空间点线面位置关系

1问题(1)是否存在三条直线两两互相垂直？若存在，请举出 实际例子。CADB两直线没有公共点，则它们平行；(2)请判断下列命题是否正确：垂直于同一条直线的两 条直线平行。21、平面图形与立体图形的联系与区别：联系：从集合论的角度看，两者都是点的集合；区别：平面图形由点、线构成，而立体图形是由点、线、面构成。平面图形的点都在一个平面内，而立体图形 的点不全在一个平面内；32、立体图形的研究方法考虑问题时，要着眼于整个空间，而不是局限于某 一个平面；立体图形的问题常常转化为平面图形问题来解决。43、学习要点 搞清平面图形和立体图形的联系与区别；发展空间想像能力；提高推理论证能力。54、立体几何的主要思想方法类比法：要善于与平面几何做比较，认识其相同点，发现 其不同点，这种思想方法称之为类比思想。转化法：把空间图形的问题转化为平面图形问题去解决，这是学习立体几何的很重要的数学思想方法。展开法：将可展的空间图形展开为平面图形，来处理问题的思想方法称为展开思想。6平面的基本性质7一、平面一个平面把空间分成两部分。一条直线把平面分成两部分。2、平面的特征：无厚度、无边界、无长度、无宽度(不能度量)；无限延展的；1、平面的概念：不定义的原始概念83、平面的画法：通常用平行四边形来表示平面。4、平面的表示方法：垂直放置水平放置平面 M平面 ABCDM平面 倾斜放置95、相交平面的画法：注意：必须画出其交线，被遮部分的线段画成虚线 或者不画。10lBABABAl11一、点与线、点与面的位置关系（集合语言表示法）点P在(不在)直线 l 上，点A在(不在)平面 上，二、空间两条直线的位置关系二、空间两条直线的位置关系(不重合）不重合）相交直线相交直线平行直线平行直线-有且仅有一个公共点有且仅有一个公共点-在同一平面内在同一平面内,没有公共点没有公共点P异面直线异面直线-不能置于同一个平面内不能置于同一个平面内不存在不存在任何任何一个平面；一个平面；没有公共点没有公共点异面直线的画法异面直线的画法abbaab说明说明:画异面直线时画异面直线时,为了体现它们不共面的特点。为了体现它们不共面的特点。常借助一个或两个平面来衬托常借助一个或两个平面来衬托.15三、线与面的位置关系（集合语言表示法）三、线与面的位置关系（集合语言表示法）(1)直线直线 l 在平面在平面 内内(或平面或平面 经过直线经过直线 l)：直线直线 l 上的所有点都在平面上的所有点都在平面 内。内。16(2)直线直线 l 在平面在平面 外外直线直线 l 与在平面与在平面 相交相交:直线直线 l 与平面与平面 只有一个公共点。只有一个公共点。Pl17直线直线 l 与在平面与在平面 平行平行:直线直线 l 与平面与平面 没有公共点。没有公共点。18直线与平面的位置关系（集合语言表示法）直线与平面的位置关系（集合语言表示法）(1)直线直线 l 在平面在平面 内内(或平面或平面 经过直线经过直线 l)：(2)直线直线 l 在平面在平面 外外直线直线 l 与在平面与在平面 相交相交P:直线直线 l 与在平面与在平面 平行平行:19四、面与面的位置关系（集合语言表示法）四、面与面的位置关系（集合语言表示法）(1)平面平面 与平面与平面 相交：相交：空间不同的两个平面空间不同的两个平面 有公共点有公共点P。20(2)平面平面 与平面与平面 平行：平行：两个平面两个平面 没有公共点。没有公共点。21平面与平面的位置关系（集合语言表示法）平面与平面的位置关系（集合语言表示法）(1)平面平面 与平面与平面 相交于直相交于直线线 l：(2)平面平面 与平面与平面 平行：平行：公理公理1 如果直线如果直线 l 上有上有两个点两个点在一个平面在一个平面 内，那么内，那么 直线直线 l 在平面在平面 内。内。集合语言表述集合语言表述23例例1、判断题、判断题如果一条直线上所有的如果一条直线上所有的点都在某一个面内，那点都在某一个面内，那 么这个面一定是平面；么这个面一定是平面；一个平面一定可以把空间分成两部分。一个平面一定可以把空间分成两部分。直线直线 l 与平面与平面 的公共点的个数为的公共点的个数为 0、1、2；两个平面可以把空间分成几部分？三个平面呢？两个平面可以把空间分成几部分？三个平面呢？24公理公理2 如果不同的两个平面如果不同的两个平面 有一个公有一个公共点共点P，那么，那么 的交的交集是集是过点过点P 的直线的直线 l。