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专题限时集训(三)三角函数的概念、图象与性质三角恒等变换与解三角形1(2018全国卷)若sin ，则cos 2()A. B. C DBcos 212sin2 12.2(2019全国卷)下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是()Af(x)|cos 2x| Bf(x)|sin 2x|Cf(x)cos|x| Df(x)sin|x|A因为ysin|x|的图象如图1，知其不是周期函数，排除D；因为ycos|x|cos x，周期为2，排除C；作出y|cos 2x|的图象如图2，由图象知，其周期为，在区间单调递增，A正确；作出y|sin 2x|的图象如图3，由图象知，其周期为，在区间单调递减，排除B，故选A.图1图2图33(2016全国卷)若cos，则sin 2( )A. B. C DD法一：(公式法)cos，sin 2coscos2cos21，故选D.法二：(整体代入法)由cos(sin cos )，得sin cos ，所以(sin cos )212sin cos ，即sin 22sin cos .4(2017全国卷)已知曲线C1：ycos x，C2：ysin，则下面结论正确的是( )A把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2D因为ysincoscos，所以曲线C1：ycos x上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线ycos 2x，再把得到的曲线ycos 2x向左平移个单位长度，得到曲线ycos 2cos.故选D.5.(2020全国卷)设函数f(x)cos在，的图象大致如图，则f(x)的最小正周期为()A. B. C. D.C由题图知，f0，k(kZ)，解得(kZ)设f(x)的最小正周期为T，易知T22T，2，1|2，当且仅当k1时，符合题意，此时，T.故选C.6(2018全国卷)在ABC中，cos ，BC1，AC5，则AB()A4 B. C. D2A因为cos C2cos2121，所以AB2BC2AC22BCACcos C12521532，则AB4，故选A.7(2018全国卷)若f(x)cos xsin x在a，a是减函数，则a的最大值是()A. B. C. DA法一：(直接法)f(x)cos xsin xcos，且函数ycos x在区间0，上单调递减，则由0x，得x.因为f(x)在a，a上是减函数，所以解得a，所以0a，所以a的最大值是，故选A.法二：(单调性法)因为f(x)cos xsin x，所以f(x)sin xcos x，则由题意，知f(x)sin xcos x0在a，a上恒成立，即sin xcos x0，即sin0在a，a上恒成立，结合函数ysin的图象(图略)，可知有解得a，所以0a，所以a的最大值是，故选A.8(2018全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若ABC的面积为，则C()A. B. C. D.C根据题意及三角形的面积公式知absin C，所以sin Ccos C，所以在ABC中，C.9(2017全国卷)设函数f(x)cos，则下列结论错误的是()Af(x)的一个周期为2Byf(x)的图象关于直线x对称Cf(x)的一个零点为xDf(x)在单调递减DA项，因为f(x)cos的周期为2k(kZ)，所以f(x)的一个周期为2，A项正确B项，由fcoscos 31，可知B正确；C项，由f(x)coscos得fcos 0，故C正确D项，由fcos 1可知，D不正确10(2014全国卷)设，且tan ，则()A3 B2C3 D2B法一：由tan 得，即sin cos cos cos sin ，sin()cos sin.，由sin()sin，得，2.法二：tan tantan，k，kZ，22k，kZ.当k0时，满足2，故选B.11(2019全国卷)关于函数f(x)sin|x|sin x|有下述四个结论：f(x)是偶函数；f(x)在区间单调递增；f(x)在，有4个零点；f(x)的最大值为2.其中所有正确结论的编号是()A BC DC法一：f(x)sin|x|sin(x)|sin|x|sin x|f(x)，f(x)为偶函数，故正确；当x时，f(x)sin xsin x2sin x，f(x)在单调递减，故不正确；f(x)在，的图象如图所示，由图可知函数f(x)在，只有3个零点，故不正确；ysin|x|与y|sin x|的最大值都为1且可以同时取到，f(x)可以取到最大值2，故正确综上，正确结论的序号是.故选C.法二：f(x)sin|x|sin(x)|sin|x|sin x|f(x)，f(x)为偶函数，故正确，排除B；当x时，f(x)sin xsin x2sin x，f(x)在单调递减，故不正确，排除A；ysin |x|与y|sin x|的最大值都为1且可以同时取到，f(x)的最大值为2，故正确故选C.