工程测量 第5章 测量误差的基本知识

工程测量工程测量 第第5 5章章 测量误测量误差的基本知识差的基本知识【知知识点点】系系统统误误差差、偶偶然然误误差差及及其其特特性性、中中误误差差、极极限限误误差差、相相对对误误差差、误误差差传传播播定定律律、算算术术平平均均值值及及其其中中误误差差、加加权权平均值。平均值。【重点重点】偶然误差的传播规律。偶然误差的传播规律。【难难点点】误误差差传传播播律律的的应应用用，加加权权平平均均值值及其中误差。及其中误差。5-1测量误差概述测量误差概述5-2评定精度的指标评定精度的指标5-3误差传播定律误差传播定律5-4等精度直接观测值的最可靠值等精度直接观测值的最可靠值5-5权与加权平均值权与加权平均值第第5 5章章 测量误差的基本知识测量误差的基本知识 测量实践中可以发现，测量结果不可避免的存在误差，比如：1、对同一量多次观测，其观测值不相同。2、观测值之和不等于理论值：三角形 +180 闭合水准测量 h05-1测量误差概述测量误差概述1 1、测量误差：测量误差：观观测测值值：对对某某一一被被观观测测量量进进行行直直接接观观测测所所获获得得的的数数值。值。真值真值：任一观测量任一观测量,客观存在的能代表其大小的数值客观存在的能代表其大小的数值（1）误差）误差真值与观测值之差（严格：真误差）真值与观测值之差（严格：真误差）=L观观 L理理=LX（2）误误误误差差差差：一一般般把把某某一一量量的的准准确确值值与与近近似似值值之之差差也也称为称为。一、测量误差及其来源一、测量误差及其来源 2 2、观测条件、观测条件产生误差原因产生误差原因等精度观测：等精度观测：观测条件相同的各次观测。观测条件相同的各次观测。不等精度观测：不等精度观测：观测条件不相同的各次观测。观测条件不相同的各次观测。（1）测量仪器测量仪器（2）观测者观测者（3）外界条件的变化）外界条件的变化观测条件观测条件3 3 3 3、观测误差产生的原因、观测误差产生的原因、观测误差产生的原因、观测误差产生的原因测量上真误差如何得到测量上真误差如何得到:=(D往往-D返返)0=L观观 L理理=L-XB BAAC CA AB BC CD DA AB Bh h=(A+B+C)180 =(A+B+C+D)360 =(hAB+hBA)0观测误差:A AB BD DABABD DBABA二、二、测量误差的分类测量误差的分类测量误差的分类测量误差的分类（1 1）系统误差的特性：）系统误差的特性：）系统误差的特性：）系统误差的特性：误差的绝对值为一常量，或按一定的规律变化；误差的绝对值为一常量，或按一定的规律变化；误差的正负号保持不变，或按一定的规律变化；误差的正负号保持不变，或按一定的规律变化；误差的绝对值随着单一观测值的倍数而积累。误差的绝对值随着单一观测值的倍数而积累。测量误差按其性质可分为测量误差按其性质可分为系统误差系统误差、偶然误差偶然误差和和粗差粗差。1、系统误差、系统误差：在相同的观测条件下，对某一未知量进行一系列观测，若在相同的观测条件下，对某一未知量进行一系列观测，若误差的符号和大小按照一定的规律变化，或保持不变，这误差的符号和大小按照一定的规律变化，或保持不变，这种误差被称之为系统误差。种误差被称之为系统误差。（2 2）系统误差的示例）系统误差的示例）系统误差的示例）系统误差的示例：钢尺钢尺尺长、温度、倾斜改正尺长、温度、倾斜改正水水准准仪仪i角角误误差差，其其值值大大小小与与视视线线长长度度成成正正比比，且符号保持不变；且符号保持不变；经经纬纬仪仪c角角、i角角误误差差，其其值值大大小小随随视视线线竖竖直直角角的大小而变化，且符号不变；的大小而变化，且符号不变；注意：注意：注意：注意：系统误差具有累积性，对测量成果影响较大。系统误差具有累积性，对测量成果影响较大。