立体几何空间成角问题

授授课课内内容容：空空间间的的角角空空间角专专讲讲座座题题及其求法法教材地位分析教材地位分析高考地位分析高考地位分析（1）立体几何板块主要有两大类型 （1）判断、推理型判断、推理型 （2）有关的有关的几何量的计算，几何量的计算，其中包括空间角、空间距离、体积的计算。空间角及其求法是是立体几何包括的重要组成部分，是立体几何板块的一个重点，也是难点。（2）在历届高考中，空间角及其求法是每年必考的内容，与距离的计算、线面位置关系论证形成新的热点，该部分的分值约6-16分，属于中等难度。立体几何高考分析 高考中，立体几何板块往往有高考中，立体几何板块往往有4个题目：个题目：2个选择题，一个填空题个选择题，一个填空题和和1个大题。在大题中，一般是论证题和空间角（距离）计算组成。在个大题。在大题中，一般是论证题和空间角（距离）计算组成。在选择题中有时有一个题考查空间角的求法。选择题中有时有一个题考查空间角的求法。理解空间角的概念、会求空间角的大小。异面直线所成角直线与平面所成角 二 面 角图 形定义表示范围要点用什么度量？用什么度量？从一条直线引出的两从一条直线引出的两个半平面所组成的图个半平面所组成的图形叫做二面角。形叫做二面角。在空间任取一点在空间任取一点o，分别分别作作a，b的平行线，从而的平行线，从而形成的的锐（直）角形成的的锐（直）角异面直线a，b所成角斜线与它在平面斜线与它在平面内的射影所成的内的射影所成的锐角。锐角。线a与平面 所成角找适当点、找射影、二足二足作平行线相连相连1.作出所求的空间角 2.证明所作的角符合定义 3.构造三角形并求出所要求角简言之，空间角的求解步骤为：“一一作作”“二二证证”“三三算算”“一作”“二证”“三算”2.相交成相交成90的两条直线与一个平面所成的角分别的两条直线与一个平面所成的角分别是是30与与45，则这两条直线在该平面内的射影所成，则这两条直线在该平面内的射影所成角的正弦值为角的正弦值为()(A)(B)(C)(D)1.平面平面的斜线与的斜线与所成的角为所成的角为30，则此斜线和，则此斜线和内内所有不过斜足的直线中所成的角的最大值是所有不过斜足的直线中所成的角的最大值是()(A)30 (B)60 (C)90 (D)150课课 前前 热热 身身CC3.如如图图，正正方方形形ABCD所所在在平平面面与与正正方方形形ABEF所所在在的的平平面面成成60的的二二面面角角，则则异异面面直直线线AD与与BF所所成角的余弦值是成角的余弦值是_.4.异异面面直直线线a、b成成80角角，P为为a、b外外一一定定点点，若若过过P有有且且仅仅有有2条条直直线线与与a、b所所成成角角都都为为，则则的的范范围是围是()(A)(B)(C)(D)B返回返回A5.如如图图，ABC-A1B1C1是是直直三三棱棱柱柱，BCA=90，点点D1、F1分别是分别是A1B1、A1C1的中点，若的中点，若BC=CA=CC1，则，则BD1与与AF1所成角的余弦值是所成角的余弦值是()(A)(B)(C)(D)（1）平移法：平移法：即根据定义，以即根据定义，以“运动运动”的观点，用的观点，用“平移转化平移转化”的方法，使之成为相交直线所成的角。的方法，使之成为相交直线所成的角。(1)(1)找出或作出有关的图形；找出或作出有关的图形；找出或作出有关的图形；找出或作出有关的图形；(2)(2)证明它符合定义；证明它符合定义；证明它符合定义；证明它符合定义；(3)(3)计算。计算。计算。计算。即：要求先证，要证先作。即：要求先证，要证先作。即：要求先证，要证先作。即：要求先证，要证先作。具体地讲是选择具体地讲是选择具体地讲是选择具体地讲是选择“特殊点特殊点特殊点特殊点”作异面直线的平行作异面直线的平行作异面直线的平行作异面直线的平行线，构作线，构作线，构作线，构作含含含含异面直线所成异面直线所成异面直线所成异面直线所成(或其补角或其补角或其补角或其补角)的角的角的角的角的三角形，再的三角形，再的三角形，再的三角形，再求之。