（课标通用）高考数学一轮复习 课时跟踪检测46 理-人教版高三全册数学试题

课时跟踪检测(四十六) 高考基础题型得分练12017陕西西安调研如图所示，在长方体ABCDABCD中，ABADAA(0)，E，F分别是AC和AD的中点，且EF平面ABCD.(1)求的值；(2)求二面角CABE的余弦值解：以D为原点，DA，DC，DD所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，设AAAD2，则AB2， D(0,0,0)，A(2,0,2)，D(0,0,2)，B(2,2，0)，C(0,2，0)，E(1，2)，F(1,0,0)(1)(0，2)，(2,0,0)，(0,2，2)，EFDA，EFAB，0，0，即2240，.(2)设平面EAB的一个法向量为m(1，y，z)，则(0,2，2)，(1，0)，y，z1，m.由已知得为平面ABC的一个法向量，又(0，2)，cosm，.又二面角CABE为锐二面角，故二面角CABE的余弦值为.2如图所示的几何体，四边形ABCD中，有ABCD，BAC30，AB2CD2，CB1，点E在平面ABCD内的射影是点C，EFAC，且AC2EF.(1)求证：平面BCE平面ACEF；(2)若二面角DAFC的平面角为60，求CE的长(1)证明：在ABC中，BC2AB2AC22ABACcos 30，解得AC，所以AB2AC2BC2，由勾股定理知ACB90，所以BCAC.又EC平面ABCD，BC平面ABCD，所以BCEC.又ACECC，所以BC平面ACEF，所以平面BCE平面ACEF.(2)解：因为EC平面ABCD，又由(1)知BCAC，所以可以以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz. 设CEh，则C(0,0,0)，A(，0,0)，F，D，.设平面DAF的法向量为n1(x，y，z)，则所以令x，所以n1.又平面AFC的一个法向量为n2(0,1,0)，所以cos 60，解得h，所以CE的长为.3已知四棱锥PABCD的底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，AD2，AB1，E，F分别是线段AB，BC的中点(1)求证：PFFD；(2)在PA上找一点G，使得EG平面PFD；(3)若PB与平面ABCD所成的角为45，求二面角APDF的余弦值(1)证明：建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，F(1,1,0)，D(0,2,0)，不妨令P(0,0，t)，t0.(1,1，t)，(1，1,0)，111(1)(t)00.PFFD.(2)解：设平面PFD的法向量为n(x，y，z)，由得令z1，则n.设G(0,0，m)，E.，由题意n0，m0，mt，当G是线段PA的靠近于A的一个四等分点时，使得EG平面PFD.(3)解：PA平面ABCD，PBA就是PB与平面ABCD所成的角，即PBA45，PAAB1，P(0,0,1)由(2)知，平面PFD的一个法向量为n.易知平面PAD的一个法向量为(1,0,0)，cos，n.由图知二面角APDF的平面角为锐角，所以二面角APDF的余弦值为.冲刺名校能力提升练1如图所示，正方形ABCD所在平面与等腰直角三角形EAD所在平面相交于AD，AE平面CDE.(1)求证：AB平面ADE；(2)在线段BE上存在点M，使得直线AM与平面EAD所成角的正弦值为，试确定点M的位置(1)证明：AE平面CDE，CD平面CDE，AECD.在正方形ABCD中，CDAD，ADAEA，CD平面ADE.ABCD，AB平面ADE.(2)解：由(1)知，AB平面ADE，又AB平面ABCD，则平面EAD平面ABCD，取AD的中点O，连接EO，EAED，EOAD，又平面EAD平面ABCDAD，EO平面EAD，EO平面ABCD，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB2，则A(1,0,0)，B(1,2,0)，E(0,0,1)，设M(x，y，z)，(x1，y2，z)，(1，2,1)，B，M，E三点共线，M(1，22，)，(，22，)，设AM与平面AED所成的角为，平面AED的一个法向量为n(0,1,0)，sin |cos，n|，解得.故点M为BE的中点2.在平面四边形ABCD中，ABBDCD1，ABBD，CDBD，将ABD沿BD折起，使得平面ABD平面BCD，如图(1)求证：ABCD；(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值(1)证明：平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，AB平面ABD，ABBD，AB平面BCD.又CD平面BCD，ABCD.(2)解：过点B在平面BCD内作BEBD，如图由(1)知AB平面BCD，BE平面BCD，BD平面BCD，ABBE，ABBD.以B为坐标原点，分别以，的方向为x轴、y 轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系依题意，得B(0,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A(0,0,1)，M，则(1,1,0)，(0,1，1)设平面MBC的法向量为n(x0，y0，z0)，则即取z01，得平面MBC的一个法向量为n(1，1,1)设直线AD与平面MBC所成角为，则sin | cosn，|，即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为.3. 如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱A1A底面ABCD，ABAC，AB1，ACAA12，ADCD，且点M和N分别为B1C和D1D的中点(1)求证：MN平面ABCD；(2)求二面角D1ACB1的正弦值；(3)设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段A1E的长解：如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，依题意，可得A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(2,0,0)，D(1，2,0)，A1(0,0,2)，B1(0,1,2)，C1(2,0,2)，D1(1，2,2)又因为M，N分别为B1C和D1D的中点，所以M，N(1，2,1)(1)证明：依题意，可得n(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量，由此可得n0.又因为直线MN平面ABCD，所以MN平面ABCD.(2)解：(1，2,2)，(2,0,0)，设n1(x1，y1，z1)为平面ACD1的一个法向量，则即不妨设z11，可得n1(0,1,1)设n2(x2，y2，z2)为平面ACB1的一个法向量，则又(0,1,2)，所以不妨设z21，可得n2(0，2,1)因此有cosn1，n2，于是sinn1，n2，所以二面角D1ACB1的正弦值为.(3)解：依题意，可设，其中0,1，则E(0，2)，从而(1，2,1)又n(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量，由已知，得|cos，n|，整理得2430，解得2.又因为0,1，所以2.所以线段A1E的长为2.