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专题限时集训(十一)立体几何1(2019全国卷)如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA14，AB2，BAD60，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点(1)证明：MN平面C1DE；(2)求点C到平面C1DE的距离解(1)证明：连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以MEB1C，且MEB1C又因为N为A1D的中点，所以NDA1D由题设知A1B1綊DC，可得B1C綊A1D，故ME綊ND，因此四边形MNDE为平行四边形，所以MNED又MN平面C1DE，所以MN平面C1DE.(2)过点C作C1E的垂线，垂足为H.由已知可得DEBC，DEC1C，所以DE平面C1CE，故DECH.从而CH平面C1DE，故CH的长即为点C到平面C1DE的距离由已知可得CE1，C1C4，所以C1E，故CH.从而点C到平面C1DE的距离为.2(2020全国卷)如图，已知三棱柱ABCA1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.(1)证明：AA1MN，且平面A1AMN平面EB1C1F；(2)设O为A1B1C1的中心，若AOAB6，AO平面EB1C1F，且MPN，求四棱锥BEB1C1F的体积解(1)证明：因为M，N分别为BC，B1C1的中点，所以MNCC1.又由已知得AA1CC1，故AA1MN.因为A1B1C1是正三角形，所以B1C1A1N.又B1C1MN，故B1C1平面A1AMN.所以平面A1AMN平面EB1C1F.(2)AO平面EB1C1F，AO平面A1AMN，平面A1AMN平面EB1C1FPN，故AOPN.又APON，故四边形APNO是平行四边形，所以PNAO6，APONAM，PMAM2，EFBC2.因为BC平面EB1C1F，所以四棱锥BEB1C1F的顶点B到底面EB1C1F的距离等于点M到底面EB1C1F的距离如图，作MTPN，垂足为T，则由(1)知，MT平面EB1C1F，故MTPMsinMPN3.底面EB1C1F的面积为(B1C1EF)PN(62)624.所以四棱锥BEB1C1F的体积为24324.3(2019全国卷)图1是由矩形ADEB，RtABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB1，BEBF2，FBC60.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.图1图2(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC平面BCGE；(2)求图2中的四边形ACGD的面积解(1)证明：由已知得ADBE，CGBE，所以ADCG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面由已知得ABBE，ABBC，又BE，BC面BCGE，BEBCB，故AB平面BCGE.又因为AB平面ABC，所以平面ABC平面BCGE.(2)取CG的中点M，连接EM，DM.因为ABDE，AB平面BCGE，所以DE平面BCGE，故DECG.由已知，四边形BCGE是菱形，且EBC60，得EMCG，故CG平面DEM.因此DMCG.在RtDEM中，DE1，EM，故DM2.所以四边形ACGD的面积为4.4(2018全国卷)如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点(1)证明：平面AMD平面BMC；(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC平面PBD？说明理由解(1)证明：由题设知，平面CMD平面ABCD，交线为CD因为BCCD，BC平面ABCD，所以BC平面CMD，故BCDM.因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DMCM.又BCCMC，所以DM平面BMC而DM平面AMD，故平面AMD平面BMC(2)当P为AM的中点时，MC平面PBD证明如下：如图，连接AC，BD，AC交BD于O.因为ABCD为矩形，所以O为AC的中点连接OP，因为P为AM中点，所以MCOP.又MC平面PBD，OP平面PBD，所以MC平面PBD1(2020怀仁模拟)如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点， M，N分别是AB，PC的中点(1)求证： MN平面PAD；(2)若MNBC4，PA4，求异面直线PA与MN所成的角的大小解(1)取PD的中点H，连接AH，NH，N是PC的中点，NH綊DCM是AB的中点，且DC綊AB，NH綊AM，即四边形AMNH为平行四边形MNAH.又MN平面PAD，AH平面PAD，MN平面PAD(2)连接AC并取其中点O，连接OM，ON.则OM綊BC，ON綊PAONM就是异面直线PA与MN所成的角，由MNBC4，PA4，得OM2，ON2.MO2ON2MN2，ONM30，即异面直线PA与MN成30的角2(2020汕头一模)在四棱锥PABCD中，平面PAC平面ABCD，且有ABDC，ACCDDAAB(1)证明：BCPA；(2)若PAPCAC，Q在线段PB上，满足PQ2QB，求三棱锥PACQ的体积解(1)证明：不妨设AB2a，则ACCDDAa，由ACD是等边三角形，可得ACD，ABDC，CAB.