求之。求之。求之。BO1MDB1A1D1C1AC解法一（平移法）：F1EFE1BDB1A1D1C1AC解法二解法二（补形法）：（补形法）：能力思维方法1.如如图图所所示示，ABCD是是一一个个正正四四面面体体，E、F分分别别为为BC和和AD的中点的中点.求：求：(1)AE与与CF所成的角；所成的角；(2)CF与平面与平面BCD所成的角所成的角.例2：如图，斜三棱柱ABCABC的底面为一等腰直角三角形，直角边AB=AC=2cm，侧棱与底面成60角，BCAC，BC=26cm,求BC与底面所成的角。ABCBACO分析：分析：欲求欲求BCBC与底面与底面ABCABC所成的角，关键所成的角，关键在于准确地找到在于准确地找到BCBC在底面上的射影。注意到在底面上的射影。注意到ACAC ABAB和和ACAC BCBC，即，即ACAC 平面平面ABCABC，所，所以，平面以，平面ABCABC 平面平面ABCABC，故点，故点CC在底面上在底面上的射影的射影O O在平面在平面ABCABC和平面和平面ABCABC的交线的交线BABA上，上，CBOCBO为所求的角。为所求的角。直线与平面垂直，直线和平面所成的角是90；通常是从斜线上找特殊点，作平面的垂线段，构作含所求线面角的三角形求之。求斜线与平面所成的角，关键是找准斜线段在平面内的射影；xOBACBACBC与底面所成的角是例2：如图，斜三棱柱ABCABC的底面为一等腰直角三角形，直角边AB=AC=2cm，侧棱与底面成60角，BCAC，BC=26cm,求BC与底面所成的角。分析：欲求BC与底面ABC所成的角，关键在于准确地找到BC在底面上的射影。注意到ACAB和ACBC，即AC平面ABC，所以，平面ABC平面ABC，故点C在底面上的射影O在平面ABC和平面ABC的交线BA上，CBO为所求的角。解：ACAB，ACBC，AC平面ABC，于是平面ABC平面ABC，作CO平面ABC，则点O令CO=x，则在BA延长线上,CBO就是BC 与底面所成的角，连 OC，是侧棱与底面所成的角为60，CCO在 OBC中 BC=2 6(已知）解得，舍去)在RtBOC中，为什么？x例例1.如如图棱棱长是是1的正方体，的正方体，P、Q分分别是棱是棱AB、CC1上的内上的内分点，分点，满足足.（1）求）求证：A1P平面平面AQD；（2）求直线）求直线PQPQ与平面与平面AQDAQD所成角的正弦值所成角的正弦值.RPQAA1CDBD1C1B1方法提炼方法提炼（1）易证，略（2）如何作出线面角？过Q作QR平行AD，交BB1与R，连接AR，易知面ADQR即为面AQD 由（1）知A1P 面AQD，设A1P交AR与S，连接SQ即可。由以上的作法可知 即为所求角。S S解析解析只需解QSP即可。2.如如图图，在正方体，在正方体AC1中，中，(1)求求BC1与平面与平面ACC1A1所成的角；所成的角；(2)求求A1B1与平面与平面A1C1B所成的角所成的角.【解解题题回回顾顾】“线线线线角角抓抓平平移移，线线面面角角定定射射影影”.也也就就是是说说要要求求直直线线与与平平面面所所成成的的角角，关关键键是是找找到到直直线线在在此此平平面面上上的的射射影影，为为此此，必必须须在在这这条条直直线线上上的的某某一一点点处处作作一一条条(或或找找一一条条)平平面面的的垂垂线线，本本题题中中BO就就是是平平面面的的垂垂线线，垂垂足足H的的位位置置也也必必须须利用利用图图形的性形的性质质来确定来确定.3.如如图图，长长方体方体ABCDA1B1C1D1中，中，AB=BC=2，AA1=1，E、H分分别别是是A1B1和和BB1的中点的中点.求：求：(1)EH与与AD1所成的角；所成的角；(2)AC1与与B1C所成的角所成的角.【解解题题回回顾顾】(2)中中为为了了找找到到异异面面直直线线AC1与与B1C所所成成的的角角，需需将将AC1平平移移出出长长方方体体外外，实实际际上上是是在在原原长长方方体体外外，再再拼拼接接一一个个完完全全相相同同的的长长方方体体，这这是立体几何中常是立体几何中常见见的方法之一的方法之一.4.