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专题限时集训(十三)解析几何1(2018全国卷)设椭圆C：y21的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2,0)(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明：OMAOMB解(1)由已知得F(1,0)，l的方程为x1.由已知可得，点A的坐标为或.又M(2,0)，所以AM的方程为yx或yx.(2)证明：当l与x轴重合时，OMAOMB0.当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以OMAOMB当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为yk(x1)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2，直线MA，MB的斜率之和为kMAkMB.由y1kx1k，y2kx2k得kMAkMB.将yk(x1)代入y21，得(2k21)x24k2x2k220.所以x1x2，x1x2.则2kx1x23k(x1x2)4k0.从而kMAkMB0，故MA，MB的倾斜角互补所以OMAOMB综上，OMAOMB2(2019全国卷)已知点A(2,0)，B(2,0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为.记M的轨迹为曲线C(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PEx轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G.证明：PQG是直角三角形；求PQG面积的最大值解(1)由题设得，化简得1(|x|2)，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左、右顶点(2)证明：设直线PQ的斜率为k，则其方程为ykx(k0)由得x.记u，则P(u，uk)，Q(u，uk)，E(u,0)于是直线QG的斜率为，方程为y(xu)由得(2k2)x22uk2xk2u280.设G(xG，yG)，则u和xG是方程的解，故xG，由此得yG.从而直线PG的斜率为.所以PQPG，即PQG是直角三角形由得|PQ|2u，|PG|，所以PQG的面积S|PQ|PG|.设tk，则由k0得t2，当且仅当k1时取等号因为S在2，)单调递减，所以当t2，即k1时，S取得最大值，最大值为.因此，PQG面积的最大值为.3(2018全国卷)已知斜率为k的直线l与椭圆C：1交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，m)(m0)(1)证明：k；(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且0.证明：|，|，|成等差数列，并求该数列的公差解(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1.两式相减，并由k得k0.由题设知1，m，于是k.由题设得0m，故k.(2)由题意得F(1,0)设P(x3，y3)，则(x31，y3)(x11，y1)(x21，y2)(0,0)由(1)及题设得x33(x1x2)1，y3(y1y2)2m0.又点P在C上，所以m，从而P，|.于是|2.同理|2.所以|4(x1x2)3.故2|，即|，|，|成等差数列设该数列的公差为d，则2|d|x1x2|.将m代入得k1.所以l的方程为yx，代入C的方程，并整理得7x214x0.故x1x22，x1x2，代入解得|d|.所以该数列的公差为或.4(2019全国卷)已知曲线C：y，D为直线y上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B(1)证明：直线AB过定点；(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积解(1)证明：设D，A(x1，y1)，则x2y1.由于yx，所以切线DA的斜率为x1，故x1.整理得2tx12y110.设B(x2，y2)，同理可得2tx22y210.故直线AB的方程为2tx2y10.所以直线AB过定点.(2)由(1)得直线AB的方程为ytx.由可得x22tx10.于是x1x22t，x1x21，y1y2t(x1x2)12t21，|AB|x1x2|2(t21)设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离，则d1，d2.因此，四边形ADBE的面积S|AB|(d1d2)(t23).设M为线段AB的中点，则M.由于，而(t，t22)，与向量(1，t)平行，所以t(t22)t0.解得t0或t1.当t0时，S3；当t1时，S4.因此，四边形ADBE的面积为3或4.1(2020德州一模)已知抛物线E：x22py(p0)的焦点为F，圆M的方程为：x2y2py0，若直线x4与x轴交于点R，与抛物线交于点Q，且|QF|RQ|.(1)求出抛物线E和圆M的方程；(2)过焦点F的直线l与抛物线E交于A，B两点，与圆M交于C，D两点(A，C在y轴同侧)，求证：|AC|DB|是定值解(1)设Q(4，y0)，由|QF|RQ|，得y0y0，即y02p.将点(4,2p)代入抛物线方程，可得p2.抛物线E：x24y，圆M的方程为：x2y22y0.(2)证明：抛物线E：x24y的焦点F(0,1)，设直线l的方程为ykx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)联立得x24kx40.则16(k21)0，且x1x24k，x1x24.由圆的方程可得圆M的圆心坐标为M(0,1)，半径为1，圆心就是焦点由抛物线的定义可知|AF|y11，|BF|y21.则|AC|AF|1y1，|BD|BF|1y2，|AC|BD|y1y2(kx11)(kx21)k2x1x2k(x1x2)14k24k211.即|AC|DB|是定值1.2(2020株洲模拟)已知椭圆E：1(ab0)经过点(0，)，离心率为.(1)求椭圆E的方程；(2)设点A，F分别为椭圆的右顶点、右焦点，经过点F作直线交椭圆于C，D两点，求四边形OCAD面积的最大值(O为坐标原点)解(1)离心率为，e.椭圆E：1(ab0)经过点(0，)，1，即b23.又a2b2c2，a24.故椭圆E的方程为1.(2)设直线CD的方程为xmy1，C(x1，y1)，D(x2，y2)，联立消去x，得(3m24)y26my90，y1y2，y1y2，36m24(3m24)(9)144(m21)0，S四边形OCADSOADSOAC|OA|y2|OA|y1|OA|y1y2|2，令t1，则S.令f(t)3t，易知f(t)3.由f(t)0得t，由f(t)0得0t.又t1，f(t)在1，)上为增函数，f(t)minf(1)4.S3.即四边形OCAD的面积的最大值为3.3(2020石景山区一模)已知椭圆C：1(ab0)的右焦点为F(1,0)，离心率为.直线l过点F且不平行于坐标轴，l与C有两交点A，B，线段AB的中点为M.(1)求椭圆C的方程；(2)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；(3)延长线段OM与椭圆C交于点P，若四边形OAPB为平行四边形，求此时直线l的斜率解(1)由题意可知，c1，e，a2b2c2，a，b1，椭圆的方程为y21.(2)证明：设直线l的方程为yk(x1)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y得，(2k21)x24k2x2k220，则x1x2.M为线段AB的中点，xM，yMk(xM1)，kOM，kOMklk为定值(3)若四边形OAPB为平行四边形，则，xPx1x2，yPy1y2k(x1x2)2k，点P在椭圆上，22，解得k2，即k，当四边形OAPB为平行四边形时，直线l的斜率为k.4(2020汉中模拟)已知椭圆C：1(ab0)，椭圆上的点到焦点的最小距离为2且过点P(，1)(1)求椭圆C的方程；(2)若过点M(3,0)的直线l与椭圆C有两个不同的交点P和Q，若点P关于x轴的对称点为P，判断直线PQ是否经过定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由解(1)由题意解得故椭圆C的方程为1.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)将直线与椭圆的方程联立得：消去y，整理得(2k21)x212k2x18k240.由根与系数之间的关系可得：x1x2，x1x2.点P关于y轴的对称点为P，则P(x1，y1)直线PQ的斜率k.方程为：yy1(xx1)，即y.直线PQ过x轴上定点.
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