25例例2、试用集合符号表示下列各语句，并画出图形：、试用集合符号表示下列各语句，并画出图形：点点A在平面在平面 上上，但不在平面，但不在平面上；上；直线直线 l 经过不属于平面经过不属于平面 的点的点A；平面平面 与平面与平面 相交于直线相交于直线 l 且经过点且经过点P。26PQ27Q28ABCDEP例例5、已知、已知D、E分别是分别是ABC的边的边AC、BC上的点，上的点，平面平面 经过经过D、E两点（如图所示）两点（如图所示）求作：直线求作：直线AB与平面与平面 的交点的交点P29例例1、判断题、判断题如果一条直线上所有的如果一条直线上所有的点都在某一个面内，那点都在某一个面内，那 么这个面一定是平面；么这个面一定是平面；如果一条直线在如果一条直线在一个面上无论怎样放置，都与这一个面上无论怎样放置，都与这 个面有无数个公共点，那么这个面一定是平面；个面有无数个公共点，那么这个面一定是平面；一个平面一定可以把空间分成两部分。一个平面一定可以把空间分成两部分。直线直线 l 与平面与平面 的公共点的个数为的公共点的个数为 0、1、2；公理公理3 不在同一直线上的三点确定一个平面。不在同一直线上的三点确定一个平面。“有且只有有且只有”、“存在且唯一存在且唯一”、“确定一个确定一个”表示同一个意思表示同一个意思；说明：说明：平面平面 与平面与平面 有三个不共线的公共点，那么有三个不共线的公共点，那么 与与 重合。重合。推论推论1 1、一条直线和直线外的一点确定一个平面一条直线和直线外的一点确定一个平面。PBC推论推论2、两条相交直线确定一个平面。两条相交直线确定一个平面。PAB推论推论3、两条平行直线确定一个平面。两条平行直线确定一个平面。A例例1、回答下列问题、回答下列问题三条直线相交于一点，可以确定多少个平面？三条直线相交于一点，可以确定多少个平面？两两平行的三条直线，可以确定多少个平面？两两平行的三条直线，可以确定多少个平面？三点可以确定多少个平面？三点可以确定多少个平面？四点可以确定多少个平面？四点可以确定多少个平面？1 或或 31 或或 31 或或 无数个无数个1 或或 4 或无数个或无数个三个平面将空间分成的部分可能有几种？三个平面将空间分成的部分可能有几种？4 或或 6 或或 7 或或 8例例2、判断下列命题的真假，真的打、判断下列命题的真假，真的打“”，假的打，假的打“”(1)空间三点可以确定一个平面空间三点可以确定一个平面(2)两条直线可以确定一个平面两条直线可以确定一个平面(3)两条相交直线可以确定一个平面两条相交直线可以确定一个平面(4)一条直线和一个点可以确定一个平面一条直线和一个点可以确定一个平面(5)三条平行直线可以确定三个平面三条平行直线可以确定三个平面 (6)两两相交的三条直线确定一个平面两两相交的三条直线确定一个平面(7)两个平面若有不同的三个公共点，则两个平面重合两个平面若有不同的三个公共点，则两个平面重合(8)若四点不共面，那么每三个点一定不共线若四点不共面，那么每三个点一定不共线 例例3、已知不共点的三条直线两两相交，、已知不共点的三条直线两两相交，求证：这三条直线共面。求证：这三条直线共面。ABC例例4、已知：一条直线和两条平行线都相交，、已知：一条直线和两条平行线都相交，求证：这三条直线共面。求证：这三条直线共面。BAabl证明证明直线共面的常用方法直线共面的常用方法：1、先由这些先由这些直线中的某些直线确定一个平面；直线中的某些直线确定一个平面；然后然后证明其他证明其他直线都在这个平面上。直线都在这个平面上。2、先证明这些先证明这些直线分别在两个（或几个）平面上；直线分别在两个（或几个）平面上；然后然后证明这证明这两个（或几个）平面重合。两个（或几个）平面重合。公理公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行平行于同一条直线的两条直线互相平行 平行线的传递性。平行线的传递性。abced观察：将一张纸如图进行折叠观察：将一张纸如图进行折叠，则各折痕及边则各折痕及边 a,b,c,d,e,之间有何关系？之间有何关系？