在在120的二面角的二面角-l-的两个面的两个面、内分别有内分别有A、B两点，这两点到棱的距离分别为两点，这两点到棱的距离分别为2和和4，AB=10，求：，求：(1)AB与与l 所成的角；所成的角；(2)AB与平面与平面所成的角所成的角.返回返回【解题回顾解题回顾】本例是综合题，解题过程常常是作本例是综合题，解题过程常常是作图图(包括添辅助线或辅助面包括添辅助线或辅助面)、论证、计算三个阶、论证、计算三个阶段，这样就综合考查了空间想象能力、逻辑推理段，这样就综合考查了空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力能力和运算能力.延伸拓展5.在在棱棱长长为为a的的正正方方体体ABCDABCD中中，E、F分别是分别是BC、AD的中点的中点(1)求证：四边形求证：四边形BEDF是菱形；是菱形；(2)求直线求直线AC与与DE所成的角；所成的角；(3)求直线求直线AD与平面与平面BEDF所成的角所成的角.【解题回顾解题回顾】对于第对于第(1)小题，若仅由小题，若仅由BE=ED=DF=FB就就断断定定BEDF是是菱菱形形，那那是是不不对对的的，因因存存在在四四边边相相等等的的空空间间四四边边形形，所所以以必必须须证证B、E、D、F四四点点共共面面.第第(3)小小题题应应用用了了课课本本一一道道习习题题的的结结论论，才证明了才证明了AD在平面在平面BEDF内的射影在内的射影在BD上上返回返回误解分析返回返回2.凡凡立立体体几几何何求求角角或或距距离离的的解解答答题题，一一定定要要注注意意“作、证、指、求作、证、指、求”四个环节缺一不可四个环节缺一不可.1.求异面直线所成的角，要注意角的范围是求异面直线所成的角，要注意角的范围是 ，如能力，如能力思维思维方法方法3，平移后得，平移后得 ，计，计算得算得 ，不能说两异面直线成角，不能说两异面直线成角为为 ，而应为，而应为 第课时 二面角(一)课课 前前 热热 身身1.下列命题中：下列命题中：两个相交平面组成的图形叫做二面角；两个相交平面组成的图形叫做二面角；异异面面直直线线a、b分分别别和和一一个个二二面面角角的的两两个个面面垂垂直直，则则a、b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；二二面面角角的的平平面面角角是是从从棱棱上上一一点点出出发发，分分别别在在两两个个面面内作射线所成角的最小角；内作射线所成角的最小角；正四面体相邻两个面所成的二面角的平面角是锐角正四面体相邻两个面所成的二面角的平面角是锐角.其中，正确命题的序号是其中，正确命题的序号是_.、2.如如图图，正正方方体体ABCDA1B1C1D1中中，二二面面角角B1-AA1-C1的的大大小小为为_，二二面面角角B-AA1-D的的大大小小为为_，二二面角面角C1-BD-C的正切值是的正切值是_.45903.在在二二面面角角-l-的的一一个个平平面面内内有有一一条条直直线线AB，它它与与棱棱 l 所所成成的的角角为为45，与与平平面面所所成成的的角角为为30，则则这个二面角的大小是这个二面角的大小是_.45或或1354.三三棱棱锥锥ABCD中中，AB=AC=BC=CD=AD=a，要要使使三三棱棱锥锥ABCD的的体体积积最最大大，则则二二面面角角B-AC-D的的大大小小是是 （）（A）（B）（C）（D）AA5.在在二二面面角角-a-内内，过过a作作一一个个半半平平面面，使使二二面面角角-a-=45，二二 面面 角角-a-=30，则则 内内 的的 任任 意意 一一点点P到平面到平面与平面与平面的距离之比为的距离之比为()(A)(B)(C)(D)返回返回课课 前前 热热 身身1.