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专题限时集训(十五)选考系列1选修44：坐标系与参数方程(2019全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos sin 110.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值解(1)因为11，且x21，所以C的直角坐标方程为x21(x1)l的直角坐标方程为2xy110.(2)由(1)可设C的参数方程为(为参数，)C上的点到l的距离为.当时，4cos11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为.选修45：不等式选讲(2020全国卷)设a，b，cR，abc0，abc1.(1)证明：abbcca0,0)与C1，C2交点为A，B，|AB|2，求.解(1)曲线C1：x2(y2)24，转换为极坐标方程为：4sin .伸缩变换 转换为： 代入曲线C1：x2(y2)24，得到极坐标方程为8sin .(2)把代入4sin ，即4sin ，转换为A(4sin ，)，同理B(8sin ，)，由于00，b0，可得22b0，即有0b0，即0a2，再由3a4b2ab3a2(2a)a(2a)4，化为a2a0，即0a1，由可得01，求曲线C2与曲线C3：ym|x|m的公共点的个数解(1)因为曲线C1的参数方程为 所以曲线C1的普通方程为x2y21, 将变换T： 即 代入x2y21，得y21, 所以曲线C2的普通方程为y21. (2)因为m1，所以C3上的点A在椭圆E：y21外，当x0时，曲线C3的方程化为ymxm，代入y21，得(4m21)x28m2x4(m21)0，(*)因为64m44(4m21)4(m21)16(3m21)0，所以方程(*)有两个不相等的实根x1，x2，又x1x20，x1x20，所以x10，x20，所以当x0时，曲线C2与曲线C3有且只有两个不同的公共点， 又因为曲线C2与曲线C3都关于y轴对称，所以当x0，b0，c0，所以22ab2bc2caa2b2b2c2c2a22a22b22c2，所以23，即abc，当且仅当a2b2c2时取等号，即abc的最小值为.2选修44：坐标系与参数方程在新中国成立70周年国庆阅兵典礼中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线如图，在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为1sin (00)，M为该曲线上的任意一点(1)当|OM|时，求M点的极坐标；(2)将射线OM绕原点O逆时针旋转与该曲线相交于点N，求|MN|的最大值解(1)设点M在极坐标系中的坐标，由1sin ，得1sin ，sin ，04的解集；(2)m(0,1)，x0R，f(x0)，求实数a的取值范围解(1)当a1时，f(x)f(x)4或或x2，或x4的解集为(，2)(2，)(2)因为f(x)，m(0,1)，5529.当且仅当m时等号成立，依题意，m(0,1)，x0R，有f(x0)，则9，解之得10a8，故实数a的取值范围是(10,8)3选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，已知P是曲线C1：x2(y2)24上的动点，将OP绕点O顺时针旋转90得到OQ，设点Q的轨迹为曲线C2.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；(2)在极坐标系中，点M，射线(0)与曲线C1，C2分别相交于异于极点O的A，B两点，求MAB的面积解(1)由题意，点Q的轨迹是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，则曲线C2：(x2)2y24，2x2y2，xcos ，ysin ，曲线C1的极坐标方程为4sin ，曲线C2的极坐标方程为4cos .(2)在极坐标系中，设A，B的极径分别为1，2，|AB|12|4|sincos|2(1)又M到射线(0)的距离h3sin，MAB的面积S|AB|h.选修45：不等式选讲已知函数f(x)|x1|x2|，记f(x)的最小值为m.(1)解不等式f(x)5；(2)若正实数a，b满足，求证：2m.解(1)当x1时，f(x)(x1)(x2)2x15，即x2，1x2；当2x1时，f(x)(1x)(x2)35，2x1；当x2时，f(x)(1x)(x2)2x15，即x3，3x2.综上所述，原不等式的解集为x|3x2(2)f(x)|x1|x2|(x1)(x2)|3，当且仅当2x1时，等号成立f(x)的最小值m3.5，即6，当且仅当即3a2b时，等号成立又，a，b时，等号成立2m.
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