（3 3）系统误差的系统误差的系统误差的系统误差的消除和削弱的方法消除和削弱的方法消除和削弱的方法消除和削弱的方法:1）校正仪器；）校正仪器；2）观测值加改正数；）观测值加改正数；3）采用一定的观测方法加以抵消或削弱。）采用一定的观测方法加以抵消或削弱。在在相相同同的的观观测测条条件件下下，对对某某一一未未知知量量进进行行一一系系列列观观测测，如如果果观观测测误误差差的的大大小小和和符符号号没没有有明明显显的的规规律律性，则称其为偶然误差。性，则称其为偶然误差。（1）特性：）特性：n就就单单个个偶偶然然误误差差来来看看，其其符符号号和和大大小小没没有有一一定定的的规律，规律，n但但对对大大量量的的偶偶然然误误差差而而言言，它它们们遵遵循循正正态态分分布布的的统统计规律。计规律。n偶偶然然误误差差是是不不可可避避免免的的，是是由由于于人人力力所所不不能能控控制制的的因素或无法估计的因素共同引起的测量误差。因素或无法估计的因素共同引起的测量误差。人人力力所所不不能能控控制制的的因因素素：人人眼眼的的分分辨辨力力、仪仪器器的的极极限精度和气象因素等。限精度和气象因素等。22、偶然误差、偶然误差、偶然误差、偶然误差（2）偶然误差的示例：）偶然误差的示例：1)1)距离测量距离测量距离测量距离测量N No o9.4 9.7 9.5 9.6 9.3 9.2 9.6 0.1 -0.2 0 -0.1 0.2 0.3 -0.1 1 2 3 4 5 6 7 N NL L=L=L观观 L L理理 =L-X=L-XD9.5cm=X1.71.61.5 1589中丝读数：1590 1591（2 2）偶然误差的示例：）偶然误差的示例：）偶然误差的示例：）偶然误差的示例：1)读数误差读数误差(水准测量水准测量)总结总结总结总结:偶然误差不能通过采用一定措施加以消除，偶然误差不能通过采用一定措施加以消除，只能通过提高观测精度和合理地处理观测数据减少只能通过提高观测精度和合理地处理观测数据减少其对测量成果的影响。其对测量成果的影响。3）照准误差照准误差4）整平误差整平误差（2）偶然误差的示例：）偶然误差的示例：3、粗差（错误）、粗差（错误）观测成果中存在的粗大误差称之为粗差（错误）。观测成果中存在的粗大误差称之为粗差（错误）。（1）产生的原因：）产生的原因：较多较多n可能由于作业人员疏忽大意、失职而引起，如大数读可能由于作业人员疏忽大意、失职而引起，如大数读错、读数被记录员记错、照错了目标等；错、读数被记录员记错、照错了目标等；n也可能是仪器自身或受外界干扰发生故障引起；也可能是仪器自身或受外界干扰发生故障引起；（2）粗差对观测成果的影响极大，）粗差对观测成果的影响极大，所以在测量成果中绝对不所以在测量成果中绝对不允许有其存在。允许有其存在。（3）发现粗差的方法：）发现粗差的方法：进行必要的重复观测，通过多余观测进行必要的重复观测，通过多余观测条件，进行检核验算；严格按照国家有关部门制定的各种条件，进行检核验算；严格按照国家有关部门制定的各种测量规范进行作业等。测量规范进行作业等。3.1 3.1 观测误差的分类观测误差的分类观测误差的分类观测误差的分类总结：总结：在测量工作中，一般需要进行多余观测，发现粗差，在测量工作中，一般需要进行多余观测，发现粗差，将其剔除或重测。将其剔除或重测。三、偶然误差的特性三、偶然误差的特性在测量的成果中：在测量的成果中：在测量的成果中：在测量的成果中：系统误差的影响可以消除或减弱，系统误差的影响可以消除或减弱，粗差可以发现并剔除，粗差可以发现并剔除，偶然误差则无法消除，合理处理偶然误差需要偶然误差则无法消除，合理处理偶然误差需要研究它们的规律特性。研究它们的规律特性。