二面角二面角-AB-的平面角是锐角，的平面角是锐角，C是平面是平面内的内的点点(不在棱不在棱AB上上)，D是是C在平面在平面上的射影，上的射影，E是棱是棱AB上满足上满足CEB为锐角的任意一点，则为锐角的任意一点，则()(A)CEBDEB(B)CEB=DEB(C)CEBDEB(D)CEB与与DEB的大小关系不能确定的大小关系不能确定A2.直直线线AB与与直直二二面面角角-l-的的两两个个半半平平面面分分别别交交于于A、B两两点点，且且A、B l.如如果果直直线线AB与与、所所成成的的角角分别是分别是1、2，则，则1+2的取值范围是的取值范围是()(A)(B)(C)(D)D3.在长、宽、高分别为在长、宽、高分别为1、1、2的长方体的长方体ABCDA1B1C1D1中，截面中，截面BA1C1与底面与底面ABCD所成角的余弦值是所成角的余弦值是_.4.把把边边长长为为a的的正正三三角角形形ABC沿沿着着过过重重心心G且且与与BC平平行的直线折成二面角，此时行的直线折成二面角，此时A点变为点变为 ，当，当时，则此二面角的大小为时，则此二面角的大小为_.arccos(1/3)5.已已知知正正方方形形ABCD中中，AC、BD相相交交于于O点点，若若将将正正方方形形ABCD沿沿对对角角线线BD折折成成60的的二二面面角角后后，给给出出下下面面4个结论：个结论：ACBD；ADCO；AOC为正三角形；为正三角形；过过B点点作作直直线线l平平面面BCD，则则直直线线l平平面面AOC其其中正确命题的序号是中正确命题的序号是_返回返回D 从一条直线出发的两个半平面所组成 的图形叫做二面角。3 3、二面角、二面角 二面角的大小用它的平面角来度量；（1）定义法：根据定义作出二面角的平面角；AB求二面角常用方法有：例例 3：如图，：如图，已知四面体已知四面体S-ABC中，中，求二面角求二面角A-SC-B的大小的大小SCBAE分析：根据题意，在棱分析：根据题意，在棱SC 任取一点任取一点D，过，过D作作DE SC于于E，作，作DF SB于于F，连，连EF。由定义可知。由定义可知 EDF即为二面角即为二面角A-SC-B的平面的平面角。设角。设SD=a，借助已知条件，由，借助已知条件，由Rt SDE、Rt SDF及及Rt ESF求求出出 FDE所在所在 FDE三边长，再用余弦定理即可求得三边长，再用余弦定理即可求得:cos FDE=-ctg ctg,即即 FDE=-arccos(ctg ctg)。F（3）垂面法：作二面角棱的垂面，则垂面和二面角的两个面的交线所成的角即是该二面角的平面角。（2）用三垂线定理或其逆定理作出二面角的平面角；如图，由三垂线定理(或逆定理),过二面角-a-的一个面上一点P向另一个面作垂线PA，再由垂足A(或点P)向棱作垂线AB(或PB)，连PB(或AB)，则PBA就是二面角-a-的平面角。APBa例例4：斜三棱柱ABC-ABC的一个侧面AACC是矩形，AB是底面RtABC的斜边，AB=2AA，AC等于AB和AB间的距离，求三棱柱各侧面所成的二面角的大小。ABCBCAD分析：如图，因BB垂直AC，故可过AC作平面ACDBB于D，则面ACD与各棱均垂直，从而ACD内角就是所求的各侧面所成的二面角。将题设条件转化到该截面内，即可求得各侧面间所成的平面角分别为30,60,90a2ahah用这个关系式求可锐二面角的平面角。（4）射影法：如图所示，AD平面M，设AHD=是二面角A-BC-D的平面角，由 cos =AD/AH可得，ABC与它在过其底边BC的平面M上的射影DBC以及两者所成的二面角之间的关系：ABCDHM（5）公式法：用此公式亦可求二面角的平面角；这实为异面直线上两点的距离公式，但这里不局限EFmndABC如图，CBF=为二面角的lm平面角 ，在CBF中，由余弦定理可求得CFd再由RtECF可得于(0,90,(0,180)。已知直二面角-l-，A,B线段AB=2a，AB与成45的角，与成30角，过A、B两点分别作棱l的垂线AC、BD，求面ABD与面ABC所成角的大小。ACBDHF解法一：如图,由已知可得平面ABC平面,作DHBC于H，则DH平面ABC，作DFAB于F，连HF，则据三垂线定理的逆定理知DFH为所求二面角的平面角。