（课标通用）高考数学一轮复习 第六章 数列大题冲关 理-人教版高三全册数学试题

第六章 数列高考中数列问题的热点题型对近几年高考试题统计看，新课标全国卷中的数列与三角基本上交替考查，难度不大但自主命题的省市高考题每年都考查，难度中等考查内容主要集中在两个方面：一是以选择题和填空题的形式考查等差、等比数列的运算和性质，题目多为常规试题；二是等差、等比数列的通项与求和问题，有时结合函数、不等式等进行综合考查，涉及内容较为全面，试题题型规范、方法可循热点一等差数列、等比数列的综合问题 解决等差、等比数列的综合问题时，重点在于读懂题意，灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n项和公式解决问题，求解这类问题要重视方程思想的应用典题12015湖北卷设等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，等比数列bn的公比为q.已知b1a1，b22，qd，S10100.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)当d1时，记cn，求数列cn的前n项和Tn.解(1)由题意， 即解得 或 故或(2)由d1知，an2n1，bn2n1，故cn，于是Tn1，Tn.，得Tn23，故Tn6.用错位相减法解决数列求和问题的步骤第一步：(判断结构)若数列anbn是由等差数列an与等比数列bn(公比q)的对应项之积构成的，则可用此法求和第二步：(乘公比)设anbn的前n项和为Tn，然后两边同乘以q.第三步：(错位相减)乘以公比q后，向后错开一位，使含有qk(kN*)的项对应，然后两边同时作差第四步：(求和)将作差后的结果求和，从而表示出Tn.技巧点拨1分析已知条件和求解目标，确定为最终解决问题需要首先求解的中间问题，如为求和需要先求出通项、为求出通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的逻辑次序2等差数列和等比数列可以相互转化，若数列bn是一个公差为d的等差数列，则abn(a0，a1)就是一个等比数列，其公比qad；反之，若数列bn是一个公比为q(q0)的正项等比数列，则logabn(a0，a1)就是一个等差数列，其公差dlogaq.设an是公比大于1的等比数列，Sn为数列an的前n项和，已知S37，且a13,3a2，a34构成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)令bnln a3n1，n1,2，求数列bn的前n项和Tn.解：(1)由已知，得a22.设数列an的公比为q，由a22，可得a1，a32q，又S37，所以22q7，即2q25q20，解得q2或q.q1，q2，a11.故数列an的通项公式为an2n1.(2)由(1)，得a3n123n，bnln 23n3nln 2.又bn1bn3ln 2，数列bn为等差数列Tnb1b2bnln 2.热点二数列的通项与求和数列的通项与求和是高考必考的一种题型，重点在于灵活运用等差、等比数列的定义、性质、通项公式与前n项和公式其中求通项是解答题目的基础同时要重视方程思想的应用典题22015天津卷已知数列an满足an2qan(q为实数，且q1)，nN*，a11，a22，且a2a3，a3a4，a4a5成等差数列(1)求q的值和an的通项公式；(2)设bn，nN*，求数列bn的前n项和解(1)由已知，有(a3a4)(a2a3)(a4a5)(a3a4)，即a4a2a5a3，所以a2(q1)a3(q1)又q1，所以a3a22.由a3a1q，得q2.当n2k1(kN*)时，ana2k12k12 ；当n2k(kN*)时，ana2k2k2.所以an的通项公式为an(2)由(1)，得bn，nN*.设bn的前n项和为Sn，则Sn123(n1)n，Sn123(n1)n，上述两式相减，得Sn12，整理，得Sn4，nN*.所以数列bn的前n项和为4，nN*.1根据所给条件的特点，确定合适的方法求通项，如根据an与Sn的关系求an.根据递推关系求an.2根据数列的特点选择合适的求和方法，常用的有分组求和，裂项求和、错位相减法求和等2017安徽合肥模拟已知数列an1an的前n项和Sn2n12，a10.(1)求数列an1an的通项公式；(2)求数列an的通项公式解：(1)设an1anbn.当n2时，bnSnSn1(2n12)(2n2)2n.当n1时，b1S12，满足n2时bn的形式所以an1anbn2n.(2)由(1)，得an1an2n，则an2an12n1.两式相减，得an2an2n.当n为奇数时，ana1(a3a1)(a5a3)(an2an4)(anan2)021232n42n2.当n为偶数时，由(1)知，a10，a2a12，得a22.ana2(a4a2)(a6a4)(an2an4)(anan2)222242n42n22.综上所述，数列an的通项公式是an热点三数列与不等式的综合问题数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种：一是判断数列问题中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明在解决这些问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法等如果是解不等式问题，要使用不等式的各种不同解法，如数轴法、因式分解法等主要有以下几个命题角度：考查角度一放缩法证明数列不等式典题3设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，且Sn满足S(n2n3)Sn3(n2n)0，nN*.(1)求a1的值；(2)求数列an的通项公式；(3)求证：对一切正整数n，有.(1)解由题意知，S(n2n3)Sn3(n2n)0，nN*.令n1，有S(1213)S13(121)0，可得SS160，解得S13或2，即a13或2，又an为正数，所以a12.(2)解由S(n2n3)Sn3(n2n)0，nN*，可得(Sn3)(Snn2n)0，则Snn2n或Sn3，又数列an的各项均为正数，所以Snn2n，所以当n2时，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n.又a1221，所以an2n，nN*.(3)证明当n1时，成立；当n 2时，所以.所以对一切正整数n，有.数列中不等式可以通过对中间过程或最后的结果放缩得到即先放缩再求和或先求和再放缩考查角度二数列中不等式的恒成立问题典题4已知单调递增的等比数列an满足a2a3a428，且a32是a2，a4的等差中项(1)求数列an的通项公式；(2)若bnanlogan，Snb1b2bn，对任意正整数n，Sn(nm)an10恒成立，试求m的取值范围解(1)设等比数列an的首项为a1，公比为q.依题意，有2(a32)a2a4，代入a2a3a428，得a38.a2a420， 解得 或 又an单调递增， an2n.(2)bn2nlog2nn2n，Sn12222323n2n，2Sn122223324(n1)2nn2n1，得Sn222232nn2n1n2n12n1n2n12.由Sn(nm)an10，得2n1n2n12n2n1m2n10对任意正整数n恒成立，m2n122n1，即m1对任意正整数n恒成立11，m1，即m的取值范围是(，1数列中有关项或前n项和的恒成立问题，往往转化为数列的最值问题；求项或前n项和的不等关系可以利用不等式的性质或基本不等式求解