真误差真误差观测值与理论值之差观测值与理论值之差在相同的观测条件下在相同的观测条件下,观测了观测了96个三角形的全部角个三角形的全部角由由于于存存在在偶偶然然误误差差，各各三三角角形形的的内内角角之之和和L L不不一一定定等于真值等于真值X（180），），其差即为其差即为真误差真误差：1、表示偶然误差分布的统计表、表示偶然误差分布的统计表 误误差区差区差区差区间间d d负负误误差差差差正正正正误误差差差差合合合合计计个个数数k频率率k/n个个数数k频率率k/n个个数数k频率率k/n0.00.50.51.01.01.51.52.02.02.52.53.03.0以上以上1913852100.19790.13540.08330.05210.02080.01040.00002012942100.20830.12500.09380.04170.02080.01040.000039251794200.40620.26040.17710.09380.04160.02080.0000合合计480.500480.500961.000l将所有三角形内角和的误差范围分成若干小的区间将所有三角形内角和的误差范围分成若干小的区间d（如（如表中的表中的0.5）；）；l统计出每一个小区间正负误差出现的误差个数统计出每一个小区间正负误差出现的误差个数k及频率及频率，频率频率=个数个数k/总数总数n（n=96），得出统计表得出统计表5-1。表表表表5-15-1三角形内角和真误差统计表三角形内角和真误差统计表三角形内角和真误差统计表三角形内角和真误差统计表2 2、表示偶然误差分布的直方图、表示偶然误差分布的直方图、表示偶然误差分布的直方图、表示偶然误差分布的直方图有斜线的矩形面积有斜线的矩形面积：为误差出现在为误差出现在+0.5+0.5 +1.0+1.0 之间的频率之间的频率.l横坐标横坐标以以偶然误差偶然误差为横坐标，为横坐标，l纵坐标纵坐标以以频率频率 d(频率频率/组距组距)为纵坐标，为纵坐标，各矩形的面积各矩形的面积=误差出现在该区间的频率误差出现在该区间的频率(k n)图图5-1误误差差 分分 布布的的 频频 率率直方图直方图3 3 3 3、偶然误差偶然误差概率分布曲线概率分布曲线概率分布曲线概率分布曲线-正态分布曲线正态分布曲线正态分布曲线正态分布曲线当直方图中：当直方图中：n，d各区间的频率也就趋于一各区间的频率也就趋于一个完全个完全确定的数值确定的数值概率概率.若若d 0时，则直方图成为误差概率曲线时，则直方图成为误差概率曲线正态分布曲线。正态分布曲线。它服从于正态分布。它服从于正态分布。1)1)正态分布曲线的方程式为：正态分布曲线的方程式为：正态分布曲线的方程式为：正态分布曲线的方程式为：式中：式中：为偶然误差为偶然误差；（0）称为标准差，）称为标准差，是与观测条是与观测条件有关的一个参数。它的大小可以件有关的一个参数。它的大小可以反映观测精度的高低。反映观测精度的高低。标准差标准差定义为：定义为：2)2)误误差概率曲差概率曲差概率曲差概率曲线线叫作偶然叫作偶然叫作偶然叫作偶然误误差的理差的理差的理差的理论论分布分布分布分布在一定的在一定的观测条件下，条件下，测量量误差差对应着一定着一定误差的分布差的分布,当当观测条件不同条件不同时，其，其误差分布曲差分布曲线的形的形态将随之改将随之改变。在在图5-3中，曲中，曲线I、II分分别表示两表示两组在不同在不同观测条件下得到的条件下得到的两两组误差分布曲差分布曲线，均属于正，均属于正态分布。曲分布。曲线I较陡峭，其拐点陡峭，其拐点的横坐的横坐标值 1小于曲线小于曲线II拐点的拐点的横坐标值横坐标值 2，说明对应于曲线，说明对应于曲线I的误差分布比较密集，或称离的误差分布比较密集，或称离散度较小，观测值精度较高。散度较小，观测值精度较高。曲线曲线II较为平缓，误差分布离较为平缓，误差分布离散度较大，观测值精度较低。散度较大，观测值精度较低。