资源描述
椭圆及其性质探考情 悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点椭圆的定义及标准方程掌握椭圆的定义,并会用椭圆的定义解题;掌握椭圆的几何图形和标准方程,并会用待定系数法求椭圆的方程2019课标全国,12,5分椭圆的方程余弦定理椭圆的几何性质掌握椭圆的几何性质,并会熟练运用;理解椭圆离心率的定义,并会求椭圆的离心率2019课标全国,20,12分椭圆的离心率椭圆的定义2018课标全国,11,5分椭圆的离心率椭圆的定义,焦点三角形2018课标全国,4,5分椭圆的离心率椭圆的标准方程2019课标全国,15,5分椭圆的几何性质直线与椭圆的位置关系掌握直线与椭圆位置关系的判断方法;理解“整体代换”思想的含义,并能通过直线与椭圆位置关系解答相应问题2018课标全国,20,12分直线与椭圆的位置关系弦中点,向量的运算,弦长问题分析解读从近几年的高考试题来看,椭圆的定义、标准方程、几何性质以及直线与椭圆的位置关系一直是高考命题的重点和热点,因此要求学生在备考时注重以下内容:能够熟练使用直接法、待定系数法、定义法求椭圆的方程;能熟练运用椭圆的几何性质(如范围、对称性、顶点、离心率等)解决相关问题;能够把直线与椭圆的位置关系问题转化为方程组解的问题,从而判断其位置关系,解决相关问题.在解答题中常以椭圆的方程、几何性质以及直线与椭圆的位置关系为主,同时与向量、函数、不等式等知识综合起来进行考查趋势逐渐加强,备考时应加以重视.破考点 练考向【考点集训】考点一椭圆的定义及标准方程1.(2019湖北重点中学第一次调研,11)点P是椭圆x29+y25=1上的点,F1、F2是椭圆的左、右焦点,则PF1F2的周长是()A.12B.10C.8D.6答案B2.(2018湖北十堰十三中质检,6)一个椭圆的中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,P(2,3)是椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆的标准方程为()A.x28+y26=1B.x216+y26=1C.x24+y22=1D.x28+y24=1答案A考点二椭圆的几何性质1.(2020届河南新乡、许昌两市第二次联考,4)焦点在x轴上的椭圆x2a2+y23=1(a0)的离心率为22,则a=()A.6B.6+32C.6D.32答案C2.(2020届辽宁抚顺部分重点中学第二次联考,6)已知椭圆x2a2+y24=1的一个焦点坐标为(4,0),则a=()A.25B.23C.23D.25答案A3.(2020届百师联盟第一次联考,5)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0),F1、F2为其左、右焦点,|F1F2|=22,B为短轴的一个端点,三角形BF1O(O为坐标原点)的面积为7,则椭圆的长轴长为()A.4B.8C.1+332D.1+33答案B4.(2018湖北武汉模拟,4)曲线x225+y29=1与曲线x225-k+y29-k=1(kb0)与双曲线C2:x2a2-y2b2=1的离心率之积为32,直线l:x-y+3=0与椭圆C1相切,则椭圆C1的方程为()A.x22+y2=1B.x24+y22=1C.x26+y23=1D.x216+y28=1答案C2.已知椭圆C的中心在原点,焦点在坐标轴上,且经过两点(2,-2),-1,142,则椭圆C的方程为.答案x28+y24=1方法2求椭圆的离心率(或其取值范围)的方法1.(2017课标全国,11,5分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为()A.63B.33C.23D.13答案A2.(2018课标全国,11,5分)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点.若PF1PF2,且PF2F1=60,则C的离心率为()A.1-32B.2-3C.3-12D.3-1答案D3.(2020届河南十所名校尖子生第二次联考,12)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右顶点分别为A,B,点M为椭圆C上异于A,B的一点.直线AM和直线BM的斜率之积为-14,则椭圆C的离心率为()A.14B.12C.32D.154答案C4.设F1(-c,0)、F2(c,0)分别是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,若在直线x=a2c上存在点P,使线段PF1的中垂线过点F2,则椭圆离心率的取值范围是()A.0,22B.0,33C.22,1D.33,1答案D方法3解决弦中点问题的方法1.