例5：于是在DFH中，由余弦定理，得所以即面ABD与面ABC所成的二面角为又知BAD=45,ABC=30，可解得ACBDH 由于D在平面ABC内的射影H在BC边上 ABH为ABD在平面ABC上的射影设所求的二面角为,则有cos=SABH/SABD，代入上式，得由解法一，易求得例例5：已知直二面角-l-,A,B,线段AB=2a，AB与成45的角，与成30角，过A、B两点分别作棱l的垂线AC、BD，求面ABD与面ABC所成角的大小。（为什么？）（因BCD为Rt）解法二（射影法）：l故ACBDEF 如图，作CE、DF都垂直于所求二面角的棱AB，E、F是垂足，设所求二面角C-AB-D的平面角大小为，易求应用公式可得：解法三（公式法）：在四棱锥在四棱锥P-ABCDP-ABCD中，已知中，已知ABCDABCD为矩形，为矩形，PA PA 平面平面ABCDABCD，设，设PA=AB=aPA=AB=a，BC=2aBC=2a，求二面角求二面角B-PC-DB-PC-D的大小。的大小。例例2.DPBCAEF解析解析1定义法定义法 过D作DE PC于E，过E作EF PC于F，连接FD，由二面角的平面角的定义可知 是所求二面角B-PC-D的平面角。求解二面角B-PC-D的大小只需解DEF即可。解析解析2PBCADNMQ 垂面法垂面法 易证面PAB面PBC，过A作AM BP于M，显然AM 面PBC，从而有AM PC，同法可得AN PC，再由AM与AN相交与A得PC 面AMN。设面AMN交PC于Q，则 为二面角B-PC-D的平面角；再利用三面角公式可解。跳转跳转 易证面PEDA PDC，过E作EF PD于F，显然PF 面PDC，在面PCE内，过E作EG PC于G，连接GF，由三垂线得GF PC 即角EGF为二面角E-PC-D的平面角，只需解EFG即可。由解析3的分析过程知，PFC为 PEC在面PDC上的射影，由射影面积公式得sin ，余下的问题比较容易解决！在四棱锥在四棱锥P-ABCDP-ABCD中，已知中，已知ABCDABCD为矩形，为矩形，PA PA 平面平面ABCDABCD，设，设PA=AB=aPA=AB=a，BC=2aBC=2a，求二面角求二面角B-PC-DB-PC-D的大小。的大小。PBCADE EFPBCAD解析3例例2.E E利用三垂线求解利用三垂线求解FG 把四棱锥P-ABCD补成如图的直三棱柱PAB-EDC，显然二面角E-PC-D与二面角D-PC-B互补，转化为求二面角E-PC-D。解析4射影面积法射影面积法跳转跳转 在四棱锥P-ABCD中，已知ABCD为矩形，PA 平面ABCD，设PA=AB=a，BC=2a，求二面角B-PC-D的大小。DBCAP解析解析5例例3.利用空间余弦定理求解利用空间余弦定理求解 在面PDC内，分别过D、B作DE PC于E，BF PC于F，连接EF即可。EF 利用平面知识求BF、EF、DE的长度，再利用空间余弦定理求出 即可。复习复习方法提炼方法提炼针对训练针对训练1 已知二面角已知二面角 l ，A为面为面 内一点，内一点，A到到 的的距离为距离为 2，到，到l 的距离为的距离为4。求求二面角二面角 l 的大小。的大小。A.O lDOABPCEEOP针针对对训训练练2 如如图图，三三棱棱锥锥P-ABCP-ABC的的顶顶点点P P在在底底面面ABCABC上上的的射射影影是是底底面面RtRtABCABC斜斜边边ACAC的的中中点点O O，若若PB=AB=1PB=AB=1，BC=BC=，求求二二面面角角P-AB-CP-AB-C的正切值的正切值。KEY:KEY:撤消撤消针对训练针对训练3 如图如图P为二面角为二面角内一点，内一点，PA,PB,且且PA=5，PB=8，AB=7，求这二面角的度数。求这二面角的度数。BPAOKEY 120针对训练针对训练4 在直角坐标系中，设在直角坐标系中，设A（2,3）、）、B（3，2），沿），沿x轴把轴把直角坐标平面折成大小为直角坐标平面折成大小为 的二面角后，的二面角后，则，则 的值为的值为 。