图图5-3不同精度的误差分布曲线不同精度的误差分布曲线（1）有限性：）有限性：在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值；超过一定的限值；（2）集中性：）集中性：即绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现即绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大；的概率大；（3）对称性：）对称性：绝对值相等的正、负误差出现的概率相同；绝对值相等的正、负误差出现的概率相同；（4）抵偿性：）抵偿性：当观测次数无限增多时，偶然误差的算术平均当观测次数无限增多时，偶然误差的算术平均值趋近于零，即值趋近于零，即 （5-45-4）4、偶然误差的特性：、偶然误差的特性：式中，式中，。在数理在数理统计中，中，也称偶然也称偶然误差的差的数学期望数学期望为零，即零，即E()=0E()=0。误差处理的原则：误差处理的原则：1、粗差：、粗差：是进行必要的多余观测，通过精度检核并是进行必要的多余观测，通过精度检核并加以剔除。加以剔除。2、系系统统误误差差：一一是是在在观观测测方方法法或或程程序序上上采采用用一一定定措措施施来来消消除除或或减减弱弱系系统统误误差差的的影影响响，二二是是对对测测量量结结果果加以改正。加以改正。3、偶然误差：、偶然误差：通过提高观测精度和合理地处理观测通过提高观测精度和合理地处理观测数据减少其对测量成果的影响。数据减少其对测量成果的影响。目录目录5.2评定精度的指标评定精度的指标研究测量误差理论的主要任务之一是研究测量误差理论的主要任务之一是:评定测量成评定测量成果的精度。果的精度。1 1、精度、精度、精度、精度:当消除了系统误差和剔除了粗差之后，精度就是指当消除了系统误差和剔除了粗差之后，精度就是指一组观测值误差分布的密集与离散程度。一组观测值误差分布的密集与离散程度。误差分布密集，测量精度高；误差分布离散，测量误差分布密集，测量精度高；误差分布离散，测量精度低。精度低。2 2、评定测量成果精度的常用指标：、评定测量成果精度的常用指标：、评定测量成果精度的常用指标：、评定测量成果精度的常用指标：方差和中误差方差和中误差极限误差极限误差相对误差。相对误差。一、方差和中误差一、方差和中误差一、方差和中误差一、方差和中误差定定定定义义义义:在在相相同同观观测测条条件件下下，对对某某量量（真真值值为为X）进进行行n次次独独立立观观测测，观观测测值值为为：L1、L2、Ln；其其相相应应的的真真误误差差为为1，2，n；则定义该组观测值的；则定义该组观测值的式中：式中：1 1、方差、方差、方差、方差:2 2 2 2、标准差、标准差、标准差、标准差(中误差中误差中误差中误差):3 3、中误差的估值、中误差的估值、中误差的估值、中误差的估值m m：(标准差的估值标准差的估值标准差的估值标准差的估值)按按有有限限次次观观测测的的偶偶然然误误差差求求得得的的标标准准差差，即即标标准准差差的估值的估值.其计算公式为：其计算公式为：由上述计算结果中可以看出，由上述计算结果中可以看出，1组的中误差较小，所以观测组的中误差较小，所以观测精度高于精度高于2组。组。在测量工作中，普遍采用中误差来评定测量成果的精度。在测量工作中，普遍采用中误差来评定测量成果的精度。【例例题题5-1】1、2两两组分分别用用相相同同的的观测条条件件观测了了某某角角度各六次，与真度各六次，与真值比比较得真得真误差分差分别为：1组：+2、+1、2、3、2、3；2组：+5、4、+1、4、3、+6。试分析两分析两组观测值的精度。的精度。解：解：用中用中误差公式（差公式（5-7）计算得算得中中中中误误误误差差差差mm的的的的几几几几何何何何意意意意义义义义：为为为为偶偶偶偶然然然然误误误误差差差差分分分分布布布布曲曲曲曲线线线线两两两两个个个个拐拐拐拐点点点点的的的的横横横横坐标，其值小，则观测精度高，其值大，则观测精度较低。