(2019湖南郴州一模,11)已知椭圆x24+y2b2=1(0bb0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为()A.13B.12C.23D.34答案A5.(2019课标全国,15,5分)设F1,F2为椭圆C:x236+y220=1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若MF1F2为等腰三角形,则M的坐标为.答案(3,15)6.(2019课标全国,20,12分)已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的两个焦点,P为C上的点,O为坐标原点.(1)若POF2为等边三角形,求C的离心率;(2)如果存在点P,使得PF1PF2,且F1PF2的面积等于16,求b的值和a的取值范围.答案本题主要考查椭圆的定义、简单的几何性质;考查数形结合的数学思想和逻辑思维能力与运算求解能力;体现了逻辑推理与数学运算的核心素养.(1)连接PF1.由POF2为等边三角形可知在F1PF2中,F1PF2=90,|PF2|=c,|PF1|=3c,于是2a=|PF1|+|PF2|=(3+1)c,故C的离心率e=ca=3-1.(2)由题意可知,满足条件的点P(x,y)存在,当且仅当12|y|2c=16,yx+cyx-c=-1,x2a2+y2b2=1,即c|y|=16,x2+y2=c2,x2a2+y2b2=1.由及a2=b2+c2得y2=b4c2,又由知y2=162c2,故b=4.由得x2=a2c2(c2-b2),所以c2b2,从而a2=b2+c22b2=32,故a42.当b=4,a42时,存在满足条件的点P.所以b=4,a的取值范围为42,+).7.(2018课标全国,20,12分)已知斜率为k的直线l与椭圆C:x24+y23=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m0).(1)证明:k-12;(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且FP+FA+FB=0.证明:2|FP|=|FA|+|FB|.答案本题考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系.(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x124+y123=1,x224+y223=1.两式相减,并由y1-y2x1-x2=k得x1+x24+y1+y23k=0.由题设知x1+x22=1,y1+y22=m,于是k=-34m.由题设得0m32,故k-12.(2)证明:由题意得F(1,0).设P(x3,y3),则(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0).由(1)及题设得x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2m0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MANA.(1)当|AM|=|AN|时,求AMN的面积;(2)当2|AM|=|AN|时,证明:3k0.由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为4.又A(-2,0),因此直线AM的方程为y=x+2.(2分)将x=y-2代入x24+y23=1得7y2-12y=0.解得y=0或y=127,所以y1=127.因此AMN的面积SAMN=212127127=14449.(4分)(2)证明:将直线AM的方程y=k(x+2)(k0)代入x24+y23=1得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.由x1(-2)=16k2-123+4k2得x1=2(3-4k2)3+4k2,故|AM|=|x1+2|1+k2=121+k23+4k2.由题设,直线AN的方程为y=-1k(x+2),故同理可得|AN|=12k1+k23k2+4.(7分)由2|AM|=|AN|得23+4k2=k3k2+4,即4k3-6k2+3k-8=0.(9分)设f(t)=4t3-6t2+3t-8,则k是f(t)的零点,f(t)=12t2-12t+3=3(2t-1)20,所以f(t)在(0,+)内单调递增.又f(3)=153-260,因此f(t)在(0,+)内有唯一的零点,且零点k在(3,2)内,所以3kb0)的焦点为F1(-1,0),F2(1,0).过F2作x轴的垂线l,在x轴的上方,l与圆F2:(x-1)2+y2=4a2交于点A,与椭圆C交于点D.连接AF1并延长交圆F2于点B,连接BF2交椭圆C于点E,连接DF1.已知DF1=52.(1)求椭圆C的标准方程;(2)求点E的坐标.