14《全称量词与存在量词（一）量词》

1.4.1全称量词与存在量词（一）量词表示人、事物或动作的单位表示人、事物或动作的单位的词称为量词的词称为量词 下列命题中含有哪些量词？（1）对所有的实数x，都有x20；（2）存在一个实数x，满足x20；（3）至少有一个实数x，使得x220成立；（4）存在有理数x，使得x220成立；（5）对于任何自然数n，有一个自然数s 使得 s=n n；（6）有一个自然数s 使得对于所有自然数n，有 s=n n；全称量词、全称量词、存在量词全称量词全称量词 “所有”、“任何”、“一切”等。其表达的逻辑为：“对宇宙间的所有事物E来说，E都是F。”存在量词存在量词 “有”、“有的”、“有些”等。其表达的逻辑为：“宇宙间至少有一个事物E，E是F。”含有量词的命题通常包括单称命题、特称命题和全称命题三种:单称命题单称命题：其公式为“（这个）S是P”。单称命题表示个体，一般不需要量词标志，有时会用“这个”“某个”等。在三段论中是作为全称命题来处理的。全称命题全称命题：其公式为“所有S是P”。全称命题，可以用全称量词，也可以用“都”等副词、“人人”等主语重复的形式来表达，甚至有时可以没有任何的量词标志，如“人类是有智慧的。”全称量词、全称量词、存在量词特称命题特称命题:其公式为“有的S是P”。特称命题使用存在量词，如“有些”、“很少”等，也可以用“基本上”、“一般”、“只是有些”等。含有存在性量词的命题也称存在性命题。简记为：x0 M，P（x0）读作“存在一个x0属于M，使P（x0）成立”判断下列哪些命题是全称命题，还是特称命题？（1）负数的平方是正数；（2）凡是质数都是奇数；（3）不论m取何值，方程x2x+m=0必有实数根；（4）没有一个无理数不是实数；（5）如果两直线不相交，则这两条直线平行；（6）集合AB是集合A的子集；（7）有的实数是无限不循环小数。例例1判断下列命题的真假判断下列命题的真假:(1)(2)(3)(4)例例2 2指出下述推理过程的逻辑上的错误指出下述推理过程的逻辑上的错误:第一步：设第一步：设a=b，则有，则有a2=ab 第二步：等式两边都减去第二步：等式两边都减去b2，得得a2-b2=ab-b2第三步第三步：因式分解得：因式分解得(a+b)(a-b)=b(a-b)第四步：等式两边都除以第四步：等式两边都除以a-b得，得，a+b=b第五步：由第五步：由a=b代人得，代人得，2b=b第六步：两边都除以第六步：两边都除以b得，得，2=1回顾反思 要判断一个特称命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真；要判断一个存在性命题为假，必须对在给定集合的每一个元素x，使命题p(x)为假。要判断一个全称命题为真，必须对在给定集合的每一个元素x，使命题p(x)为真；但要判断一个全称命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为假。1.4.2全称量词与存在量词（二）量词否定思考思考1：指出下列命题的形式，写出下列指出下列命题的形式，写出下列命题的否定命题的否定.这些命题和它们的否定这些命题和它们的否定在形式上有什么不同？在形式上有什么不同？（1）所有的矩形都是平行四边形；所有的矩形都是平行四边形；（2）每一个素数都是奇数；每一个素数都是奇数；（3）xR，x2-2x+10；一般地一般地,对于含有一个量词的全称命题的否定对于含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论有下面的结论:全称命题全称命题p:全称命题的否定是特称命题全称命题的否定是特称命题.x M,P(x)它的否定p：x0 M，P（x0）一般地一般地,对于含有一个量词的特称命题的否定对于含有一个量词的特称命题的否定,有下面的结论有下面的结论:特称命题的否定是全称命题.特称命题特称命题P：x0 M，P（x0）它的否定 P：x M,P(x)（1）p：x0R，x02+2x0+20；（2）p：有的三角形是等边三角形；：有的三角形是等边三角形；（3）p：有些函数没有反函数；：有些函数没有反函数；（4）p：存在一个四边形，它的对角线互相：存在一个四边形，它的对角线互相 垂直且平分；垂直且平分；（5）p：不是每一个人都会开车；：不是每一个人都会开车；（6）p：在实数范围内，有些一元二次方程无解；：在实数范围内，有些一元二次方程无解；探究：写出命题的否定写出命题的否定关键量词的否定关键量词的否定 词语是 一定是 都是 大于 小于 且 词语的的否定否定 不是 一定不是 不都是 小于或等于 大于或等于 或 词语 必有一个 至少有n个 至多有一个 所有x成立 所有x不成立 词语的的否定否定 一个也没有 至多有n-1个 至少有两个 存在一个x不成立 存在有一个成立 例例1 写出下列全称命题的否定：（1）p：所有人都晨练；（2）p：xR，x2x+10；（3）p：平行四边形的对边相等；（4）p：x0R，x02x0+10；例例2 写出下列命题的否定（1）所有自然数的平方是正数。（2）任何实数x都是方程5x-12=0的根。（3）对任意实数x，存在实数y，使x+y0.（4）有些质数是奇数。例例3 写出下列命题的否定（1）若x24 则x2.。（2）若m0,则x2+x-m=0有实数根。（3）可以被5整除的整数，末位是0。（4）被8整除的数能被4整除。例例4 写出下列命题的非命题与否命题，并判断其真假性。（1）p：若xy,则5x5y；（2）p：若x2+x2,则x2-x2；（3）p：正方形的四条边相等；（4）p：已知a,b为实数，若x2+ax+b0有非空实解集，则a2-4b0。练习：练习：写出下列命题的否定：写出下列命题的否定：（1）p：所有能被：所有能被3整除的整数都是奇数；整除的整数都是奇数；（2）p：每一个四边形的四个顶点共圆；：每一个四边形的四个顶点共圆；（3）p：对任意：对任意xZ，x2的个位数字不等于的个位数字不等于3；（4）p：任意素数都是奇数；：任意素数都是奇数；（5）p：每个指数函数都是单调函数；：每个指数函数都是单调函数；（6）p：线段的垂直平分线上的点到这条线段两：线段的垂直平分线上的点到这条线段两 个端点的距离相等；个端点的距离相等；命题的否定与否命题是完全不同的概念 1任何命题均有否定，无论是真命题还是假命题；而否命题仅针对命题“若P则q”提出来的。2命题的否定（非）是原命题的矛盾命题，两者的真假性必然是一真一假，一假一真；而否命题与原命题可能是同真同假，也可能是一真一假。3 原命题“若P则q”的形式，它的非命题“若p，则q”；而它的否命题为“若p，则q”，既否定条件又否定结论。