坐标，其值小，则观测精度高，其值大，则观测精度较低。坐标，其值小，则观测精度高，其值大，则观测精度较低。坐标，其值小，则观测精度高，其值大，则观测精度较低。注意：注意：注意：注意：l l一组等精度观测值一组等精度观测值一组等精度观测值一组等精度观测值具有相同的中误差具有相同的中误差具有相同的中误差具有相同的中误差 l l在计算中误差在计算中误差在计算中误差在计算中误差 m m 时时时时应取应取应取应取2 23 3位有效数位有效数位有效数位有效数字，并在数值前冠字，并在数值前冠字，并在数值前冠字，并在数值前冠以以以以号，数值后号，数值后号，数值后号，数值后写上写上写上写上“单位单位单位单位”。1、定义：、定义：由偶然误差的特性可知，在一定的观测由偶然误差的特性可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是极限误差。这个限值就是极限误差。二、极限误差二、极限误差在大量同精度观测的一组误差中，在大量同精度观测的一组误差中，差落在不同差落在不同区间的概率分别为：区间的概率分别为：P（-的的偶偶然然误误差，其出现的概率为差，其出现的概率为31.7%；P（-2 2 的的偶偶然误差，其出现的概率为然误差，其出现的概率为4.5%；P（-3 3 的的偶偶然然误差，出现的概率仅为误差，出现的概率仅为3。2、通常以三倍的中误差作为偶然误差的、通常以三倍的中误差作为偶然误差的极限误差：极限误差：（大于三倍中误差的偶然误差大于三倍中误差的偶然误差出现的机会只有出现的机会只有3，是小，是小概率事件，在有限的观测次数中，实际上不大可能出现概率事件，在有限的观测次数中，实际上不大可能出现）3、通常取、通常取2m作为偶然误差的容许值，称作为偶然误差的容许值，称容许误差：容许误差：(大于二倍中误差的偶然误差大于二倍中误差的偶然误差出现的机会只有出现的机会只有4.5%)如如果果某某观观测测值值的的偶偶然然误误差差大大于于了了规规定定的的容容许许误误差差，则则认认为为该观测值不可靠，应舍去不用或重测。该观测值不可靠，应舍去不用或重测。1 1、定定定定义义义义：相相对对误误差差K等等于于绝绝对对误误差差的的绝绝对对值值与与相相应应观观测测值值D之比，它是一个无量纲的量，通常用分子为之比，它是一个无量纲的量，通常用分子为1的分数表示的分数表示:三、三、三、三、相对误差相对误差相对误差相对误差一般情况一般情况一般情况一般情况:角度、高差的误差用角度、高差的误差用绝对误差绝对误差(m)表示，表示，量距误差用量距误差用相对误差相对误差K表示。表示。绝对误差绝对误差:中误差、真误差和极限误差均是绝对误差，它中误差、真误差和极限误差均是绝对误差，它们都有符号，并且单位与观测值相同。们都有符号，并且单位与观测值相同。当当DAB=100.000.02m,DCD=200.000.02m,两边长的测量精两边长的测量精度相同的吗？度相同的吗？此时用中误差衡量两者的精度很不适合。此时用中误差衡量两者的精度很不适合。2 2、相对中误差、相对中误差、相对中误差、相对中误差与绝对误差一样，相对误差对应地分为相对真误差、相对与绝对误差一样，相对误差对应地分为相对真误差、相对中误差和相对极限误差。当上式中绝对误差为中误差中误差和相对极限误差。当上式中绝对误差为中误差m时，时，K称为相对中误差，即称为相对中误差，即 例例例例 已知：已知：D D1 1=100m,m=100m,m1 1=0.02m=0.02m，D D2 2=200m=200m，mm2 2=0.02m=0.02m，求：，求：K K1 1,K,K2 2解：解：当当绝绝对对误误差差为为极极限限误误差差时时，K 称称为为相相对对极极限限误误差差。