答案本题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.(1)设椭圆C的焦距为2c.因为F1(-1,0),F2(1,0),所以F1F2=2,c=1.又因为DF1=52,AF2x轴,所以DF2=DF12-F1F22=522-22=32.因此2a=DF1+DF2=4,从而a=2.由b2=a2-c2,得b2=3.因此,椭圆C的标准方程为x24+y23=1.(2)解法一:由(1)知,椭圆C:x24+y23=1,a=2.因为AF2x轴,所以点A的横坐标为1.将x=1代入圆F2的方程(x-1)2+y2=16,解得y=4.因为点A在x轴上方,所以A(1,4).又F1(-1,0),所以直线AF1:y=2x+2.由y=2x+2,(x-1)2+y2=16,得5x2+6x-11=0,解得x=1或x=-115.将x=-115代入y=2x+2,得y=-125.因此B-115,-125.又F2(1,0),所以直线BF2:y=34(x-1).由y=34(x-1),x24+y23=1,得7x2-6x-13=0,解得x=-1或x=137.又因为E是线段BF2与椭圆的交点,所以x=-1.将x=-1代入y=34(x-1),得y=-32.因此E-1,-32.解法二:由(1)知,椭圆C:x24+y23=1.如图,连接EF1.因为BF2=2a,EF1+EF2=2a,所以EF1=EB,从而BF1E=B.因为F2A=F2B,所以A=B.所以A=BF1E,从而EF1F2A.因为AF2x轴,所以EF1x轴.因为F1(-1,0),由x=-1,x24+y23=1,解得y=32.又因为E是线段BF2与椭圆的交点,所以y=-32.因此E-1,-32.3.(2018天津,19,14分)设椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离心率为53,|AB|=13.(1)求椭圆的方程;(2)设直线l:y=kx(kx10,点Q的坐标为(-x1,-y1).由BPM的面积是BPQ面积的2倍,可得|PM|=2|PQ|,从而x2-x1=2x1-(-x1),即x2=5x1.易知直线AB的方程为2x+3y=6,由方程组2x+3y=6,y=kx,消去y,可得x2=63k+2.由方程组x29+y24=1,y=kx,消去y,可得x1=69k2+4.由x2=5x1,可得9k2+4=5(3k+2),两边平方,整理得18k2+25k+8=0,解得k=-89或k=-12.当k=-89时,x2=-9b0)的右焦点,直线y=b2与椭圆交于B,C两点,且BFC=90,则该椭圆的离心率是.答案632.(2019天津,19,14分)设椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F,左顶点为A,上顶点为B.已知3|OA|=2|OB|(O为原点).(1)求椭圆的离心率;(2)设经过点F且斜率为34的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P,圆C同时与x轴和直线l相切,圆心C在直线x=4上,且OCAP.求椭圆的方程.答案本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力.(1)设椭圆的半焦距为c,由已知有3a=2b.又由a2=b2+c2,消去b得a2=32a2+c2,解得ca=12.所以,椭圆的离心率为12.(2)由(1)知,a=2c,b=3c,故椭圆方程为x24c2+y23c2=1.由题意,F(-c,0),则直线l的方程为y=34(x+c).点P的坐标满足x24c2+y23c2=1,y=34(x+c),消去y并化简,得到7x2+6cx-13c2=0,解得x1=c,x2=-13c7.代入到l的方程,解得y1=32c,y2=-914c.因为点P在x轴上方,所以Pc,32c.由圆心C在直线x=4上,可设C(4,t).因为OCAP,且由(1)知A(-2c,0),故t4=32cc+2c,解得t=2.则C(4,2).因为圆C与x轴相切,所以圆的半径长为2,又由圆C与l相切,得34(4+c)-21+342=2,可得c=2.所以,椭圆的方程为x216+y212=1.考点三直线与椭圆的位置关系1.(2018江苏,18,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C过点3,12,焦点F1(-3,0),F2(3,0),圆O的直径为F1F2.(1)求椭圆C及圆O的方程;(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.若直线l与椭圆C有且只有一个公共点,求点P的坐标;直线l与椭圆C交于A,B两点.若OAB的面积为267,求直线l的方程.答案解法一:(1)因为椭圆C的焦点为F1(-3,0),F2(3,0),所以可设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(ab0).