=9.(3)圆N过点P(-1,0),PN是动圆的半径,又动圆N与圆M内切,MN=3-PN,即MN+PN=3,点N的轨迹是以M,P为焦点,长轴长为3的椭圆.P(-1,0),M(1,0),a=32,c=1,b=a2-c2=54,所求轨迹方程为x294+y254=1,即4x29+4y25=1.思路分析(1)由kAB=-2,ABBC,知kBC=22,由此求BC边所在直线的方程;(2)由(1)中的方程,令y=0,得C(4,0),从而得圆心与半径,进而得出圆M的方程;(3)利用两圆内切得MN+PN=3,利用椭圆定义得点N的轨迹,从而得轨迹方程.
展开阅读全文