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第 二 节 指 数 与 指 数 函 数 分 析 四 则 运 算 的 顺 序 是 先 算 乘 方 ， 再 算 乘 除 ， 最 后 算 加 减 ，有 括 号 的 先 算 括 号 内 的 整 数 指 数 幂 的 运 算 性 质 及 运 算 规 律扩 充 到 分 数 指 数 幂 后 ， 其 运 算 规 则 仍 符 合 整 数 指 数 幂 的 四 则运 算 法 则 y 解 .2 .44 3621 6 565322123221 20 653121612132 aaaaaaaab ba 原 式原 式 规 律 总 结 对 于 运 算 结 果 的 形 式 ， 如 果 题 目 是 以 根 式 的 形 式 给 出 的 ，则 结 果 一 般 用 根 式 的 形 式 表 示 ； 如 果 题 目 是 以 分 数 指 数 幂 的 形 式 给 出的 ， 则 结 果 一 般 用 分 数 指 数 幂 的 形 式 表 示 化 简 结 果 不 要 同 时 含 有 根号 和 分 数 指 数 幂 ， 也 不 要 既 有 分 母 又 含 有 负 指 数 幂 变 式 训 练 1 .32,3 2323 222121 的 值求已 知 xx xxxx【 解 析 】 .3318 24732,18 1731.47,49 ,7,92 ,9,3 2323 22 121212323 2221 11 221212121 xx xx xxxxxx xxxx xxxx xxxx又 指 数 函 数 的 图 象 及 应 用已 知 函 数(1)作 出 函 数 的 图 象 ；(2)由 图 象 指 出 单 调 区 间 ；(3)由 图 象 指 出 ， 当 x取 什 么 值 时 y有 最 值 .21 2 xy 分 析 由 于 函 数 解 析 式 中 含 有 绝 对 值 ， 故 要 考 虑 去 绝 对 值 符 号 ，把 函 数 解 析 式 写 成 分 段 函 数 的 形 式 ， 再 作 出 图 象 ， 然 后 利 用 图象 寻 求 单 调 区 间 及 最 值 解 (1)由 函 数 的 解 析 式 得 其 图 象 分 成 两 部 分 ： 一 部 分 是 的 图 象 ， 由 下 列 变 换 可 得 到 ： ；另 一 部 分 是 的 图 象 ， 由 下 列 变 换 可 得到 ： .如 图 实 线 部 分 为 函 数 的 图 象 . .22 ,22121 2 22 xxy x xx 221 2 xy x 22121 xx yy 向 左 平 移 两 个 单 位 22 2 xy x 222 xx yy 向 左 平 移 两 个 单 位 221 xy (2)由 图 象 观 察 知 ， 函 数 在 ( ， 2上 是 单 调 增 函 数 ， 在 2， )上 是 单 调 减 函 数 (3)由 图 象 观 察 知 ， x 2时 ， 函 数 有 最 大 值 ， 最 大值 为 1， 没 有 最 小 值 221 xy 规 律 总 结 上 述 解 法 ， 通 过 化 归 与 转 化 ， 把 一 个 指 数 型 函数 的 问 题 转 化 为 指 数 函 数 的 图 象 ， 体 现 了 化 繁 为 简 、 化 生 为 熟 的思 想 另 外 ， 本 例 也 可 以 不 考 虑 去 绝 对 值 符 号 ， 而 是 直 接 用 图 象变 换 作 出 ， 方 法 如 下 ： .212121 22 00 xx xyxx yyy 个 单 位向 左 平 移 部 分轴 翻 折 得 到部 分 ， 将 它 沿保 留 baxf x 变 式 训 练 函 数 的 图 象 如 右 图 ， 其 中 a、 b为常 数 ， 则 下 列 结 论 正 确 的 是 ( )A a1， b1， b0C 0a0D 0a1， b0 【 解 析 】 由 图 象 显 示 函 数 是 减 函 数 ， 0a1.又 函 数 图 象 与 y轴 的 交 点 在 点 (0,1)的 下 方 ， 图 象 是 由 的 图 象 向 下 平 移 所 得 ， b0， 故 选 Cxay 【 答 案 】 C 指 数 函 数 的 性 质 及 应 用已 知 函 数 .