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衡水万卷周测（六）理科数学抛物线考试时间：120分钟姓名：_班级：_考号：_题号一二三总分得分一 、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）若抛物线y2=x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P的坐标为（）ABCD顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线与直线相切，则抛物线的方程是( )A. B.C.或 D.或 抛物线 上一点A的纵坐标为4,则点A到抛物线焦点的距离为( )A.2 B.3 C.4 D.5抛物线（）的焦点为，已知点、为抛物线上的两个动点，且满足.过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为 ( )A. B. 1 C. D. 2抛物线y2ax2(a0)的焦点是( ) A.(，0) B.(，0)或(，0) C.(0，) D.(0，)或(0，)抛物线的弦与过弦的断点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的断点的来两条切线的交点在其准线上，设抛物线，弦过焦点，且其阿基米德三角形，则的面积的最小值为（ ）A B C D已知抛物线，为其焦点，为其准线，过任作一条直线交抛物线于.两点，.分别为.在上的射影，为的中点，给出下列命题：；与的交点在轴上；与交于原点.其中真命题的个数为( )A.个 B.个 C.个 D.个已知F是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，则线段AB的中点到y轴的距离为( )A. B.1 C. D.直线的方向向量为且过抛物线的焦点，则直线与抛物线围成的封闭图形面积为A B C D过抛物线y2 =2px（p0）的焦点F且倾斜角为60o的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则（ ）A5 B4 C3 D2第12题在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，是抛物线上的点，若的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆面积为，则 （ ）A B C D如图，已知点，与圆 和抛物线都相切，切点分别为和， ，则实数的值为（ ）A4 B C3 D二 、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）已知抛物线的焦点为，的顶点都在抛物线上，且满足，则_.（2015陕西高考真题）如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 已知抛物线：的焦点与双曲线：的左焦点的连线交于第三象限的点。若在点处的切线平行于的一条渐近线，则 。如图，正方形的边长分别为，原点为的中点，抛物线经过 三 、解答题（本大题共4小题，前2题17分，后2题18分，共70分）已知抛物线，直线与抛物线交于两点（）若轴与以为直径的圆相切，求该圆的方程；（）若直线与轴负半轴相交，求面积的最大值已知抛物线上一点P（3，t）到其焦点的距离为4。（1）求p的值；（2）过点Q（1,0）作两条直线与抛物线分别交于点A、B和C、D，点M，N分别是线段AB和CD的中点，设直线的斜率分别为，求证：直线MN过定点。已知点F为抛物线C：y2=4x的焦点，点P是准线l上的动点，直线PF交抛物线C于A，B两点，若点P的纵坐标为m（m0），点D为准线l与x轴的交点（）求直线PF的方程；（）求DAB的面积S范围；（）设，求证+为定值已知抛物线x2=4y，过原点作斜率为1的直线交抛物线于第一象限内一点P1，又过点P1作斜率为的直线交抛物线于点P2，再过P2作斜率为的直线交抛物线于点P3，2x4，如此继续一般地，过点3x5作斜率为的直线交抛物线于点Pn+1，设点Pn（xn，yn）（1）求x3x1的值；（2）令bn=x2n+1x2n1，求证：数列bn是等比数列；（3）记P奇（x奇，y奇）为点列P1，P3，P2n1，的极限点，求点P奇的坐标衡水万卷周测（六）答案解析一 、选择题B C【解析】设抛物线方程为或 .则或 或. 即或. 或. 解得D【解析】点A到抛物线焦点的距离等于A到抛物线准线的距离，即4-(-1)=5【知识点】抛物线 重要不等式 【答案】A解析：如下图所示，设.则，所以故选A.