测测量量中中取取相对极限误差为相对中误差的两倍，即相对极限误差为相对中误差的两倍，即3 3、相对极限误差、相对极限误差目录目录4 4、相对较差、相对较差在在距距离离测测量量中中往往返返测测量量的的相相对对较较差差要要小小于于相相对对容容许许误误差差，相相对较差是往、返测差值与均值之比，相对较差对较差是往、返测差值与均值之比，相对较差=相对误差相对误差用用来来反反映映距距离离测测量量精精度度的的相相对对误误差差，其其值值越越小小，观观测测结结果果越可靠。若相对误差大于相对极限误差，则距离必须重测。越可靠。若相对误差大于相对极限误差，则距离必须重测。目录目录 概念概念概念概念 误误差差传传播播定定律律：阐阐述述观观测测值值的的中中误误差差与与其其函函数数中中误差之间传播规律的定律。误差之间传播规律的定律。函数形式倍数函数和差函数线性函数一般函数5.3误差传播定律误差传播定律观测值的函数观测值的函数-又称为间接观测量又称为间接观测量一、误差传播定律一、误差传播定律一、误差传播定律一、误差传播定律设设Z是独立变量是独立变量x1，x2，xn的函数，即的函数，即其中：其中：x1，x2，xn为直接观测量为直接观测量的真值的真值，其相应的观测值为其相应的观测值为Li（i=1，2，n），），它们相应的观测值的中误差分别为它们相应的观测值的中误差分别为m1，m 2，mn，则则式中式中为函数为函数Z分别对各变量分别对各变量xi 的偏导数，将观测值的偏导数，将观测值（xi=Li）代入偏导数后得到的偏导数值，故均为常数。）代入偏导数后得到的偏导数值，故均为常数。详细推倒见教材详细推倒见教材1 1、观测值函数观测值函数观测值函数观测值函数Z Z的中误差的中误差的中误差的中误差 误差传播定律的一般形式误差传播定律的一般形式1)列出函数式：列出函数式：2)对函数式进行全微分得到真误差关系式：对函数式进行全微分得到真误差关系式：2 2、由直接观测值的中误差求函数中误差的步骤：、由直接观测值的中误差求函数中误差的步骤：、由直接观测值的中误差求函数中误差的步骤：、由直接观测值的中误差求函数中误差的步骤：3)运用误差传播律，求函数的中误差：运用误差传播律，求函数的中误差：式中：式中：是是为各独立变量为各独立变量xi分别对函数分别对函数Z的偏导数。的偏导数。它们它们均为常数，因此上式是线性函数均为常数，因此上式是线性函数.【例题例题例题例题5-25-25-25-2】假假设测得得一一圆形形的的半半径径为2.0m，其其测量量中中误差差m=0.002m,求其面求其面积及其中及其中误差。差。【解解】S=2 R2=25.133m2对其全微分有其全微分有dS=4 RdR=25.133dR运用运用误差差传播律，播律，圆形面形面积的中的中误差差mS=0.050m最后得最后得S=25.133m 0.050m二、误差传播律的应用二、误差传播律的应用二、误差传播律的应用二、误差传播律的应用【例题例题5-3】用光电测距仪测得斜距为用光电测距仪测得斜距为L=300.485m，其中误，其中误差差mL=0.003m，并测得竖直角，并测得竖直角=83436，测角中误差，测角中误差m=3，求水平距离，求水平距离D、中误差、中误差mD和相对中误差。和相对中误差。