法三：画出函数f(x)sin|x|sin x|的图象，由图象可得正确，故选C.12(2016全国卷)已知函数f(x)sin(x)，x为f(x)的零点，x为yf(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则的最大值为()A11 B9 C7 D5B先根据函数的零点及图象、对称轴，求出，满足的关系式，再根据函数f(x)在上单调，则的区间长度不大于函数f(x)周期的，然后结合|计算的最大值因为f(x)sin(x)的一个零点为x，x为yf(x)图象的对称轴，所以k(k为奇数)又T，所以k(k为奇数)又函数f(x)在上单调，所以，即12.若11，又|，则，此时，f(x)sin，f(x)在上单调递增，在上单调递减，不满足条件若9，又|，则，此时，f(x)sin，满足f(x)在上单调的条件故选B.13(2018全国卷)已知sin cos 1，cos sin 0，则sin()_.sin cos 1，cos sin 0，22得12(sin cos cos sin )11，sin cos cos sin ，sin().14(2019全国卷)函数f(x)sin3cos x的最小值为_4f(x)sin3cos xcos 2x3cos x2cos2x3cos x1，令tcos x，则t1,1，f(x)2t23t1.又函数f(x)图象的对称轴t1,1，且开口向下，当t1时，f(x)有最小值4.15(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b6，a2c，B，则ABC的面积为_6法一：因为a2c，b6，B，所以由余弦定理b2a2c22accos B，得62(2c)2c222cccos ，得c2，所以a4，所以ABC的面积Sacsin B42sin 6.法二：因为a2c，b6，B，所以由余弦定理b2a2c22accos B，得62(2c)2c222cccos ，得c2，所以a4，所以a2b2c2，所以A，所以ABC的面积S266.16(2020全国卷)关于函数f(x)sin x有如下四个命题：f(x)的图象关于y轴对称f(x)的图象关于原点对称f(x)的图象关于直线x对称f(x)的最小值为2.其中所有真命题的序号是_由题意知f(x)的定义域为x|xk，kZ，且关于原点对称又f(x)sin(x)f(x)，所以函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，所以为假命题，为真命题因为fsincos x，fsincos x，所以ff，所以函数f(x)的图象关于直线x对称，为真命题当sin x0时，f(x)0，所以为假命题1(2020西安模拟)已知sin ，.则下列结论错误的是()Acos Btan Ccos DcosD已知sin ，cos ，故A正确；tan ，故B正确；coscos cos sin sin ，故C正确；coscos cos sin sin ，故D错误，故选D.2(2020毕节市模拟)若3，则sin cos cos 2的值是()A1 B C. D1D3，tan 2，sin cos cos 21.故选D.3(2020江宁模拟)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A120，c2b，则cos C()A. B. C. D.C若A120，c2b，由余弦定理可得，cos 120，ab，则cos C.故选C.4(2020洛阳模拟)要得到函数ysin的图象，只需将函数ycos的图象()A向左平移个单位 B向右平移个单位C向左平移个单位 D向右平栘个单位C要得到函数ysin的图象，只需将函数ycossin 2x的图象向左平移个单位即可，故选C.5(2020南京师大附中模拟)设a，b是实数，已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(a,1)，B(2，b)，且sin ，则的值为()A4 B2 C4 D4A由三角函数的定义，知，且a0，b0，解得b，a2，所以4，故选A.6(2020海淀模拟)将函数ysin 2x的图象向左平移个单位长度后得到曲线C1，再将C1上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线C2，则C2的解析式为()Aysin x Bycos xCysin 4x Dycos 4xB将函数ysin 2x的图象向左平移个单位长度后得到曲线C1，C1的解析式为ysin 2cos 2x，再将C1上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线C2，C2的解析式为ycos 2cos x故选B.7(2020五华区校级模拟)函数f(x)sin2xcos2x2sin xcos x的图象的一条对称轴为()Ax Bx Cx DxC因为f(x)sin2xcos2x2sin xcos xcos 2xsin 2x2sin.