本专题主要复习空间角（包括异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角）的定义、求法，可总结为：空间问题 技 巧“移”、“补”、“换”平面问题线线角，用平移，妙选顶点，线面角，作射影，二足相连。二面角，求法多，空间余弦，用定义，三垂线，射影垂面。熟化归，解三角，算准结果，作证求，三环节，环环相扣。求解的基本思路为：本专题到此结束，各位领导、老师、朋友，请批评、指正！1.1.定义定义 以二面角的棱上以二面角的棱上任意任意一点为端点，在两个一点为端点，在两个面上面上分分别引别引垂直于棱垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。二面角的平面角。?等角定理等角定理：如果一个角的两边和另如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。同，那么这两个角相等。二面角的平面角必须满足：二面角的平面角必须满足：（1）角的顶点在棱上。）角的顶点在棱上。（2）角的两边分别在两个面内。）角的两边分别在两个面内。（3）角的边都要垂直于二面角的棱。）角的边都要垂直于二面角的棱。返回 求两条异面直线所成的角关键在于妙选点、作平线妙选点、作平线。常选中点或线端点，利用中位线的性质或平行四边形的性质等作出符合要求的平行线。返回中点中点方法提炼1 方法提炼方法提炼1 求两条异面直线所成的角关键在于妙选点、作妙选点、作平行线平行线。常选中点中点或线端点，利用中位线的性质或平行四边形的性质等作出符合要求的平行线。返回 求直线和平面所成角要领“找射影，二足相连”。由于平面的一条斜线在这个平面的射影只有一条，所以关键在于寻该斜线在面上的射影。方法提炼2撤消求二面角的方法比较多，常见的有（1）定义法定义法 在棱上的点分别作棱的垂线，在棱上的点分别作棱的垂线，（3）垂面法垂面法 在棱上的点分别作棱的垂线，在棱上的点分别作棱的垂线，（2）利用三垂线求解利用三垂线求解 在棱上的点分别作棱的垂线，在棱上的点分别作棱的垂线，(1)定义法（定义法（点在棱上点在棱上）(3)垂面法（垂面法（点在空间内点在空间内）oABoAAoB(2)三垂线定理法三垂线定理法（点在面内点在面内）如例如例3解析解析1如例如例3解析解析2如例如例3解析解析3方法提炼方法提炼3（4）射影面积法射影面积法 利用射影面积与斜面的关系求解利用射影面积与斜面的关系求解如图所示，如图所示，射影射影 DBC、斜面斜面ABC与两面所与两面所成的二成的二面角面角 之间有：之间有：ABCDHM（5）空间余弦定理）空间余弦定理运用公式运用公式 求解，如例求解，如例3解析解析5 方法提炼方法提炼3（续）返回推广EFmndClnmcnmc推广2222222abcos EF222+d 22abcos 撤消 用此公式为空间余弦定理，可用此公式为空间余弦定理，可求异面直线上两点的距离求异面直线上两点的距离，异面直线所异面直线所成角成角，还可，还可求二面角的平面角求二面角的平面角。如图，如图，CBF=为二面角的为二面角的平面角平面角 ，在，在 CBF中，中，由余弦定理可求得由余弦定理可求得CF再由RtECF可得EFmndABClmd返回小结小结：1 1、正确掌握空间各种角的定义及取值范围：、正确掌握空间各种角的定义及取值范围：（1 1）异面直线所成角）异面直线所成角 的范围：的范围：009090（2 2）直线与平面所成的角）直线与平面所成的角 的范围：的范围：009090（3 3）二面角的平面角）二面角的平面角 的范围通常认为：的范围通常认为：00180180 2 2、求空间各角的大小，通常是转化为平面角来计算；、求空间各角的大小，通常是转化为平面角来计算；其格式为：应先定其位，后算其值。其格式为：应先定其位，后算其值。3 3、用间接法求空间角，在答题时，要规范解题过程。