由余弦定理可得BC2AC2AB22ACABcos3a2，即BCa，BC2AC2AB2.ACB90，即BCAC又平面PAC平面ABCD，平面PAC平面ABCDAC，BC平面ABCD，BC平面PAC，PA平面PAC，BCPA(2)依题意得，PAPC，VPACQVQPACVBPACSPACBC2.3(2020深圳二模)如图所示，四棱锥SABCD中，SA平面ABCD，ABCBAD90，ABADSA1，BC2，M为SB的中点(1)求证：AM平面SCD；(2)求点B到平面SCD的距离解(1)证明：取SC的中点N，连接MN和DN，M为SB的中点，MNBC，且MNBC，ABCBAD90，AD1，BC2，ADBC，且ADBC，AD綊MN，四边形AMND是平行四边形，AMDN，AM平面SCD，DN平面SCD，AM平面SCD(2)ABAS1，M为SB的中点，AMSB，SA平面ABCD，SABC，ABCBAD90， BCAB，BC平面SAB, BCAM，AM平面SBC由(1)可知AMDN，DN平面SBC，DN平面SCD，平面SCD平面SBC，作BESC交SC于E，则BE平面SCD，在直角三角形SBC中，SBBCSCBE，BE，即点B到平面SCD的距离为.4(2020长沙模拟)如图，已知三棱锥PABC的平面展开图中，四边形ABCD为边长等于的正方形，ABE和BCF均为正三角形，在三棱锥PABC中(1)证明：平面PAC平面ABC；(2)求三棱锥PABC的表面积和体积解(1)设AC的中点为O，连接BO，PO.由题意，得PAPBPC，PO1，AOBOCO1.因为在PAC中，PAPC，O为AC的中点，所以POAC因为在POB中，PO1，OB1，PB，PO2OB2PB2，所以POOB因为ACOBO，AC，OB平面ABC，所以PO平面ABC，因为PO平面PAC，所以平面PAC平面ABC(2)三棱锥PABC的表面积S222 2，由(1)知，PO平面ABC，所以三棱锥PABC的体积为VSABCPO 1.1.已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是直角梯形，ADDC，AB1，ADDC2，AA12，且AA1平面ABCD，F为A1B1的中点(1)在图中画出一个过BC1且与AF平行的平面(要求写出作法)；(2)求四棱柱ABCDA1B1C1D1的表面积解(1)在平面CDD1C1中，过D作DPAF，交C1D1于P，在平面CDD1C1中，过C1作C1EDP，交CD于E，连接BE，此时AFC1E，过BC1且与AF平行的平面为平面BEC1.(2)四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是直角梯形，ADDC，AB1，ADDC2，AA12，且AA1平面ABCD，四棱柱ABCDA1B1C1D1的表面积为：S2S梯形ABCDS矩形ABB1A1S矩形ADD1A1S矩形DCC1D1S矩形BCC1B1221222222162.2.如图，在三棱柱FABEDC中，侧面ABCD是菱形，G是边AD的中点平面ADEF平面ABCD，ADE90.(1)求证：ACBE；(2)在线段BE上求点M(说明M点的具体位置)，使得DE平面GMC，并证明你的结论解(1)证明：如图，连接BD，则由四边形ABCD是菱形可得ACBD，平面ABCD平面ADEF，平面ABCD平面ADEFAD，且DEAD, DE平面ABCD又AC平面ABCD, ACDE.BDDED, AC平面BDE，BE平面BDE, ACBE.(2)设BDCGO，在BDE中，过O作DE的平行线交BE于点M，M点即为所求的点OM在平面MGC内，DE不在平面MGC内，且OMDE, DE平面MGC四边形ABCD为菱形，且G是AD的中点，DOGBOC，且，又OMDE，于是，故点M为线段BE上靠近点E的三等分点3如图，在直角梯形ABCD中，ABDC，ABC90，AB2DC2BC，E为AB的中点，沿DE将ADE折起，使得点A到点P位置，且PEEB，M为PB的中点，N是BC上的动点(与点B，C不重合)(1)求证：平面EMN平面PBC；(2)设三棱锥BEMN和四棱锥PEBCD的体积分别为V1和V2，当N为BC中点时，求的值解(1)证明：PEEB，PEED，EBEDE，PE平面EBCD，又PE平面PEB，平面PEB平面EBCD，BC平面EBCD，BCEB，平面PBC平面PEBPEEB，PMMB，EMPB，BCPBB，EM平面PBC，又EM平面EMN，平面EMN平面PBC(2)N是BC的中点，点M，P到平面EBCD的距离之比为，.4.如图，三棱柱ABCA1B1C1中，平面AA1B1B平面ABC，D是AC的中点(1)求证：B1C平面A1BD；(2)若A1ABACB60，ABBB1，AC2，BC1，求三棱锥CAA1B的体积解(1)连接AB1交A1B于点O，则O为AB1的中点， D是AC的中点，ODB1C，又OD平面A1BD，B1C平面A1BD，B1C平面A1BD(2)AC2，BC1，ACB60，AB2AC2BC22ACBCcosACB3，得AB. AC2AB2BC2，得ABBC又平面AA1B1B平面ABC，平面AA1B1B平面ABCAB，BC平面AA1B1BA1AB60，ABBB1AA1，AA1.SA1ABABAA1sinA1AB.VCA1ABSA1ABBC1.
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