极限的基本性质

会计学1极限的基本性质极限的基本性质二、函数极限的性质1.唯一性2.局部有界性 3.局部保号性4.函数极限与数列极限的关系 第二章 第1页/共26页一、收敛数列的性质一、收敛数列的性质一、收敛数列的性质一、收敛数列的性质 1.唯一性 定理1.1(收敛数列极限的唯一性)即若则必有若极限则极限唯一.第2页/共26页(用反证法)及且取因 N1 N+,使当 n N1 时,假设即当 n N1 时,从而使当 n N1 时,证法证法证法证法1 1第3页/共26页同理,因故 N2 N+,使当 n N2 时,有从而使当 n N2 时,有从而使当 n N1 时,则当 n N 时,矛盾！故假设不真!第4页/共26页例例例例1 1 证明数列证明数列证明数列证明数列是发散的.证 用反证法.假设数列收敛,则有唯一极限 a 存在.对于则存在 N,使当 n N 时,有因此该数列发散.于是推得矛盾！区间长度为1这与第5页/共26页2.2.有界性有界性有界性有界性例如:有界无界第6页/共26页即若使(n=1,2,).定理定理定理定理2.2 2.2(收敛数列的有界性收敛数列的有界性收敛数列的有界性收敛数列的有界性)收敛的数列必定有界.第7页/共26页证 设取则当时,从而有取 则有即收敛数列必有界.有第8页/共26页注注注注有界性是数列收敛的必要条件，但不是充分条件.收敛 有界关系：例如,虽有界，但不收敛.数列推论 无界数列必发散.第9页/共26页3.3.保号性、保序保号性、保序保号性、保序保号性、保序性性性性定理2.3(收敛数列的保号性)(1)若则使当n N 时，()()(2)若则 a 0.(0,取证证证证 (1)(1)(2)用反证法证明.注如：第11页/共26页推论推论推论推论2.3 2.3(保序性保序性保序性保序性)使当n N 时，恒有(2)若时,有第12页/共26页证(用反证法)取因故存在 N1,使当 n N1 时,假设从而当 n N1 时,第13页/共26页从而同理,因故存在 N2,使当 n N2 时,有则当 n N 时,便有与已知矛盾,于是定理得证.当 n N1 时,第14页/共26页4.4.收敛数列与其子数列的关系收敛数列与其子数列的关系收敛数列与其子数列的关系收敛数列与其子数列的关系(1)子数列的概念称为数列 xn 的一个子数列(或子列)。第15页/共26页例如,从数列中抽出所有的偶数项 是其子数列.它的第k 项是组成的数列：第16页/共26页(2)(2)收敛数列与其子数列的关系收敛数列与其子数列的关系收敛数列与其子数列的关系收敛数列与其子数列的关系定理2.4也收敛，且证 设的任一子数列.若则当 时,有取正整数 K,使于是当时,有从而有第17页/共26页注注注注定理1 某收敛例如，但发散.2 若数列有两个子数列收敛于不同的极限，则原数列一定发散.例如，发散!第18页/共26页二、函数极限的性质二、函数极限的性质二、函数极限的性质二、函数极限的性质1.唯一性定理2.1(函数极限的唯一性)2.局部有界性第19页/共26页如：(2)若则 X 0,函数 f(x)有界.使得当时，第20页/共26页3 3.局部保号性局部保号性局部保号性局部保号性定理定理定理定理2.32.3 (函数极限的局部保号性函数极限的局部保号性函数极限的局部保号性函数极限的局部保号性)(1)如果且 A 0,则存在(A 0(或 0),时,恒有f(x)g(x)(或推论推论推论推论2.32.3(函数极限的局部保序性)时,恒有第22页/共26页问题:若f(x)0 时,有 f(x)g(x),但是不能！第23页/共26页内容小结内容小结内容小结内容小结1.收敛数列的性质:唯一性,有界性,保号性,保序性;任一子数列收敛于同一极限2.函数极限的性质:唯一性,局部有界性,局部保号性,局部保序性;第24页/共26页思考与练习思考与练习思考与练习思考与练习1.如何判断极限不存在?方法1.找一个趋于的子数列;方法2.找两个收敛于不同极限的子数列.2.已知,求时,下述作法是否正确?说明理由.设由递推式两边取极限得不对!此处第25页/共26页