(1)求 定 义 域 及 值 域 ； (2)求 函 数 的 单 调 区 间 176221 xxy 分 析 上 述 函 数 是 一 个 指 数 型 函 数 的 问 题 ， 可 通 过 换 元 转 化 为 指数 函 数 ； 利 用 指 数 函 数 的 性 质 分 别 求 定 义 域 、 值 域 和 单 调 区间 在 求 值 域 时 ， 应 先 求 指 数 的 值 域 ， 再 求 指 数 式 的 值 域 ； 在 求单 调 区 间 时 ， 注 意 利 用 复 合 函 数 的 单 调 性 解 .,3,3, 21 .3, 21,1210 ,1763,3 21,1210 176,32 .2 1,0,2121 ,8 ,883,1761 1762 2 88 22 2 单 调 减 区 间 为为 的 单 调 增 区 间综 上 可 得 ， 函 数 为 增 函 数上 ， 函 数在 为 减 函 数 ，又 为 减 函 数时 ，当 为 减 函 数 ；上 ， 函 数在 为 减 函 数 ，又 为 增 函 数 ，时当 值 域 为，令 xxuuu y yy xxxux yy xxxuxy uRx xxuxxxu 规 律 总 结 讨 论 指 数 型 函 数 的 性 质 ， 最 终 要 利 用 指 数 函数 的 性 质 和 其 他 基 本 初 等 函 数 的 性 质 来 解 决 其 关 键 是 准确 把 握 函 数 的 结 构 ， 弄 清 复 合 函 数 中 各 函 数 的 性 质 ， 然 后有 机 地 把 二 者 结 合 起 来 判 断 单 调 性 时 ， 要 注 意 复 合 函 数的 规 律 变 式 训 练 若 函 数 ， 则 该 函 数 在 ( ， )上 是 ( )A 单 调 递 减 无 最 小 值 B 单 调 递 减 有 最 小 值C 单 调 递 增 无 最 大 值 D 单 调 递 增 有 最 大 值 12 1 xxf 【 解 析 】 令 ， 则 .因 为 u(x)在( ， )上 单 调 递 增 且 u(x)1； 而 在 (1， )上 单 调 递 减 故 在( ， )上 单 调 递 减 ， 且 无 限 趋 于 0， 故无 最 小 值 ， 故 选 A. 12 xxu uuf 1 uuf 1 12 1 xxf【 答 案 】 A 指 数 函 数 的 综 合 应 用(12分 ) 已 知 函 数满 足 .(1)求 常 数 c的 值 ； (2)解 不 等 式 . 1121 ,012 xc cxcxxf cx 892 cf 182 xf 分 析 (1)由 题 意 判 断 c的 取 值 范 围 ， 用 求 常 数 c的 值 (2)由 求 得 的 c化 简 已 知 函 数 式 ， 分 段 解 不 等 式 ， 最 后 求 并 集 ，得 不 等 式 的 解 集 892 cf .8542|,8542.8521 ,18212,182121 ;2142 ,182121182210 .12112 ,21012112 .2 1,891,89 ,101 44 32 2 xxxx xfxx xxfx xxxxf cccf ccc xx 原 不 等 式 的 解 集 为总 上 可 知 ： 即时 ， 不 等 式当 ， 即时 ， 不 等 式当 得由 即依 题 意 ，解 规 律 总 结 上 述 问 题 的 最 终 形 式 是 解 一 个 指 数 不 等 式 ， 属 于 指 数函 数 的 综 合 应 用 求 解 该 类 问 题 的 关 键 是 ， 化 简 所 给 函 数 、 方 程 或不 等 式 ， 使 之 能 利 用 指 数 函 数 的 性 质 ， 把 原 问 题 转 化 为 熟 悉 的 问 题加 以 解 决 变 式 训 练 设 集 合 A x|1 x 2， 关 于 x的 不 等 式 的 解 集 为 B， 求 使 A B A的 实 数 a的 取 值 范 围 Raxaax 222 【 解 析 】 .32, .21,121,112, ,12,21,012 A;BA,21,012 .3221,212, ,12,21,012 .12|,222 22 的 取 值 范 围 是综 上 ， 或解 得时即当 满 足时即当 解 得时即当 得由 上 的 增 函 数 ，是a aaaaaBA aaxaa Rxaa aaaBA aaxaa axaxBxaaxRy xaaxx 1 将 根 式 化 为 分 数 指 数 幂 是 为 了 进 行 运 算 (乘 、 除 、 乘 方 、 开 方 )将 分 数 指 数 幂 化 为 根 式 便 于 研 究 字 母 的 取 值 范 围 2 含 指 数 式 的 方 程 和 不 等 式 的 常 见 解 法 不 等 式 求 解元 法 转 化 为 二 次 方 程 或 可 以 利 用 换或形 如 时当 时当 且 004 .,13 .,12 .101 22 CBaaCBaa xgxfaaa xgxfaaa aaxgxfaa xxxx xgxf xgxfxgxf 3 指 数 函 数 图 象 性 质(1)指 数 函 数 在 同 一 直 角 坐 标 系 中 的 图 象 的相 对 位 置 与 底 数 大 小 的 关 系 如 图 所 示 ，则 0 c d 1 a b.在 y轴 右 侧 ， 图 象 从 上 到 下 相 应 的 底 数 由 大变 小 ； 在 y轴 左 侧 ， 图 象 从 下 到 上 相 应 的 底 数 由 大 变 小 ； 即 无论 在 y轴 的 左 侧 还 是 右 侧 ， 底 数 按 逆 时 针 方 向 变 大 (2)上 下 平 移 ： 函 数 的 图 象 是 由 函 数 的 图 象 经 过 向 上 (m 0)或 向 下 (m 0)平 移 得到 的 (3)左 右 平 移 ： 函 数 的 图 象 是 由 函 数 的 图 象 经 过 向 左 (k 0)或 向 右 (k 0)平 移 得 到 的 10 aamay x 且 10 aaay x 且 10 aaay kx 且 10 aaay x 且 4 指 数 函 数 单 调 性 的 判 断(1)利 用 单 调 性 定 义 ， 作 差 变 形 判 号 结 论 特 别 地 ， 根 据 指 数 型 函 数 的 特 点 也 可 作 商 去 判 断 (2)利 用 复 合 函 数 单 调 性 判 断 形 如 的 函 数 ， 它 的 单 调 区 间 与 f(x)的单 调 区 间 相 关 ： 若 a 1， 函 数 的 单 调 增 (减 )区 间 即 为 y af(x)的单 调 增 (减 )区 间 ； 若 0 a 1， 函 数 y f(x)的 单 调 增 (减 )区 间 则 为 函 数 的 单 调 减 (增 )区 间 xfay xfay xfay 设 函 数 ， 若 函 数 的 定 义 域 为 ( ， 1， 求 实 数 a的 取 值 范 围 xx ay 421 错 解 .43,431,2121 ,2121 .2121, 0421,1, 22 2 axf xf a ax xx xx xx xx 解 得为上 是 增 函 数 ， 其 最 大 值在又令 即成 立 都 有时由 题 意 知 ， 当 错 解 分 析 错 解 误 将 函 数 f(x)在 区 间 ( ， 1上 有 意 义 与 函数 f(x)的 定 义 域 为 ( ， 1相 混 淆 事 实 上 ， 当 a 0时 ， 满足 ， 但 此 时 函 数 ， 即 函 数 定 义 域 为 ( ， )， 而 不 是 ( ， 1 显 然 ， 是 错 误 的 错 解 只 说 明 函数 f(x)在 ( ， 1上 有 意 义 ， 并 未 说 明 函 数 f(x)的 定 义 域 就 是( ， 143a xy 21 43a 正 解 .43 .1,43,12 411log .2 411log 2 411212 41121 ,1|2121 ,1|421 2121 2 a xfaaax aa xxa xxa xx xx xx 的 定 义 域 为时即显 然 ， 当解 得 （ 不 合 题 意 ， 舍 去 ） 或解 得 的 解 集 是即 不 等 式 的 解 集 是由 题 意 知 ， 不 等 式
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