又点3,12在椭圆C上,所以3a2+14b2=1,a2-b2=3,解得a2=4,b2=1.因此,椭圆C的方程为x24+y2=1.因为圆O的直径为F1F2,所以其方程为x2+y2=3.(2)设直线l与圆O相切于P(x0,y0)(x00,y00),则x02+y02=3.所以直线l的方程为y=-x0y0(x-x0)+y0,即y=-x0y0x+3y0.由x24+y2=1,y=-x0y0x+3y0消去y,得(4x02+y02)x2-24x0x+36-4y02=0.(*)因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点,所以=(-24x0)2-4(4x02+y02)(36-4y02)=48y02(x02-2)=0.因为x0,y00,所以x0=2,y0=1.因此,点P的坐标为(2,1).因为三角形OAB的面积为267,所以12ABOP=267,从而AB=427.设A(x1,y1),B(x2,y2),由(*)得x1,2=24x048y02(x02-2)2(4x02+y02),所以AB2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=1+x02y0248y02(x02-2)(4x02+y02)2.因为x02+y02=3,所以AB2=16(x02-2)(x02+1)2=3249,即2x04-45x02+100=0.解得x02=52(x02=20舍去),则y02=12,因此P的坐标为102,22.则直线l的方程为y=-5x+32.解法二:(1)由题意知c=3,所以圆O的方程为x2+y2=3,因为点3,12在椭圆上,所以2a=(3-3)2+12-02+(3+3)2+12-02=4,所以a=2.因为a2=b2+c2,所以b=1,所以椭圆C的方程为x24+y2=1.(2)由题意知直线l与圆O和椭圆C均相切,且切点在第一象限,所以直线l的斜率k存在且k0,设直线l的方程为y=kx+m(k0),将直线l的方程代入圆O的方程,得x2+(kx+m)2=3,整理得(k2+1)x2+2kmx+m2-3=0,因为直线l与圆O相切,所以=(2km)2-4(k2+1)(m2-3)=0,整理得m2=3k2+3,将直线l的方程代入椭圆C的方程,得x24+(kx+m)2=1,整理得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,因为直线l与椭圆C相切,所以=(8km)2-4(4k2+1)(4m2-4)=0,整理得m2=4k2+1,所以3k2+3=4k2+1,因为k0,所以k=-2,则m=3,将k=-2,m=3代入(k2+1)x2+2kmx+m2-3=0,整理得x2-22x+2=0,解得x1=x2=2,将x=2代入x2+y2=3,解得y=1(y=-1舍去),所以点P的坐标为(2,1).设A(x1,kx1+m),B(x2,kx2+m),由知m2=3k2+3,且k0,因为直线l和椭圆C相交,所以结合的过程知m24k2+1,解得k-2,将直线l的方程和椭圆C的方程联立可得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,解得x1,2=-8km44k2+1-m22(4k2+1),所以|x1-x2|=44k2+1-m24k2+1,因为AB=(x1-x2)2+(kx1-kx2)2=|x1-x2|k2+1=44k2+1-m24k2+1k2+1,O到l的距离d=|m|k2+1=3,所以SOAB=1244k2+1-m24k2+1k2+1|m|k2+1=124k2-24k2+1k2+13=267,解得k2=5,因为kb0)的离心率为63,焦距为22.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A,B.(1)求椭圆M的方程;(2)若k=1,求|AB|的最大值;(3)设P(-2,0),直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C,D和点Q-74,14共线,求k.答案(1)由题意得a2=b2+c2,ca=63,2c=22,解得a=3,b=1.所以椭圆M的方程为x23+y2=1.(2)设直线l的方程为y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2).由y=x+m,x23+y2=1得4x2+6mx+3m2-3=0.所以x1+x2=-3m2,x1x2=3m2-34.|AB|=(x2-x1)2+(y2-y1)2=2(x2-x1)2=2(x1+x2)2-4x1x2=12-3m22.当m=0,即直线l过原点时,|AB|最大,最大值为6.(3)设A(x1,y1),B(x2,y2).