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课时作业20函数、导数与方程 A基础达标12020郑州市质量预测已知函数f(x)，g(x)(x0)(1)当a1时，求曲线y在x1处的切线方程；(2)讨论函数F(x)f(x)在(0，)上的单调性22019全国卷已知函数f(x)(x1)ln xx1.证明：(1)f(x)存在唯一的极值点；(2)f(x)0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数B素养提升12020北京市适应性测试已知函数f(x)sin xxcos xx3，f(x)为f(x)的导数(1)证明：f(x)在区间上不存在零点；(2)若f(x)kxxcos xx31对x恒成立，求实数k的取值范围2已知函数f(x)xexx21，a1，e2.718为自然对数的底数(1)当a0时，证明：函数f(x)只有一个零点；(2)若函数f(x)存在两个不同的极值点x1，x2，求实数a的取值范围课时作业20函数、导数与方程A基础达标1解析：(1)当a1时，曲线y.y. 所以曲线y在x1处的切线的斜率为，又切线过点(1,0)，所以切线方程为x2y10.(2)f(x)，F(x)f(x)，当a0时，F(x)0时，令k(x)x2(1)x0，则1，当0，即00，即a4时，方程x2(1)x0有两个不等实根x1，x2，不妨设x1x2，则0x11x2(x1，x2)，此时，函数F(x)在(0，x1)，(x2，)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减综上所述，当a4时，F(x)的单调递减区间是(，)，单调递增区间是(0，)，(，)；当0a4时，F(x)的单调递增区间是(0，)2证明：(1)f(x)的定义域为(0，)f(x)ln x1ln x.因为yln x单调递增，y单调递减，所以f(x)单调递增又f(1)10，故存在唯一x0(1,2)，使得f(x0)0.又当xx0时，f(x)x0时，f(x)0，f(x)单调递增，因此，f(x)存在唯一的极值点(2)由(1)知f(x0)0，所以f(x)0在(x0，)内存在唯一根x.由x01得10，g(x)单调递增；当x时，g(x)0，g10，g(x)0在上恒成立，故f(x)0在上恒成立，故f(x)在区间上不存在零点(2)由f(x)kxxcos xx31，得sin xkx1.x，k，令t(x)，则t(x)，令m(x)xcos xsin x1，则当x时，m(x)xsin x0恒成立，m(x)在上单调递减，当x时，m(x)m(0)10，t(x)t，k，k的取值范围是.2解析：(1)证明：由题知f(x)1exax，令g(x)1exax，则g(x)aex.当a0时，g(x)0，所以f(x)在(，)上单调递减又因为f(0)0，所以f(x)在(，0)上单调递增，在(0，)上单调递减所以f(x)f(0)0，故函数f(x)只有一个零点(2)由(1)知a0不合题意，则0a1.若0a0；当x(ln a，)时，g(x)0.因为fe0，设函数(a)ln a，则(a)(1)10，即ln a.所以存在x1，满足f(x1)0.所以当x(，x1)时，f(x)0；当x(0，)时，f(x)0，x(0，)时，g(x)0，所以g(x)g(0)0.所以f(x)0，即f(x)在(，)上单调递减所以f(x)无极值点，不合题意综上可得，实数a的取值范围为(0,1)
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