【解解】1、列出函数式、列出函数式水平距离水平距离2、对函数式进行全微分得真误差关系式、对函数式进行全微分得真误差关系式二、误差传播律的应用二、误差传播律的应用二、误差传播律的应用二、误差传播律的应用对函数式进行全微分得真误差关系式对函数式进行全微分得真误差关系式函数对函数对L和和 的偏导数分别为的偏导数分别为【例题例题例题例题5-35-35-35-3】二、误差传播律的二、误差传播律的二、误差传播律的二、误差传播律的应用应用应用应用由于由于是以秒为单位，要化为弧度，除以是以秒为单位，要化为弧度，除以则真误差关系式为则真误差关系式为 运用误差传播律，得函数的中误差运用误差传播律，得函数的中误差【解解】二、误差传播律的应用二、误差传播律的应用二、误差传播律的应用二、误差传播律的应用 故水平距离为故水平距离为:D=297.125m0.003m；相对中误差相对中误差:函数的中误差函数的中误差:水平距离水平距离【例题例题5-35-3】【例题例题5-45-4】在水准在水准测量中，若已知水准尺量中，若已知水准尺读数的中数的中误差差为，假定，假定视距平均距平均长度度为50m，若以，若以3倍或倍或2倍中倍中误差作差作为容容许误差，差，试求水准路求水准路线长度度为Lkm的往返的往返测高差高差较差的容差的容许值。【解解】每每测站的站的观测高差高差为则每每测站站观测高差的中高差的中误差差为当当视视距距平平均均长长度度为为50m时时，每每公公里里需需要要观观测测10个个测测站站，L公公里里共观测共观测10L个测站，个测站，L公里往测高差为公里往测高差为L公里往公里往测高差或返高差或返测高差的中高差的中误差均差均为二、误差传播律的应用二、误差传播律的应用二、误差传播律的应用二、误差传播律的应用往返测高差的较差为往返测高差的较差为高差较差的中误差为高差较差的中误差为若若以以3倍倍中中误误差差作作为为高高差差较较差差的的容容许许误误差差，则则往往返返测测高高差差较较差的容许值为差的容许值为若以若以2倍中倍中误差作差作为高差高差较差的容差的容许误差，差，则往返往返测高差高差较差差的容的容许值为再考再考虑其它其它误差因素的影响差因素的影响(mm)为往返往返测较差的容差的容许值。铁路行路行业则以以工程工程测量量规范范中中图根水准根水准测量量取取作作为往返往返测较差的容差的容许值；二、误差传播律的应用二、误差传播律的应用二、误差传播律的应用二、误差传播律的应用【例题例题5-55-5】对某段距离等精度地某段距离等精度地测量了量了n次，次，观测值分分别为:，每次，每次观测值的中的中误差均差均为m，试求算求算术平均平均值x的中的中误差。差。【解解】算算术平均平均值为对对函数式函数式函数式函数式进进行全微分行全微分行全微分行全微分根据根据误差差传播律有播律有n次等精度直接次等精度直接观测值的算的算术平均平均值的中的中误差差为观测值中中误差的差的1/n.。二、误差传播律的应用二、误差传播律的应用二、误差传播律的应用二、误差传播律的应用【例题例题5-65-6】用用DJDJ2 2经纬仪测水平角，假设其一测回角度测量中误差经纬仪测水平角，假设其一测回角度测量中误差=2.832.83，当测角中误差要求，当测角中误差要求=1.81.8 时，至少应测多少测时，至少应测多少测回才能满足精度要求？回才能满足精度要求？【解解】根据题意，可知根据题意，可知考虑考虑【例题例题5-55-5】结论，则有结论，则有解得测回数解得测回数 n=3n=3，即至少应测，即至少应测3 3测回才能满足测角的精度要求测回才能满足测角的精度要求。二、误差传播律的应用二、误差传播律的应用二、误差传播律的应用二、误差传播律的应用例例已知测量斜边已知测量斜边D D=50.000.05m=50.000.05m，测得倾角：，测得倾角：求：水平距离求：水平距离D D解：解：1.1.函数式函数式 2.2.全微分全微分 3.3.求中误差求中误差=1530 误差传播定率的几个主要公式：函数名称函数式函数的中误差倍数函数和差函数线性函数算术平均值一般函数目录目录基于像提取基于对象提取关于误差传播定律，要求大家一定掌握关于误差传播定律，要求大家一定掌握“一般形式的函数中误差一般形式的函数中误差计算式计算式”，因为它是，因为它是“通式通式”。需要指出的是，当函数与观测值的量纲不一致时，应注意量纲的需要指出的是，当函数与观测值的量纲不一致时，应注意量纲的统一。例如统一。