ab c d e 平面基本性质的应用平面的基本性质是通过三个与平面的特征有关的公理来规定的(1)公理1说明了平面与曲面的本质区别通过直线的“直”来刻画平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法(2)公理2揭示了两个平面相交的主要特征，提供了确定两个平面交线的方法(3)公理3及其三个推论是空间里确定一个平面位置的方法与途径，而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件，这个转化使得立体几何的问题得以在确定的平面内充分使用平面几何的知识来解决，是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法例例1、已知在空间四边形、已知在空间四边形ABCD中，中，E、F、G、H分别是分别是 AB、BC、CD、DA的中点。的中点。求证：四边形求证：四边形EFGH是平行四边形。是平行四边形。AB DEFGHC 如果再加上条件如果再加上条件AC=BD，那么四边形那么四边形EFGH是什么图形是什么图形?菱形菱形空间四边形：顺次连结不共面的四点空间四边形：顺次连结不共面的四点A、B、C、D所组所组成的四边形叫空间四边形，相对顶点的连线成的四边形叫空间四边形，相对顶点的连线AC、BD叫叫空间四边形的对角线。空间四边形的对角线。例例2、已知在空间四边形、已知在空间四边形ABCD中，中，E、F、G、H分别是分别是 AB、BC、CD、DA上的点，且上的点，且EFGH是是平面四边形，平面四边形，EH不平行不平行FG。求证：直线求证：直线EH、FG、BD 共点。共点。ABCDEHFGP证明若干条证明若干条直线共点的常用方法直线共点的常用方法：先先确定两条确定两条直线的交点；直线的交点；然后然后证明其他证明其他直线也经过此点。直线也经过此点。在平面内在平面内,我们知道我们知道“如果一个角的两边与另一个角如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补的两边分别平行，那么这两个角相等或互补”。空间中这。空间中这一结论是否仍然成立呢？一结论是否仍然成立呢？定理定理1(等角定理等角定理)：如果一个角的两边与另一个角的如果一个角的两边与另一个角的 两边分别平行，那么这两个角相等或互补。两边分别平行，那么这两个角相等或互补。P1Q1PQOabO1a1b1特征：方向相同特征：方向相同OabO1a1b1等角定理从平面几何推广到立体几何等角定理从平面几何推广到立体几何CDBCDABA空间直线与直线的位置关系空间直线与直线的位置关系1 1、空间两条直线的位置关系、空间两条直线的位置关系(不重合）不重合）相交直线相交直线平行直线平行直线异面直线异面直线-有且仅有一个公共点有且仅有一个公共点-在同一平面内在同一平面内,没有公共点没有公共点不存在不存在任何任何一个平面；一个平面；没有公共点没有公共点-不能置于同一个平面内不能置于同一个平面内同在一个平面内同在一个平面内相交直相交直线平行直平行直线 不同在任何一个平面内：不同在任何一个平面内：异面直异面直线 有一个公共点：有一个公共点：相交直相交直线无无 公公 共共 点点平行直平行直线异面直异面直线按平面基本性质分按平面基本性质分按公共点个数分按公共点个数分异面直线的画法异面直线的画法abbaab说明说明:画异面直线时画异面直线时,为了体现它们不共面的特点。为了体现它们不共面的特点。常借助一个或两个平面来衬托常借助一个或两个平面来衬托.例例1 1、已知：直线、已知：直线 l 与平面与平面 相交于点相交于点A，直线，直线 m 在平面在平面 上，且不经过点上，且不经过点A，求证：求证：直线直线 l 与直线与直线 m 是是异面直线异面直线3 3、证明异面直线的方法、证明异面直线的方法-反证法反证法和定义法和定义法ab例例2、已知、已知A、B、C、D是不在同一平面内的空间四点，是不在同一平面内的空间四点，求证：求证：AB与与CD、BD与与AC、AD与与BC是是异面直线。异面直线。练习练习1 1、选择题、选择题两条直线两条直线a、b分别和异面直线分别和异面直线c、d都相交，则直线都相交，则直线 a、b的位置关系是的位置关系是()A、一定是异面直线一定是异面直线 B、一定是相交直线一定是相交直线C、可能是平行直线可能是平行直线 D、可能是异面直线，也可能是相交直线可能是异面直线，也可能是相交直线一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另 一条的位置关系是一条的位置关系是()A、平行平行B、相交相交 C、异面异面 D、相交或异面相交或异面练习练习2、已知长方体中、已知长方体中平行平行相交相交异面异面 BD和和FH是是 直线直线 EC和和BH是是 直线直线 BH和和DC是是 直线直线BACDEFHG(2)与棱与棱AB所在直线异面的棱共有所在直线异面的棱共有 条条?4分别是分别是：CG、HD、GF、HE思考思考题：这个长方体的棱中共有多少对异面直线这个长方体的棱中共有多少对异面直线?