由题意得x12+3y12=3,x22+3y22=3.直线PA的方程为y=y1x1+2(x+2).由y=y1x1+2(x+2),x2+3y2=3,得(x1+2)2+3y12x2+12y12x+12y12-3(x1+2)2=0.设C(xC,yC).所以xC+x1=-12y12(x1+2)2+3y12=4x12-124x1+7.所以xC=4x12-124x1+7-x1=-12-7x14x1+7.所以yC=y1x1+2(xC+2)=y14x1+7.设D(xD,yD).同理得xD=-12-7x24x2+7,yD=y24x2+7.记直线CQ,DQ的斜率分别为kCQ,kDQ,则kCQ-kDQ=y14x1+7-14-12-7x14x1+7+74-y24x2+7-14-12-7x24x2+7+74=4(y1-y2-x1+x2).因为C,D,Q三点共线,所以kCQ-kDQ=0.故y1-y2=x1-x2.所以直线l的斜率k=y1-y2x1-x2=1.C组教师专用题组考点一椭圆的定义及标准方程1.(2015广东,8,5分)已知椭圆x225+y2m2=1(m0)的左焦点为F1(-4,0),则m=()A.2B.3C.4D.9答案B2.(2014大纲全国,9,5分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为33,过F2的直线l交C于A、B两点.若AF1B的周长为43,则C的方程为()A.x23+y22=1B.x23+y2=1C.x212+y28=1D.x212+y24=1答案A3.(2016四川,20,13分)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点P3,12在椭圆E上.(1)求椭圆E的方程;(2)设不过原点O且斜率为12的直线l与椭圆E交于不同的两点A,B,线段AB的中点为M,直线OM与椭圆E交于C,D,证明:|MA|MB|=|MC|MD|.答案(1)由已知,a=2b.又椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)过点P3,12,故34b2+14b2=1,解得b2=1.所以椭圆E的方程是x24+y2=1.(2)证明:设直线l的方程为y=12x+m(m0),A(x1,y1),B(x2,y2),由方程组x24+y2=1,y=12x+m,得x2+2mx+2m2-2=0,方程的判别式为=4(2-m2),由0,即2-m20,解得-2mb0)的上顶点为B,左焦点为F,离心率为55.(1)求直线BF的斜率;(2)设直线BF与椭圆交于点P(P异于点B),过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q(Q异于点B),直线PQ与y轴交于点M,|PM|=|MQ|.(i)求的值;(ii)若|PM|sinBQP=759,求椭圆的方程.答案(1)设F(-c,0).由已知离心率ca=55及a2=b2+c2,可得a=5c,b=2c.又因为B(0,b),F(-c,0),故直线BF的斜率k=b-00-(-c)=2cc=2.(2)设点P(xP,yP),Q(xQ,yQ),M(xM,yM).(i)由(1)可得椭圆的方程为x25c2+y24c2=1,直线BF的方程为y=2x+2c.将直线方程与椭圆方程联立,消去y,整理得3x2+5cx=0,解得xP=-5c3.因为BQBP,所以直线BQ的方程为y=-12x+2c,与椭圆方程联立,消去y,整理得21x2-40cx=0,解得xQ=40c21.又因为=|PM|MQ|,及xM=0,可得=|xM-xP|xQ-xM|=|xP|xQ|=78.(ii)由(i)有|PM|MQ|=78,所以|PM|PM|+|MQ|=77+8=715,即|PQ|=157|PM|.又因为|PM|sinBQP=759,所以|BP|=|PQ|sinBQP=157|PM|sinBQP=553.又因为yP=2xP+2c=-43c,所以|BP|=0+5c32+2c+4c32=553c,因此553c=553,得c=1.所以,椭圆方程为x25+y24=1.5.(2015重庆,21,12分)如图,椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交椭圆于P,Q两点,且PQPF1.(1)若|PF1|=2+2,|PF2|=2-2,求椭圆的标准方程;(2)若|PQ|=|PF1|,且3443,试确定椭圆离心率e的取值范围.答案(1)由椭圆的定义得,2a=|PF1|+|PF2|=(2+2)+(2-2)=4,故a=2.设椭圆的半焦距为c,由已知PF1PF2,因此2c=|F1F2|=|PF1|2+|PF2|2=(2+2)2+(2-2)2=23,即c=3,从而b=a2-c2=1.故所求椭圆的标准方程为x24+y2=1.(2)如图,由PF1PQ,|PQ|=|PF1|,得|QF1|=|PF1|2+|PQ|2=1+2|PF1|.