【思路点拨】由抛物线性质可得，余弦定理得，再利用重要不等式即可得 .C【答案】B 解析：由于若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上，且PAB为直角三角型，且角P为直角 ，由于AB是通径时，AB最小，故选B【思路点拨】由于若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上，且PAB为直角三角型，且角P为直角又面积是直角边积的一半，斜边是两直角边的平方和，故可求D C【解析】根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段AB中点到y轴的距离为：.BC A二 、填空题【知识点】抛物线及其几何性质【答案】0【解析】设A、B、C三点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），则，ABC的重心是F，抛物线y2=2px的焦点F的坐标为F（，0），y1+y2+y3=0，+=0.【思路点拨】由，可得ABC的重心是F，从而y1+y2+y3=0，利用斜率公式，即可求得结论【答案】【解析】试题分析：建立空间直角坐标系，如图所示：原始的最大流量是，设抛物线的方程为（），因为该抛物线过点，所以，解得，所以，即，所以当前最大流量是，故原始的最大流量与当前最大流量的比值是，所以答案应填：考点：1、定积分；2、抛物线的方程；3、定积分的几何意义【解析】三 、解答题【知识点】抛物线 直线与抛物线的位置关系 导数的应用【答案】（）；（） 解析：（）联立，消并化简整理得 依题意应有，解得设，则，设圆心，则应有因为以为直径的圆与轴相切，得到圆半径为，又 所以 ，解得 所以，所以圆心为故所求圆的方程为（）因为直线与轴负半轴相交，所以，又与抛物线交于两点，由（）知，所以，直线：整理得，点到直线的距离 ， 所以 令，由上表可得的最大值为 所以当时，的面积取得最大值【思路点拨】遇到直线与圆锥曲线位置关系问题，一般设出方程，联立方程结合韦达定理建立系数的对应关系，再进行解答.（1）依题意得，所以曲线在点处的切线方程为 （2）等价于对任意，设，则因为，所以，所以，故在单调递增，因此当时，函数取得最小值；所以，即实数的取值范围是.（3）设，当时，所以函数在上单调递减，故函数在至多只有一个零点，又，而且函数在上是连续不断的，因此，函数在上有且只有一个零点.考点： 直线的一般式方程；抛物线的应用专题： 计算题分析： （）由题知点P，F的坐标分别为（1，m），（1，0），求出斜率用点斜式写出直线方程（）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），用弦长公式求出线段AB的长，再由点到直线的距离公式求点D到直线AB的距离，用三角形面积公式表示出面积关于参数m的表达式，再根据m的取值范围求出面积的范围（），变化为坐标表示式，从中求出参数，用两点A，B的坐标表示的表达式，即可证明出两者之和为定值解答： 解：（）由题知点P，F的坐标分别为（1，m），（1，0），于是直线PF的斜率为，所以直线PF的方程为，即为mx+2ym=0 （）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），由得m2x2（2m2+16）x+m2=0，所以，x1x2=1于是点D到直线mx+2ym=0的距离，所以因为mR且m0，于是S4，所以DAB的面积S范围是（4，+）（）由（）及，得（1x1，y1）=（x21，y2），（1x1，my1）=（x2+1，y2m），于是，（x21）所以所以+为定值0 点评： 考查求直线方程、抛物线在的焦点弦弦长公式、点到直线的距离公式及向量中数乘向量的意义，涉及知识较多，综合性较强考点： 数列与解析几何的综合专题： 计算题；等差数列与等比数列；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： （1）求出直线方程，联立抛物线方程，求出交点，即可得到；（2）设出两点点Pn（xn，）Pn+1（xn+1，），由直线的斜率公式，再由条件，运用等比数列的定义，即可得证；（3）运用累加法，求得x2n+1=+，再由数列极限的概念，即可得到点P奇的坐标解答： （1）解：直线OP1的方程为y=x，由解得P1（4，4），直线P2P1的方程为y4=（x4），即y=x+2，由得P2（2，1），直线P2P3的方程为y1=（x+2），即y=x+，由解得，P3（3，），所以x3x1=34=1 （2）证明：因为设点Pn（xn，）Pn+1（xn+1，），由抛物线的方程和斜率公式得到，所以xn+xn1=，两式相减得xn+1xn1=，用2n代换n得bn=x2n+1x2n1=，由（1）知，当n=1时，上式成立，所以bn是等比数列，通项公式为bn=；（3）解：由得，以上各式相加得x2n+1=+，所以x奇=，y奇=x奇2=，即点P奇的坐标为（，）点评： 本题考查联立直线方程和抛物线方程求交点，考查等比数列的定义和通项公式的求法，考查累加法求数列通项，及数列极限的运算，属于中档题
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