(1)说出以下各对线段的位置关系说出以下各对线段的位置关系?243、异面直线所成的角：、异面直线所成的角：对于异面直线对于异面直线a和和b，在空间任取一点，在空间任取一点P，过，过P分别作分别作 a和和b的平行线的平行线 a和和b，我们把，我们把 a与与b所成的锐角所成的锐角（或（或直角）叫做异面直线直角）叫做异面直线a与与b所成的角。所成的角。abPabP Pa异面直线所成角异面直线所成角的取值范围：的取值范围：当两条直线所成角为直角时，则当两条直线所成角为直角时，则a与与b垂直。垂直。记作：记作：ab说明：说明：当两条直线所成角为零角时，则当两条直线所成角为零角时，则a与与b平行或重合。平行或重合。例例1(1)直线直线AA与哪些棱所在的直线是互相垂直的异面直线？与哪些棱所在的直线是互相垂直的异面直线？与与CD，CD，BC，BC是互相垂直的异面直线。是互相垂直的异面直线。(2)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么，如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么，另一条直线是否也与这条直线垂直呢？另一条直线是否也与这条直线垂直呢？(3)垂直于同一条直线的两条直线是否平行？垂直于同一条直线的两条直线是否平行？ABCDABCD垂直垂直平行、异面、相交平行、异面、相交（1）、求异面直线所成角的一般方法）、求异面直线所成角的一般方法找出异面直线所成的角找出异面直线所成的角简单说明理由简单说明理由解含解含的三角形的三角形作、证、算作、证、算平移法（常用方法）平移法（常用方法）补形法补形法（2）、定角一般方法）、定角一般方法正弦定理正弦定理ABCbc余弦定理余弦定理ABCbca预备知识预备知识例例 2、在正方体、在正方体ABCDA1B1C1D1中，点中，点E、F分别是线分别是线段段A1B1，BB1的中点，的中点，出下列各对线段所成的角。出下列各对线段所成的角。(1)AB与与CC1(2)A1 B1与与AC(3)A1B与与D1B1B1CC1ABDA1D1=9 0=4 5=6 0(4)EF与与D1B1 EF=6 0(5)AD1与与B1C=9 0ABDCA1B1D1C1A1B和和B1C所成角为所成角为60在正方体在正方体AC1中，求异面直线中，求异面直线A1B和和B1C所成的角？所成的角？ABDCA1B1D1C1MN在正方体在正方体AC1中，中，M,N分别是分别是A1A和和B1B的中点，的中点，求异面直线求异面直线CM和和D1N所成的角？所成的角？例例 3、在长方体、在长方体ABCDA1B1C1D1中，中，AB=BC=2a，AA1=a，E、F分别是线段分别是线段A1B1、BB1的中点，的中点，求求出下列各对线段所成角的余弦值大小。出下列各对线段所成角的余弦值大小。(1)EF与与AD1(2)EF与与B1C(3)EF与与A1CEF(4)EF与与AC1ABDCA1B1D1C1E在正方体在正方体AC1中，求异面直线中，求异面直线D1B和和B1C所成的角？所成的角？ABCDEF例例4、已知在空间四边形、已知在空间四边形ABCD中，中，AD=BC=2，E、F分分 别是别是AB、CD上的中点，且上的中点，且EF=，求直线，求直线AD、BC所成角的大小所成角的大小。6 0M思考题：思考题：已知正四面体已知正四面体ABCD中，中，E、F分别是分别是BC、AD的中点，求的中点，求 (1)直线直线EF、AC所成角的大小；所成角的大小；(2)直线直线AE、CF所成角的余弦值大小所成角的余弦值大小。CBDAEFMPABCMN空间四边形空间四边形P-ABC中，中，M，N分别是分别是PB，AC的中点，的中点，PA=BC=4，MN=3，求，求PA与与BC所成的角？所成的角？E异面直线所成的角1求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移2求异面直线所成角的步骤：作：通过作平行线，得到相交直线；证：证明相交直线所成的角为异面直线所成的角；求：通过解三角形，求出该角