由椭圆的定义得,|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a,进而|PF1|+|PQ|+|QF1|=4a.于是(1+1+2)|PF1|=4a,解得|PF1|=4a1+1+2,故|PF2|=2a-|PF1|=2a(+1+2-1)1+1+2.由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=4c2,从而4a1+1+22+2a(+1+2-1)1+1+22=4c2,两边除以4a2,得4(1+1+2)2+(+1+2-1)2(1+1+2)2=e2.若记t=1+1+2,则上式变成e2=4+(t-2)2t2=81t-142+12.由3443,并注意到t=1+1+2关于的单调性,得3t4,即141t13.进而12e259,即22b0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于45,则椭圆E的离心率的取值范围是()A.0,32B.0,34C.32,1D.34,1答案A3.(2013课标,5,5分)设椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2,P是C上的点,PF2F1F2,PF1F2=30,则C的离心率为()A.36B.13C.12D.33答案D4.(2012课标全国,4,5分)设F1、F2是椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,P为直线x=3a2上一点,F2PF1是底角为30的等腰三角形,则E的离心率为()A.12B.23C.34D.45答案C5.(2011课标,4,5分)椭圆x216+y28=1的离心率为()A.13B.12C.33D.22答案D6.(2010全国,16,5分)已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交C于点D,且BF=2FD,则C的离心率为.答案337.(2017天津,20,14分)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F(-c,0),右顶点为A,点E的坐标为(0,c),EFA的面积为b22.(1)求椭圆的离心率;(2)设点Q在线段AE上,|FQ|=32c,延长线段FQ与椭圆交于点P,点M,N在x轴上,PMQN,且直线PM与直线QN间的距离为c,四边形PQNM的面积为3c.(i)求直线FP的斜率;(ii)求椭圆的方程.答案(1)设椭圆的离心率为e.由已知,可得12(c+a)c=b22.又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0.又因为0e0),则直线FP的斜率为1m.由(1)知a=2c,可得直线AE的方程为x2c+yc=1,即x+2y-2c=0,与直线FP的方程联立,可解得x=(2m-2)cm+2,y=3cm+2,即点Q的坐标为(2m-2)cm+2,3cm+2.由已知|FQ|=32c,有(2m-2)cm+2+c2+3cm+22=3c22,整理得3m2-4m=0,所以m=43,即直线FP的斜率为34.(ii)由a=2c,可得b=3c,故椭圆方程可以表示为x24c2+y23c2=1.由(i)得直线FP的方程为3x-4y+3c=0,与椭圆方程联立得3x-4y+3c=0,x24c2+y23c2=1,消去y,整理得7x2+6cx-13c2=0,解得x=-13c7(舍去),或x=c.因此可得点Pc,3c2,进而可得|FP|=(c+c)2+3c22=5c2,所以|PQ|=|FP|-|FQ|=5c2-3c2=c.由已知,线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离,故直线PM和QN都垂直于直线FP.因为QNFP,所以|QN|=|FQ|tanQFN=3c234=9c8,所以FQN的面积为12|FQ|QN|=27c232,同理FPM的面积等于75c232,由四边形PQNM的面积为3c,得75c232-27c232=3c,整理得c2=2c,又由c0,得c=2.所以,椭圆的方程为x216+y212=1.8.(2015安徽,20,13分)设椭圆E的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为510.(1)求E的离心率e;(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点.证明:MNAB.答案(1)由题设条件知,点M的坐标为23a,13b,又kOM=510,从而b2a=510.进而a=5b,c=a2-b2=2b.故e=ca=255.(2)证明:由N是AC的中点知,点N的坐标为a2,-b2,可得NM=a6,5b6.