例如函数函数h=Ssin，h与与的量纲不同，按误差的量纲不同，按误差传播定律求传播定律求h的中误差时，需进行单位换算：的中误差时，需进行单位换算：关键是角度中误差平方这一项须关键是角度中误差平方这一项须除以除以2 2。206265206265（一弧度（一弧度=206265=206265秒）秒）设在相同的观测条件下对未知量观测了n次，观测值为：L1、L2Ln，中误差为m1、m2 mn，则其算术平均值（最或然值、似真值）为：一、等精度直接观测值的最可靠值一、等精度直接观测值的最可靠值一、等精度直接观测值的最可靠值一、等精度直接观测值的最可靠值 5.4等精度直接观测值的最可靠值等精度直接观测值的最可靠值为了提高精度和发现错误，测量中往往对某一未知量等精度观测n次，将其算术平均值作为最接近真值的最可靠值，有时又称其为最或然（是）值。设设未未知知量量的的真真值值为为x，可可写写出出观观测测值值的的真真误误差差公公式为式为（i=1，2，n）将上式相加得将上式相加得或或故故推导过程：推导过程：由偶然误差第四特性知道，当观测次数无限增多时，由偶然误差第四特性知道，当观测次数无限增多时，即即（算术平均值（算术平均值=真值）真值）结结结结论论论论：1 1、当当观观测测次次数数n 趋趋近近于于无无穷穷大大时时，算算术术平平均均值就趋向于未知量的真值。值就趋向于未知量的真值。2、当当n为为有有限限值值时时，算算术术平平均均值值是是最最接接近近真真值值的的值值，称称其其为为最最可可靠靠值值或或最最或或然然值值，作作为为观观测测的的最最后结果。后结果。二二二二、用用用用观观观观测测测测值值值值的的的的改改改改正正正正数数数数求求求求观观观观测测测测值值值值的的的的中中中中误误误误差差差差和和和和算算算算术术术术平平平平均均均均值的中误差值的中误差值的中误差值的中误差1 1、用观测值的改正数求观测值的中误差用观测值的改正数求观测值的中误差用观测值的改正数求观测值的中误差用观测值的改正数求观测值的中误差用用改改正正数数计计算算等等精精度度观观测测值值中中误误差差的的公公式式，称称为为白塞尔公式。白塞尔公式。公式推导见教材公式推导见教材结论：结论：结论：结论：算术平均值的中误差为观测值的中误差的算术平均值的中误差为观测值的中误差的算术平均值的中误差为观测值的中误差的算术平均值的中误差为观测值的中误差的 倍。倍。倍。倍。2 2 2 2、用改正数计算算术平均中误差的公式为、用改正数计算算术平均中误差的公式为、用改正数计算算术平均中误差的公式为、用改正数计算算术平均中误差的公式为公式推导见教材公式推导见教材【例例题题5-7】对对某某角角等等精精度度地地观观测测6次次,其其观观测测值值见见表表5-2.试试求求观观测值的最可靠值、观测值的中误差以及算术平均值的中误差测值的最可靠值、观测值的中误差以及算术平均值的中误差.【解解】等精度直接观测值的算术平均值、改正数及其平方项见等精度直接观测值的算术平均值、改正数及其平方项见表表5-2。观测序数观测序数观测值观测值改正数改正数v v（）vvvv（2 2）1234566528326528336528316528296528306528311.02.00.02.01.00.01.04.00.04.01.00.0 x=L/n=652831.0v=0vv=10.0【例例题题5-7】对对某某角角等等精精度度地地观观测测6次次,其其观观测测值值见见表表5-2.试试求求观观测值的最可靠值、观测值的中误差以及算术平均值的中误差测值的最可靠值、观测值的中误差以及算术平均值的中误差.算术平均值算术平均值L中误差是：中误差是：【解解】由表由表5-2计算得计算得:观测值的中误差观测值的中误差最后结果为观测值的最可靠值最后结果为观测值的最可靠值算术平均值：算术平均值：x=65 28 31.00.6 目录目录