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衡水万卷周测（十三）理科数学数列综合题考试时间：120分钟姓名：_班级：_考号：_题号一二三总分得分一 、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）数列的一个通项公式为（ ）A. B. C. D. 等比数列的前项和为，已知，则（ ） （A） （B） （C） （D）（2015北京高考真题）设是等差数列. 下列结论中正确的是（ ）A若，则 B若，则C若，则 D若，则如果自然数的各位数字之和等于8，我们称为“吉祥数”。将所有“吉祥数”从小到大排成一列，若，则（ ）A. 84 B。82 C。39 D。37在数列中,(),则值为( )A. B. C. D. 无法确定若等差数列满足，则的最大值为 （ ） A60 B50 C 45 D40已知实数等比数列公比为，其前项和为，若、成等差数列，则等于（ ） A B1 C或1 D设为等比数列的前项和，已知,则公比 （ ）A B C D已知an为等比数列，下面结论中正确的是()Aa1a32a2Baa2a C若a1a3，则a1a2D若a3a1，则a4a2数列是正项等比数列，是等差数列，且，则有 ( )A B C D与大小不确定设是等差数列，是其前n项和，且，则下列结论错误的是( ) A B C D和均为的最大值在数列中，若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素，（）则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（ ）(A)18 (B)28 (C)48 (D)63二 、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）已知等差数列an的首项为3，公差为4，则该数列的前n项和Sn= 设直线（k+1）x+（k+2）y-2=0与两坐标轴围成的三角形面积为，则 设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，则的值为 （2015上海模拟）数列an的通项公式an=，前n项和为Sn，则= 三 、解答题（本大题共6小题，第1题10分，后5题每题12分，共70分）设不等式组所表示的平面区域，记内整点的个数为（横纵坐标均为整数的点称为整点）。 （1）式，先在平面直角坐标系中做出平面区域，在求的值； （2）求数列的通项公式； （3）记数列的前n项和为，试证明：对任意，恒有 成立。设数列an的首项a1为常数，且an+1=3n2an（nN+）（1）证明：an是等比数列；（2）若a1=，an中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项，若不存在说明理由（3）若an是递增数列，求a1的取值范围已知数列满足, （1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求. (3)证明：. 在数列 中，已知 ，为常数. (1)证明: 成等差数列; (2)设 ，求数列 的前n项和 ；（3）当时，数列 中是否存在三项 成等比数列，且也成等比数列?若存在，求出的值；若不存在，说明理由.各项为正数的数列的前n项和为，且满足：（1）求；（2）设函数求数列（2015陕西高考真题）设是等比数列，的各项和，其中，（I）证明：函数在内有且仅有一个零点（记为），且；（II）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为，比较与的大小，并加以证明衡水万卷周测（十三）答案解析一 、选择题C C【答案】C【解析】试题分析：先分析四个答案支，A举一反例0而A错误，B举同样反例0，B错误，下面针对C进行研究，是等差数列，若00，设公差为d，则d0，数列各项均为正，由于，则，选C。考点：1.等差数列通项公式；2.作差比较法【答案】A【解析】由题意，一位数时只有8一个；二位数时，有17，26，35，44，53，62，71，80共8个三位数时：（0，0，8）有1个，（0，1，7）有4个，（0，2，6）有4个，（0，3，5）有4个，（0，4，4）有2个，（1，1，6）有3个，（1，2，5）有6个，（1，3，4）有6个，（2，2，4），有3个，（2，3，3）有3个，共1+43+2+33+62=36个，四位数小于等于2015：（0，0，1，7）有3个，（0，0，2，6）有2个，（0，1，1，6）有6个，（0，1，2，5）有7个，（0，1，3，4）有6个，（1，1，1，5）有3个，（1，1，2，4）有6个，（1，1，3，3）有3个，（1，2，2，3）有3个，共有34+63+2+7=39个数，小于等于2015的一共有1+8+36+39=84个，即a84=2015【思路点拨】利用“吉祥数”的定义，分类列举出“吉祥数”，推理可得到结论【解】由,()可知,当时,所以;当时,有,由-式得,即,且所以(),同除以得,且;所以,故令时,得,故选A.【答案】B解析：设等差数列的公差为，因为，所以而，可得，代入整理得由关于d的二次方程有实根可得化简可得，解得，故选择B.【思路点拨】设等差数列的公差为，易得由求和公式可得，代入整理可得关于的方程，由可得S的不等式，解不等式可得【答案】A解析：因为、成等差数列，所以，若公比，所以，当时，可得，整理可得：，故选择A.