又f2sin 2取得函数的最大值，所以函数f(x)的图象的一条对称轴为x，故选C.8(2020南安模拟)已知函数f(x)Acos(x)B的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为()Ay2cos4 By2cos4Cy4cos2 Dy4cos2A由图象可知A2，B4，且，T4，.所以f(x)2cos4，由图可知是五点作图的第一个点，所以0，所以，所以f(x)2cos4.故A正确9(2020洛阳模拟)f(x)sin xsin 2的最大值为()A2 B1 C. D.Df(x)sin xsin 2sin xcos 2x2sin2xsin x1，因为1sin x1，结合二次函数的性质可知，当sin x时，函数取得最大值.故选D.10(2020德阳模拟)设当x时，函数f(x)sin x2cos x取得最大值，则sin ()A B. C D.D函数f(x)sin x2cos xsin(x)，其中cos ，sin .当x2k(kZ)时，取得最大值2k(kZ)时，取得最大值，则sin sincos ，故选D.11(2020吕梁市一模)已知函数f(x)12sin2(x)(0)在区间内单调递减，则取最大值时函数yf(x)的周期为()A B2 C. D3Af(x)12sin2(x)cos 2x(0)，函数周期为T，由f(x)在区间内单调递减可得，即1，最大为1，则其周期为.故选A.12(2020韶关模拟)已知2cos()cos cos(2)，则等于()A B C. D.A2cos()cos cos(2)2cos()cos cos()2cos()cos cos()cos sin()sin cos()cos sin()sin cos()cos ，cos ，sin21cos2，tan27，从而.13(2020长春二模)设ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知2bacos C0，sin A3sin(AC)，则()A. B. C. D.D2bacos C0，由余弦定理可得2ba，整理可得，3b2c2a2，sin A3sin(AC)3sin B，由正弦定理可得，a3b，联立可得，cb，则.故选D.14(2020成都模拟)关于函数f(x)3sin1(xR)有下述四个结论：若f(x1)f(x2)1，则x1x2k(kZ)；yf(x)的图象关于点对称；函数yf(x)在上单调递增；yf(x)的图象向右平移个单位长度后所得图象关于y轴对称其中所有正确结论的编号是()A B C DD对于，由f(x1)f(x2)1，得(x1,1)，(x2,1)是函数f(x)的图象的两个对称中心，则x1x2是函数f(x)的整数倍(T是函数的最小正周期)，即x1x2(kZ)，故错误；对于，f3sin 11，故正确；由2k2x2k，解得kxk，kZ.当k0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，故错误；yf(x)的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数为y3sin13cos 2x1，是偶函数，图象关于y轴对称，故正确正确命题的序号是.故选D.15(2020潍坊模拟)给出下列命题：存在实数使sin cos .直线x是函数ycos x图象的一条对称轴ycos(sin x)(xR)的值域是cos 1,1若，都是第一象限角，且sin sin ，则tan tan .其中正确命题的题号为()A BC DCsin cos sin，错误；是函数ycos x图象的一个对称中心，错误；根据余弦函数的性质可得ycos(sin x)的最大值为ymaxcos 01，ymincos，其值域是cos 1,1，正确；若，都是第一象限角，且sin sin ，利用三角函数线有tan tan ，正确故选C.16(2020毕阳市模拟)已知函数f(x)sin2xsin xcos x，则f(1)f(2)f(2 020)的值等于()A2 018 B1 009 C1 010 D2 020Cf(x)sin2xsinxcos xcos xsin xsin.函数f(x)的周期T4，f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(4k1)，f(4k2)，f(4k3)，f(4k4)，f(4k1)f(4k2)f(4k3)f(4k4)2，2 0205054，f(1)f(2)f(2 020)50521 010.故选C.17(2020上饶模拟)在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且面积为S，若bcos Cccos B2acos A，S(b2a2c2)，则角B等于()A. B. C. D.B因为bcos Cccos B2acos A，由正弦定理可得，sin Bcos Csin Ccos B2sin Acos A，即sin(BC)2sin Acos Asin A，因为sin A0，所以cos A，故A，S(b2a2c2)，absin C2abcos C，sin Ccos C，故C，则B.