（课标通用版）高考数学大一轮复习 第六章 数列 第5讲 数列的综合应用检测 文-人教版高三全册数学试题

第5讲 数列的综合应用基础题组练1已知数列an是等差数列，若a22，a44，a66构成等比数列，则数列an的公差d等于()A1 B1C2 D2解析：选B.因为a22，a44，a66构成等比数列，所以(a44)2(a22)(a66)，化简得d22d10，所以d1.2设yf(x)是一次函数，若f(0)1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则f(2)f(4)f(2n)等于()An(2n3) Bn(n4)C2n(2n3) D2n(n4)解析：选A.由题意可设f(x)kx1(k0)，则(4k1)2(k1)(13k1)，解得k2，f(2)f(4)f(2n)(221)(241)(22n1)n(2n3)3(2019河南郑州一中入学测试)已知Sn是等差数列an的前n项和，若S55a410，则数列an的公差为_解析：依题意得S55a35a410，即有a4a32，所以等差数列an的公差为2.答案：24某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(nN*)等于_解析：每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n项和Sn2n12.由2n12100，得2n1102，由于2664，27128，则n17，即n6.答案：65(2019武汉市部分学校调研)已知等差数列an的前n项和为Sn，等比数列bn的前n项和为Tn，a11，b11，a2b23.(1)若a3b37，求bn的通项公式；(2)若T313，求Sn.解：(1)设an的公差为d，bn的公比为q，则an1(n1)d，bnqn1.由a2b23，得dq4，由a3b37，得2dq28，联立，解得q2或q0(舍去)，因此bn的通项公式为bn2n1.(2)因为T3b1(1qq2)，所以1qq213，解得q3或q4，由a2b23得d4q，所以d1或d8.由Snna1n(n1)d，得Snn2n或Sn4n25n.6(2019辽宁五校联考)已知数列an满足a11，an1，bn1(n)，nN*，b1.(1)求证：数列是等比数列；(2)若数列bn是递增数列，求实数的取值范围解：(1)证明：因为数列an满足an1，所以1，即12，又a11，所以12，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列(2)由(1)可得12n，所以bn(n1)(n1)2n1(n2)，因为b1符合上式，所以bn(n1)2n1(nN*)因为数列bn是递增数列，所以bn1bn，即(n)2n(n1)2n1，即n1，所以0，则其前n项和取最小值时n的值为()A6 B7C8 D9解析：选C.由d0可得等差数列an是递增数列，又|a6|a11|，所以a6a11，即a15da110d，所以a1，则a80，所以前8项和为前n项和的最小值，故选C.2数列an的通项ann，其前n项和为Sn，则S40为()A10 B15C20 D25解析：选C.由题意得，annncos，则a10，a22，a30，a44，a50，a66，a70，于是a2n10，a2n(1)n2n，则S40(a1a3a39)(a2a4a6a40)244020.3(应用型)(2019山东实验中学诊断测试)中国古代数学名著九章算术中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马”马主曰：“我马食半牛”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应偿还a升，b升，c升，1斗为10升，则下列判断正确的是()Aa，b，c依次成公比为2的等比数列，且aBa，b，c依次成公比为2的等比数列，且cCa，b，c依次成公比为的等比数列，且aDa，b，c依次成公比为的等比数列，且c解析：选D.由题意可知ba，cb，所以，.所以a，b，c成等比数列且公比为.因为1斗10升，所以5斗50升，所以abc50，又易知a4c，b2c，所以4c2cc50，所以7c50，所以c，故选D.4已知一列非零向量an满足a1(x1，y1)，an(xn，yn)(xn1yn1，xn1yn1)(n2，nN*)，则下列命题正确的是()A|an|是等比数列，且公比为B|an|是等比数列，且公比为C|an|是等差数列，且公差为D|an|是等差数列，且公差为解析：选A.因为|an|an1|(n2，nN*)，|a1|0，为常数，所以|an|是等比数列，且公比为，选A.5若数列an满足0，则称an为“梦想数列”已知正项数列为“梦想数列”，且b1b2b31，则b6b7b8_.解析：由0可得an1an，故an是公比为的等比数列，故是公比为的等比数列，则bn是公比为2的等比数列，b6b7b8(b1b2b3)2532.答案：326(2019浙江镇海中学摸底)已知数列an中，a1a，a22a，an2an2，若数列an单调递增，则实数a的取值范围为_解析：因为an2an2，所以数列an的奇数项为公差为2的等差数列，偶数项也为公差为2的等差数列，所以若使数列an单调递增，只需a1a2a3，即a2aa2，解得0a1.答案：(0，1)7(综合型)(2019广州市高中综合测试一)已知数列an的前n项和为Sn，数列是首项为1，公差为2的等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)设数列bn满足5(4n5)，求数列bn的前n项和Tn.解：(1)因为数列是首项为1，公差为2的等差数列，所以12(n1)2n1，所以Sn2n2n.当n1时，a1S11；当n2时，anSnSn1(2n2n)2(n1)2(n1)4n3.当n1时，a11也符合上式，所以数列an的通项公式为an4n3.(2)当n1时，所以b12a12.当n2时，由5(4n5)，得5(4n1).，得(4n3).因为an4n3，所以bn2n(当n1时也符合)所以2，所以数列bn是首项为2，公比为2的等比数列，所以Tn2n12.8(2019安徽淮南二中、宿城一中联考)已知数列an的前n项和为Sn，且对任意正整数n，都有4an3Sn2成立，记bnlog2an.(1)求数列an和bn的通项公式；(2)设cn，数列cn的前n项和为Tn，求证：Tn.解：(1)在4an3Sn2中，令n1得a12.因为对任意正整数n，都有4an3Sn2成立，所以当n2时，4an13Sn12，两式作差得，4an4an13an，所以an4an1，又a12，所以数列an是以2为首项，4为公比的等比数列，所以an24n122n1，所以bnlog2anlog222n12n1.(2)证明：因为bn2n1，所以cn，所以Tn，所以对任意的nN*，Tn0，所以Tn为关于n的增函数，所以TnT1c1.综上，Tn.