、用间接法求空间角，在答题时，要规范解题过程。能力思维方法【解解题题回回顾顾】本本题题是是1990年年全全国国高高考考题题，(1)的的证证明明关关系系较较复复杂杂，需需仔仔细细分分析析。(2)的的平平面面角角就就是是CDE，很很多考生没有发现，却去人为作角，导致混乱多考生没有发现，却去人为作角，导致混乱.1.在在三三棱棱锥锥SABC中中，SA平平面面ABC，ABBC，DE垂直平分垂直平分SC，且分别交，且分别交AC、SC于于D、E，又，又 SA=AB=a，BC=2a，(1)求证：求证：SC平面平面BDE；(2)求平面求平面BDE与平面与平面BDC所成的二面角大小所成的二面角大小.2.已知斜三棱柱已知斜三棱柱ABCA1B1C1中，中，BCA=90，AC=BC，A1在底面在底面ABC的射影恰为的射影恰为AC的中点的中点M.又知又知AA1与底面与底面ABC所成的角为所成的角为60.(1)求证：求证：BC平面平面AA1C1C；(2)求二面角求二面角B-AA1-C的大小的大小.【解解题题回回顾顾】先先由由第第(1)小小题题的的结结论论易易知知BCAA1，再利用作出棱再利用作出棱AA1的垂面的垂面BNC来确定平面角来确定平面角BNC.将将题题设设中中“AA1与与底底面面ABC所所成成的的角角为为60”改改为为“BA1AC1”仍仍可可证证得得三三角角形形AA1C为为正正三三角角形形，所所求求二面角仍为二面角仍为 .本题的解答也可利用三垂线定理来推理本题的解答也可利用三垂线定理来推理.3.如图，正三棱柱如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为的底面边长为a，侧棱，侧棱长为长为 ，若经过对角线，若经过对角线AB1且与对角线且与对角线BC1平行的平平行的平面交上底面一边面交上底面一边A1C1于点于点D.(1)确定点确定点D的位置，并证明的位置，并证明你的结论；你的结论；(2)求二面角求二面角A1-AB1-D的大小的大小.【解解题题回回顾顾】第第(2)题题中中二二面面角角的的放放置置属属于于非非常常规规位位置置的的图图形形(同同例例(1)的的变变题题)，看看起起来来有有些些费费劲劲，但但是是一一旦旦将将图图形形的的空空间间位位置置关关系系看看明明白白，即即可可发发现现解解决决此此种种问问题的基本方法仍然与常规位置时相同题的基本方法仍然与常规位置时相同.返回返回延伸拓展4.如如图图，已已知知A1B1C1ABC是是正正三三棱棱柱柱，D是是AC的的中中点点.(1)证明证明AB1平面平面DBC1.(2)假假设设AB1BC1，求求以以BC1为为棱棱，DBC1与与CBC1为为面面的二面角的二面角的度数的度数.【解解题题回回顾顾】本本题题为为1994年年全全国国高高考考理理科科试试题题，图图中中的的正正三三棱棱柱柱放放置置的的位位置置和和一一般般放放置置的的位位置置不不同同.这这是是高高考考题题中中常常出出现现的的现现象象，目目的的是是考考查查各各种种位位置置的的正正三三棱棱柱性质，这一点应引起读者注意柱性质，这一点应引起读者注意.返回返回误解分析返回返回1.二二面面角角是是立立体体几几何何的的重重点点、热热点点、难难点点，求求二二面面角角的的大大小小方方法法多多，技技巧巧性性强强但但一一般般先先想想定定义义法法，再再想想三三垂垂线线定定理理法法，如如课课前前热热身身4，及及能能力力思思维维方方法法1中中，如果盲目作垂线，则会干扰思维如果盲目作垂线，则会干扰思维2.实实施施解解题题过过程程仍仍要要注注意意“作作、证证、指指、求求”四四环环节节，计计算算一一般般是是放放在在三三角角形形中中，因因此此，“化化归归”思思想想很很重重要要.能力思维方法1.平平面面四四边边形形ABCD中中，AB=BC=CD=a，B=90，DCB=135，沿，沿对对角角线线AC将四将四边边形折成直二面角形折成直二面角.证证：(1)AB面面BCD；(2)求面求面ABD与面与面ACD所成的角所成的角.