【思路点拨】根据等差数列的性质列的，当公比，等式不成立，当时，再根据等比数列的求和公式进行化简即可得到，BB【答案】B 解析：an=a1qn-1，bn=b1+（n-1）d，a6=b7 ，a1q5=b1+6d，a3+a9=a1q2+a1q8 ， b4+b10=2（b1+6d）=2b7=2a6，a3+aa6=a1q2+a1qa1q5=a1q8a1q5（a1q5a1q2）=a1q2（q）20，所以a3+a9b4+b10，故选B.【思路点拨】先根据等比数列、等差数列的通项公式表示出a6、b7，然后表示出a3+a9和b4+b10，然后二者作差比较即可.CA.二 、填空题分析：由题意代入等差数列的求和公式可得解答：由题意可得a1=3，公差d=4，Sn=na1+d=3n+2n（n1）=2n2+n故答案为：2n2+n点评：本题考查等差数列的求和公式，属基础题【答案】【解析】令y=0,得x= ,令x=0,得y=,所以所以2=2=【思路点拨】得求和。1 解析：因为，所以在x=1处的切线斜率为n+1，则切线方程为y1=(n+1)(x1)，令y=0得，所以.【思路点拨】遇到数列求和，可先由已知条件求出其通项公式，再结合通项公式特征确定求和思路.【分析】： 先利用裂项相消法求出Sn，再求极限即可【解析】： 解：Sn=1+=1+=，则=故答案为：【点评】： 本题考查数列极限的求法，属中档题，解决本题的关键是先用裂项相消法求和，再利用常见数列极限求解三 、解答题解：（1）D2如图中阴影部分所示，在48的矩形区域内有59个整点，对角线上有5个整点，a2=25（另解：a2=1+3+5+7+9=25）（2）直线y=nx与x=4交于点P（4，4n），据题意有an=10n+5（另解：an=1+（n+1）+（2n+1）+（3n+1）+（4n+1）=10n+5）（3）Sn=5n（n+2）（8分）=，+=（+）=（+）（13分）【思路点拨】（1）在48的矩形区域内有59个整点，对角线上有5个整点，可求a2的值；（2）直线y=nx与x=4交于点P（4，4n），即可求数列an的通项公式；（3）利用裂项法，放缩，求和即可证明结论分析： （1）根据等比数列的定义，结合条件，即可得证；（2）由（1）求出数列an的通项公式，再由等差数列的性质，得到方程，求出n，即可判断；（3）运用数列an的通项公式，作差，再由n为偶数和奇数，通过数列的单调性，即可得到范围解答： （1）证明：因为=2，所以数列an是等比数列；（2）解：an是公比为2，首项为a1=的等比数列通项公式为an=+（a1）（2）n1=+若an中存在连续三项成等差数列，则必有2an+1=an+an+2，即解得n=4，即a4，a5，a6成等差数列 （3）解：如果an+1an成立，即+（a1）（2）n1对任意自然数均成立化简得，当n为偶数时，因为是递减数列，所以p（n）max=p（2）=0，即a10； 当n为奇数时，因为是递增数列，所以q（n）min=q（1）=1，即a11；故a1的取值范围为（0，1）点评： 本题考查数列的通项公式及等比数列的证明，考查等差数列的性质和已知数列的单调性，求参数的范围，考查运算能力，属于中档题和易错题【解析】（1）由得,即，(2分) (4分)即，, 所以 (5分)（2） （6分） （7分）得 （8分） （10分）(3)证明：,k=2,3,4,n. （11分）. （12分） （13分） （14分） (1) 见解析；(2) 当，当（3）不存在三项成等比数列，且也成等比数列 解析：（1）因为，所以，同理， 2分又因为，3分所以，故，成等差数列4分（2） 由，得，5分令，则，所以是以0为首项，公差为的等差数列，所以，6分即，所以，所以 8分当， 9分当10分（3）由（2）知，用累加法可求得，当时也适合，所以12分假设存在三项成等比数列，且也成等比数列，则，即，14分因为成等比数列，所以，所以，化简得，联立 ，得这与题设矛盾故不存在三项成等比数列，且也成等比数列16分【思路点拨】（1）利用递推式可得，再利用等差数列的定义即可证明；（2）由，得，令，利用等差数列的通项公式可得，即可得出利用等比数列的前n项和公式即可得出（3）由（2）知，用累加法可求得，当n=1时也适合，假设存在三项成等比数列，且也成等比数列，利用等比数列的通项公式即可得出解：（1）由得，当n2时，；由化简得：，又数列各项为正数，当n2时，故数列成等差数列，公差为2，又，解得；5分（2）由分段函数 可以得到：7分当n3，时，（I）证明见解析；（II）当时， ，当时，证明见解析试题分析：（I）先利用零点定理可证在内至少存在一个零点，再利用函数的单调性可证在内有且仅有一个零点，进而利用是的零点可证；（II）先设，再对的取值范围进行讨论来判断与的大小，进而可得和的大小试题解析：（I）则所以在内至少存在一个零点.又，故在内单调递增，所以在内有且仅有一个零点.因为是的零点，所以，即，故.(II)解法一：由题设，设当时, 当时, 若,若,所以在上递增，在上递减，所以，即.综上所述，当时, ；当时解法二 由题设，当时, ，当时, 用数学归纳法可以证明.当时, 所以成立.假设时，不等式成立，即.那么，当时，.又令，则所以当,在上递减；当,在上递增.所以，从而故.即，不等式也成立.所以，对于一切的整数，都有.解法三:由已知，记等差数列为,等比数列为,则，所以,令当时, ,所以.当时, 而，所以，.若, ,当,从而在上递减,在上递增.所以，所以当又,，故综上所述，当时, ；当时考点：1、零点定理；2、利用导数研究函数的单调性.
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