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课时作业5三角恒等变换与解三角形 A基础达标1已知cos，则cos 2的值为()A B.C D.2满足条件a4，b3，A45的三角形的个数是()A1 B2C无数个 D不存在3已知ABC中，内角A、B、C成等差数列，其对边为a、b、c，若a、b、c成等比数列，则ABC的形状为()A等腰三角形 B等边三角形C直角三角形 D钝角三角形4已知锐角，满足cos ，sin()，则sin 的值为()A. B.C. D.5.如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，发现A，B分别在D处的北偏西15，北偏东45方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测得B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60方向，则A，B两处岛屿间的距离为()A20海里 B40海里C20(1)海里 D40海里6在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b2，A，则ABC的面积为_7若3，tan()2，则tan(2)_.8ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcos Bacos Cccos A，则B_.92020沈阳市教学质量监测ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsin Asin B，sin 2Asin A.(1)求A及a；(2)若bc2，求b，c.102020全国卷ABC中，sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C.(1)求A；(2)若BC3，求ABC周长的最大值B素养提升1已知ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，若ab4，则c的取值范围为()A(0,4) B2,4)C1,4) D(2,42在ABC中，|3，则ABC面积的最大值为()A. B.C. D332020海南模拟顶角为36的等腰三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形看起来标准又美观如图，ABC是黄金三角形，ABAC，作ABC的平分线交AC于点D，易知BCD也是黄金三角形若BC1，则AB_；借助黄金三角形可计算sin 234_.42020合肥第一次教学检测在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin Asin Bcos Csin2C，则_，sin C的最大值为_52020江苏卷在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a3，c，B45.(1)求sin C的值；(2)在边BC上取一点D，使得cosADC，求tanDAC的值6.如图，我国海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A处，此时测得其东北方向与它相距16海里的B处有一外国船只，且D岛位于海监船正东14海里处(1)求此时该外国船只与D岛的距离；(2)观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方向航行为了将该船拦截在离D岛12海里处，不让其进入D岛12海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值(参考数据：sin 36520.6，sin 53080.8)课时作业5三角恒等变换与解三角形A基础达标1解析：因为cos，所以sin ，则cos 212sin2122.故选B.答案：B2解析：由正弦定理得sin B，45B60或120B135，均满足AB180，B有两解，满足条件的三角形的个数是2，故选B.答案：B3解析：内角A、B、C成等差数列，AC2B.又ABC.B.由余弦定理得b2a2c22accos Ba2c2ac.又b2ac，a2c2acac，即(ac)20，ac，又B，ABC为等边三角形；选B.答案：B4解析：是锐角，是锐角，cos ，sin()，sin ，cos()，sin sin().故选A.答案：A5解析：连接AB.(图略)由题意可知CD40海里，ADB60，ADC105，BDC45，BCD90，ACD30，CAD45.在ACD中，由正弦定理，得，AD20(海里)，在RtBCD中，BDC45，BCD90，BDCD4040(海里)在ABD中，由余弦定理，得AB20(海里)答案：A6解析：由正弦定理得sin B，ba，BA，cos B，sin Csin(AB)，ABC的面积为absin C.答案：7解析：3，tan 2.tan()2，tan(2)tan()tan().答案：8解析：因为2bcos Bacos Cccos A，所以由正弦定理得2sin Bcos Bsin Acos Csin Ccos Asin(AC)sin B，因为sin B0，所以cos B，B(0，)，所以B.答案：9解析：(1)bsin Asin B，及，abb，a.sin 2Asin A，2sin Acos Asin A，又sin A0，cos A，又A(0，)，A.(2)a2b2c22bccos A，b2c2bc7，将bc2，代入b2c2bc7，得c22c30，解得c1或c3(舍去)，bc23.10解析：(1)由正弦定理和已知条件得BC2AC2AB2ACAB.由余弦定理得BC2AC2AB22ACABcos A由得cos A.因为0A，所以A.(2)由正弦定理及(1)得2，从而AC2sin B，AB2sin(AB)3cos Bsin B.故BCACAB3sin B3cos B32sin.又0B，所以当B时，ABC周长取得最大值32.B素养提升1解析：在ABC中，由三角函数的定义知acos Bbcos Ac，结合正弦定理和已知，得，即a2b2c2ab，所以由余弦定理，得cos C，则C60.所以c2a2b2ab(ab)23ab(ab)2324，所以c2.又cab4，所以c的取值范围是2,4)，故选B.答案：B2解析：设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，|3，bccos Aa3.又cos A11，cos A，0sin A，ABC的面积Sbcsin Atan A，故ABC面积的最大值为.答案：B3解析：由题意，得AABDDBC36，CBDC72，所以ABCBCD，所以，且ADBDBC1.设ABACx，则CDx1，所以，解得x(负值已舍去)因为sin 234sin(18054)sin 54cos 36.在ABC中，根据余弦定理，得cos 36，所以sin 234.答案：4解析：由题意结合正弦定理知abcos Cc2，即cos C，又cos C，所以a2b2c22c2，得a2b23c2，即3.故cos C，当且仅当ab时取等号，又cos2Csin2C1，所以sin2C1cos2C，sin C.答案：35解析：(1)在ABC中，因为a3，c，B45，由余弦定理b2a2c22accos B，得b29223cos 455，所以b.在ABC中，由正弦定理，得，所以sin C.(2)在ADC中，因为cosADC，所以ADC为钝角，而ADCCCAD180，所以C为锐角故cos C，则tan C.因为cosADC，所以sinADC，tanADC.从而tanDACtan(180ADCC)tan(ADCC).6解析：(1)依题意，在ABD中，DAB45，由余弦定理得DB2AD2AB22ADABcos 45(14)216221416200，所以DB10，即此时刻外国船只与D岛的距离为10海里(2)过点B作BCAD于点C，在RtABC中，ACBC8，所以CDADAC6，以D为圆心，12为半径的圆交BC于点E，连接AE，DE，在RtDEC中，CE6，所以BE2，又AE10，所以sinEACEAC3652，外国船只到达点E的时间t(小时)，所以海监船的速度v20(海里/小时)，故海监船的航向为北偏东9036525308，速度的最小值为20海里/小时
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