又AB=(-a,b),从而有ABNM=-16a2+56b2=16(5b2-a2).由(1)的计算结果可知a2=5b2,所以ABNM=0,故MNAB.9.(2014课标,20,12分)设F1,F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左,右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直.直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为34,求C的离心率;(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.答案(1)根据c=a2-b2及题设知Mc,b2a,2b2=3ac.将b2=a2-c2代入2b2=3ac,解得ca=12或ca=-2(舍去).故C的离心率为12.(2)由题意,知原点O为F1F2的中点,MF2y轴,所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点,故b2a=4,即b2=4a,由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.设N(x1,y1),由题意知y1b0).由题意得a=2,ca=32,解得c=3.所以b2=a2-c2=1.所以椭圆C的方程为x24+y2=1.(2)证明:设M(m,n),则D(m,0),N(m,-n).由题设知m2,且n0.直线AM的斜率kAM=nm+2,故直线DE的斜率kDE=-m+2n.所以直线DE的方程为y=-m+2n(x-m).直线BN的方程为y=n2-m(x-2).联立y=-m+2n(x-m),y=n2-m(x-2),解得点E的纵坐标yE=-n(4-m2)4-m2+n2.由点M在椭圆C上,得4-m2=4n2.所以yE=-45n.又SBDE=12|BD|yE|=25|BD|n|,SBDN=12|BD|n|,所以BDE与BDN的面积之比为45.2.(2016天津,19,14分)设椭圆x2a2+y23=1(a3)的右焦点为F,右顶点为A.已知1|OF|+1|OA|=3e|FA|,其中O为原点,e为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BFHF,且MOA=MAO,求直线l的斜率.答案(1)设F(c,0),由1|OF|+1|OA|=3e|FA|,即1c+1a=3ca(a-c),可得a2-c2=3c2,又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4.所以,椭圆的方程为x24+y23=1.(2)设直线l的斜率为k(k0),则直线l的方程为y=k(x-2).设B(xB,yB),由方程组x24+y23=1,y=k(x-2)消去y,整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.解得x=2,或x=8k2-64k2+3,由题意得xB=8k2-64k2+3,从而yB=-12k4k2+3.由(1)知,F(1,0),设H(0,yH),有FH=(-1,yH),BF=9-4k24k2+3,12k4k2+3.由BFHF,得BFFH=0,所以4k2-94k2+3+12kyH4k2+3=0,解得yH=9-4k212k.因此直线MH的方程为y=-1kx+9-4k212k.设M(xM,yM),由方程组y=k(x-2),y=-1kx+9-4k212k消去y,解得xM=20k2+912(k2+1).在MAO中,MOA=MAO|MA|=|MO|,即(xM-2)2+yM2=xM2+yM2,化简得xM=1,即20k2+912(k2+1)=1,解得k=-64,或k=64.所以,直线l的斜率为-64或64.【三年模拟】时间:80分钟分值:100分一、选择题(每小题5分,共50分)1.(2020届豫南九校第三次联考,4)若m是2和8的等比中项,则圆锥曲线x2+y2m=1的离心率为()A.32B.5C.32或52D.32或5答案D2.(2019湖北“荆、荆、襄、宜”四地七校考试联盟联考,4)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为12,过F2的直线与椭圆C交于A,B两点.若F1AB的周长为8,则椭圆方程为()A.x24+y23=1B.x216+y212=1C.x22+y2=1D.x24+y22=1答案A3.(2018安徽合肥一模,7)如图,椭圆x2a2+y24=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交椭圆于M,N两点,交y轴于点H.若F1,H是线段MN的三等分点,则F2MN的周长为()A.20B.10C.25D.45答案D4.