【解解题题回回顾顾】准准确确画画出出折折叠叠后后的的图图形形，弄弄清清有有关关点点、线线之之间间的的位位置置关关系系，便便可可知知这这是是一一个个常常见见空空间间图图形形(四个面都是直角三角形的四面体四个面都是直角三角形的四面体).2.在直角梯形在直角梯形P1DCB中，中，P1DCB，CDP1D，P1D=6，BC=3，DC=3，A是是P1D的的中中点点.沿沿AB把把平平面面P1AB折折起起到到平平面面PAB的的位位置置，使使二二面面角角P-CD-B成成45，设设E、F分分别为别为AB、PD的中点的中点.(1)求求证证：AF平面平面PEC；(2)求二面角求二面角P-BC-A的大小；的大小；【解解题题回回顾顾】找二面角的平面角找二面角的平面角时时不要盲目去作，而不要盲目去作，而应应首先由首先由题设题设去分析，去分析，题题目中是否已有目中是否已有.3.正正方方体体ABCDA1B1C1D1中中，E是是BC的的中中点点，求求平平面面B1D1E和平面和平面ABCD所成的二面角的正弦所成的二面角的正弦值值.【解解题题回回顾顾】解法一利用公式解法一利用公式 .思路思路简单简单明明了了，但但计计算算量量较较解解法法二二大大.解解法法二二的的关关键键是是确确定定二二面面角角的的棱棱，再再通通过过三三垂垂线线定定理理作作出出平平面面角角，最最终终解解直直角三角形可求出角三角形可求出.4.如如图图，在在底底面面是是直直角角梯梯形形的的四四棱棱锥锥SABCD中中，ABC=90，SA面面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=12.(1)求四棱求四棱锥锥SABCD的体的体积积；(2)求面求面SCD与面与面SBA所成的二所成的二面角的正切面角的正切值值.【解解题题回回顾顾】(1)较较易易，(2)因因所所求求二二面面角角无无“棱棱”，故故先先延延长长BA、CD以以确确定定棱棱SE，然然后后证证明明BSC为为平平面面角，本角，本题题当然可以用当然可以用 直接求直接求.返回返回延伸拓展(I)沿沿图图中中虚虚线线将将它它们们折折叠叠起起来来，是是哪哪一一种种特特殊殊几几何何体体?并请画出其直观图，比例尺是并请画出其直观图，比例尺是1/2；(II)需需要要多多少少个个这这样样的的几几何何体体才才能能拼拼成成一一个个棱棱长长为为6cm的的正正方方体体ABCDA1B1C1D1，请请画画出出其其示示意意图图(需需在在示示意图中分别表示出这种几何体意图中分别表示出这种几何体)；5.如图为一几何体的展开图：如图为一几何体的展开图：(III)设设正正方方体体ABCDA1B1C1D1的的棱棱CC1的的中中点点为为E，试试求求：异异面面直直线线EB与与AB1所所成成角角的的余余弦弦值值及及平平面面AB1E与平面与平面ABC所成二面角所成二面角(锐角锐角)的余弦值的余弦值.【解解题题回回顾顾】要要研研究究翻翻折折前前后后的的两两个个图图形形，注注意意弄弄清清以下几点：以下几点：分分别别画画出出翻翻折折前前后后的的平平面面图图形形和和立立体体图图形形，字字母母标标注要一致；注要一致；翻翻折折前前后后几几何何图图形形的的位位置置关关系系及及相相关关量量的的变变与与不不变变要分清；要分清；在在解解决决立立体体图图形形问问题题进进行行计计算算时时，要要尽尽可可能能地地参参照照翻折前的平面图形翻折前的平面图形.返回返回返回返回误解分析1.在利用公式在利用公式 求二面角的大小时，分子是求二面角的大小时，分子是射射影影的的面面积积，分分母母是是原原来来多多边边形形的的面面积积，不不要要颠颠倒倒.另另外外计计算算面面积积要要准准确确，在在解解答答题题中中运运用用此此公公式式要要加加以以必必要的说明要的说明.2.解解折折叠叠题题时时，一一定定要要分分清清折折前前与与折折后后的的变变与与不不变变的的量量，有有时时在在折折后后的的立立体体图图中中不不好好计计算算的的量量要要回回到到折折前前图中去计算图中去计算.