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衡水万卷作业（十二）圆锥曲线的综合应用抛物线考试时间：45分钟姓名：_班级：_考号：_一 、解答题（本大题共5小题，共100分）如图已知抛物线的焦点坐标为，过的直线交抛物线于两点，直线分别与直线：相交于两点(1)求抛物线的方程；(2)证明ABO与MNO的面积之比为定值 已知抛物线的顶点是椭圆的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合（1）求抛物线的方程（2）已知动直线过点，交抛物线于两点，坐标原点O为中点，求证；（3）是否存在垂直于x轴的直线m被以为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，说明理由。抛物线C1：的焦点与椭圆C2：的一个焦点相同.设椭圆的右顶点为A，C1, C2在第一象限的交点为B，O为坐标原点，且的面积为.(1)求椭圆C2的标准方程；（2）过A点作直线交C1于C,D两点，连接OC,OD分别交C2于E,F两点，记，的面积分别为,.问是否存在上述直线使得，若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由.已知抛物线的焦点为是抛物线上的动点，且,过两点分别作抛物线的切线，设其焦点为。（1）证明线段被轴平分；（2）计算的值；（3）求证：。设抛物线的焦点是F.A,B是抛物线上互异的两点，直线AB与x轴不垂直，线段AB的垂直平分线交x轴于点D（a,o），记m=|AF|+|BF|。（I）证明a是p与m的等差中项；（）设m=3p，直线ly轴，且l被以AD为直径的动圆截得的弦长恒为定值，求直线l方程。衡水万卷作业（十二）答案解析一 、解答题解：（1）由焦点坐标为 可知所以,所以抛物线的方程为 （2）当直线垂直于轴时，与相似，所以, 当直线与轴不垂直时，设直线AB方程为,设，解 整理得， 所以, ,综上 解：（1）抛物线的焦点为，。所以抛物线的方程为 （2）设由于O为PQ中点，则Q点坐标为（-4,0）当垂直于x轴时，由抛物线的对称性知当不垂直于x轴时，设，由 所以 (3)设存在直线m：满足题意，则圆心，过M作直线x=a的垂线，垂足为E。设直线m与圆的一个交点为G，则.即当a=3时，此时直线m被以AP为直径的圆截得的弦长恒为定值。因此存在直线m：x=3满足题意。解：（1）焦点即又 代入抛物线方程得.又B点在椭圆上得，椭圆C2的标准方程为. （2）设直线的方程为，由得设，所以又因为直线的斜率为，故直线的方程为，由得，同理所以则， 所以，所以，故不存在直线使得 （1）证明：设，由，得 直线的方程为：直线的方程为： 综合以上两个方程解得 即.，由已知三点共线， 设直线的方程为，与抛物线方程联合消去，得 点的纵坐标为，线段中点的纵坐标为0，即线段被轴平分（2）解：， （3）证明： 而在直角中，解析：（I）据条件知，抛物线准线x=，F（0，）。设线段AB中点为C，过A作APj于p，过B作BQj于Q，过C作CRj于R。设AB，则C（pp）。易知CR=p+，于是m+p=|AF|+|BF|+p=|AP|+|BQ|+p=2CR+p=2+p=2p(+1)又=,所以=-（）。易知直线CD：y=-（）P(),从而知a=p+p.于是2a=2p(+1).综上所述知，a是p与m的等差中项。（）根据（I）的结论知，当m=3p时，D点坐标为（2p，0）。令A（2p,2P）.则以AD为直径的圆E，圆心坐标为E（p(+1),p）,半径r=p.设直线l:x=k。作EGl于G，则EG=|p(+)-k|.于是知直线l被圆E所截得的线段长度为：2=2由于此截得的线段长度恒为定值，所以2k-3p=ok=.于是直线l:x=.
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