(2020届陕西百校联盟9月联考,10)已知椭圆C:x28+y22=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线l过点F2且与椭圆C交于M,N两点,且MA=AN,若|OA|=|AF2|,则直线l的斜率为()A.1B.12C.13D.14答案B5.(2020届黑龙江顶级名校11月联考,11)设椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率e=12,右焦点为F(c,0),方程ax2+bx-c=0的两个实根分别为x1和x2,则点P(x1,x2)()A.必在圆x2+y2=2外B.必在圆x2+y2=2上C.必在圆x2+y2=2内D.以上三种情形都有可能答案C6.(2019广西南宁二中、柳州高中联考,8)已知圆F1:(x+2)2+y2=36,定点F2(2,0),A是圆F1上的一动点,线段F2A的垂直平分线交半径F1A于P点,则P点的轨迹C的方程是()A.x24+y23=1B.x29+y25=1C.x23+y24=1D.x25+y29=1答案B7.(2020届西南地区名师联盟8月联考,11)如图所示,已知椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0),A为椭圆的左顶点,B、C在椭圆上,若四边形OABC为平行四边形,且OAB=45,则椭圆的离心率为()A.22B.33C.63D.223答案C8.(2020届河南百校联盟10月联考,11)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左,右焦点分别为F1,F2,点A是椭圆上一点,线段AF1的垂直平分线与椭圆的一个交点为B,若AB=3F2B,则椭圆C的离心率为()A.13B.33C.23D.63答案B9.(2020届安徽A10联盟摸底,11)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)上存在两点M、N关于直线2x-3y-1=0对称,且线段MN中点的纵坐标为23,则椭圆C的离心率是()A.13B.33C.23D.223答案B10.(2019贵州铜仁东部联盟诊断,11)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上一点A关于原点的对称点为B,F为其右焦点,若AFBF,设ABF=,且12,512,则该椭圆的离心率e的取值范围是()A.22,63B.33,22C.12,33D.23,63答案A二、解答题(共50分)11.(2020届河南、安徽部分重点中学10月联考,21)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2,上顶点为A,AF1F2的面积为1,且椭圆C的离心率为22.(1)求椭圆C的标准方程;(2)点M在椭圆上且位于第二象限,过点F1作直线l1MF1,过点F2作直线l2MF2,若直线l1,l2的交点N恰好在椭圆C上,求点M的坐标.答案(1)由题意可得ca=22,122cb=1,a2-b2=c2,结合ab0,解得a=2,b=1,c=1.(3分)所以椭圆C的标准方程为x22+y2=1.(4分)(2)由(1)知,F1(-1,0),F2(1,0).(5分)设M(x0,y0),则x00.当x0=-1时,l2与l1相交于点F2,不符合题意.(6分)当x0-1时,直线MF1的斜率为y0x0+1,直线MF2的斜率为y0x0-1.因为l1MF1,l2MF2,所以直线l1的斜率为-x0+1y0,直线l2的斜率为-x0-1y0.(8分)所以直线l1的方程为y=-x0+1y0(x+1),直线l2的方程为y=-x0-1y0(x-1).联立l1和l2的方程,解得x=-x0,y=x02-1y0,所以N-x0,x02-1y0.(10分)因为点M,N在椭圆C上,由椭圆的对称性,可知x02-1y0=y0,所以x02-y02=1或x02+y02=1.由x02-y02=1,x022+y02=1结合x00,解得x0=-233,y0=33.而x02+y02=1,x022+y02=1无解,所以点M的坐标为-233,33.(12分)12.(2020届皖北协作体第二次联考,20)已知O为坐标原点,F为椭圆C:x24+y29=1的上焦点,C上一点A在第一象限,且|OA|=5.(1)求直线AF的方程;(2)若斜率为-12的直线l交椭圆C于不同的两点M、N,求OMN面积的最大值.答案(1)设A(x0,y0)(x00,y00),因为|OA|=5,所以x02+y02=5,又因为点A在椭圆上,所以x024+y029=1,联立x02+y02=5,x024+y029=1,结合x00,y00,解得x0=455,y0=355,故A的坐标为455,355.又知F的坐标为(0,5),所以直线AF的方程为y=-12x+5.(2)设
展开阅读全文