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课时作业21函数、导数与不等式A基础达标1函数f(x)xln x，g(x)aex.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求证：当a时，xf(x)g(x)22020贵阳市第一学期监测考试已知函数f(x)asin xxb(a，b均为正常数)，h(x)sin xcos x.(1)求证：函数f(x)在(0，ab内至少有一个零点；(2)设函数f(x)在x处有极值，对于一切x0，不等式f(x)h(x)恒成立，求b的取值范围B素养提升12020开封市模拟考试已知函数f(x)exx1.(1)证明f(x)0；(2)设m为整数，且对于任意正整数n，n0时，证明：mennnemm.课时作业21函数、导数与不等式A基础达标1解析：(1)函数f(x)的定义域为(0，)由f(x)xln x，得f(x)1，当x(0,1)时，f(x)0，所以f(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，)(2)证明：要证xf(x)g(x)，即证x(xln x)aex，即证a.设h(x)，则h(x)，由(1)可知f(x)f(1)1，即ln x(x1)0，于是，当x(0,1)时，h(x)0，h(x)单调递增；当x(1，)时，h(x)0，f(ab)asin(ab)abbasin(ab)10，f(0)f(ab)0，函数f(x)在(0，ab内至少有一个零点(2)f(x)acos x1.由已知得：f0，a2，f(x)2sin xxb，不等式f(x)h(x)恒成立可化为sin xcos xxb，记函数g(x)sin xcos xx，x0，则g(x)cos xsin x1sin1，x，当x时，1sin，g(x)0在0，上恒成立，函数 g(x)在0，上是增函数，最小值为g(0)1，b1，b的取值范围是(1，)B素养提升1解析：(1)证明：f(x)ex1.当x0时，f(x)0，当x0时，f(x)0，即exx1，即xln(x1)令x， 得ln.从而ln ln ln 11.故2，所以m的最小值为3.2解析：(1)由题可得f(x)的定义域为R，且f(x)(axa1)ex.当a0时，f(x)ex0时，由f(x)0，得x；由f(x)0，得x.此时f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增当a0，得x；由f(x).此时f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增(2)证明：当mn0时，要证mennnemm，只要证m(en1)(*)设g(x)，x0，则g(x).设h(x)(x1)ex1，x0，由(1)知当a1时，y(x1)ex在(0，)上单调递增，所以h(x)在(0，)上单调递增，所以当x0时，h(x)h(0)0.于是g(x)0，所以g(x)在(0，)上单调递增所以当mn0时，g(m)g(n)，即(*)式成立故当mn0时，mennnemm.
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