故选B.18(2020毕阳市模拟)已知A(xA，yA)是圆心为坐标原点O，半径为1的圆上的任意一点，将射线OA绕点O逆时针旋转到OB交圆于点B(xB，yB)，则2yAyB的最大值为()A3 B2 C. D.C设A(cos ，sin )，则B，2yAyB2sin sin2sin sin cos cos sin sin cos sin，2yAyB的最大值为，故选C.19. (2020平顶山一模)蒙娜丽莎是意大利文艺复兴时期画家列奥纳多达芬奇创作的油画，现收藏于法国罗浮宫博物馆该油画规格为：纵77 cm，横53 cm.油画挂在墙壁上的最低点处B离地面237 cm(如图所示)有一身高为175 cm的游客从正面观赏它(该游客头顶T到眼睛C的距离为15 cm)，设该游客离墙距离为x cm，视角为.为使观赏视角最大，x应为()A77 B80 C100 D77D如图所示，设BCD，则tan .tan()，解得tan ，当且仅当x，即x77cm时取等号故选D. 20(2020碑林区校级模拟)已知f(x)sin(x)(0,0)，是R上的奇函数，若f(x)的图象关于直线x对称，且f(x)在区间内是单调函数，则f()A B C. D.Af(x)sin(x)(0,0)是R上的奇函数，所以k，kZ，当k1时，.所以f(x)sin(x)sin x，由于fsin1，所以k(kZ)，整理得k，整理得4k2.当k0时，2，函数f(x)sin 2x，由于x，所以2x，故函数是单调递减函数当k1时426，函数f(x)sin 6x，由于x，所以6x，由于6x内单调，故函数不为单调函数当k2时，10，函数f(x)在区间内也不是单调函数，所以f(x)sin 2x，故fsin .故选A.21(2020绵阳模拟)2019年10月1日，在庆祝新中国成立70周年阅兵中，由我国自主研制的军用飞机和军用无人机等参阅航空装备分秒不差飞越天安门，状军威，振民心，令世人瞩目飞行员高超的飞行技术离不开艰苦的训练和科学的数据分析一次飞行训练中，地面观测站观测到一架参阅直升机以72千米/小时的速度在同一高度向正东飞行，如图，第一次观测到该飞机在北偏西60的方向上，1分钟后第二次观测到该飞机在北偏东75的方向上，仰角为30，则直升机飞行的高度为_千米(结果保留根号)如图由题上条件可得线AC平行于东西方向，ABD60，CBD75；AC千米；ABC135，BAC30；在ABC中，BC.D1C平面ABC，在直角BD1C中，tanD1BChBCtanD1BCtan30千米22一题两空(2020济宁一模)已知函数f(x)sin x，g(x)cos x，其中0，A，B，C是这两个函数图象的交点，且不共线当1时，ABC面积的最小值为_；若存在ABC是等腰直角三角形，则的最小值为_2函数f(x)sinx，g(x)cos x，其中0，A，B，C是这两个函数图象的交点，当1时，f(x)sin x，g(x)cos x.所以函数的交点间的距离为一个周期2.高为2.所以SABC2(11)2.如图所示：当1时，ABC面积的最小值为 2；若存在ABC是等腰直角三角形，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，则2，解得的最小值为. 23(2020常州模拟)在ABC中，A，点D满足，且对任意xR，|x|恒成立，则cosABC_.根据题意，在ABC中，点D满足，设AD2t，则AC3t，又由，若对任意xR，|x|恒成立，必有BDAC，即ADB；又由A，则AB2AD4t，BDAD2t，则BCt，ABC中，AB4t，AC3t，BCt，则cosABC.24(2020西安模拟)已知函数f(x)sin(x)(0)满足f(x0)f(x01)，且f(x)在(x0，x01)上有最小值，没有最大值，给出下述四个结论：f1；若x00，则f(x)sin；f(x)的最小正周期为3；f(x)在(0,2 019)上的零点个数最少为1346个其中所有正确结论的编号有_f(x)满足f(x0)f(x01)，f(x)满足在(x0，x01)的中点处取得最小值，此时f1，正确，若x00，则f(x0)f(x01)，即sin ，不妨取，此时f(x)sin，满足条件，但f1，为(0,1)上的最大值，不满足条件故错误，f(x0)f(x01)，且f(x)在(x0，x01)上有最小值，没有最大值，不妨令x02k，kZ，(x01)2k，kZ，则两式相减得，即函数的周期T3，故正确，区间(0,2019)的长度恰好为673个周期，当f(0)0时，即k时，f(x)在(0,2019)上零点个数至少为673211 345，故错误，故正确的是.
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