极限的运算和两个重要极限

会计学1极限的运算和两个重要极限极限的运算和两个重要极限定理定理证证由无穷小运算法则由无穷小运算法则,得得一、极限的四则运算第1页/共38页第2页/共38页推论推论1 1常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面.推论推论2 2有界，有界，第3页/共38页求极限方法举例求极限方法举例例例1 1解解第4页/共38页小结小结:第5页/共38页解解商的法则不能用商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系,得得例例2 2第6页/共38页解解例例3 3(消去零因子法消去零因子法)第7页/共38页例例4 4解解(无穷小因子分出法无穷小因子分出法)第8页/共38页小结小结:无穷小分出法无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分以分母中自变量的最高次幂除分子子,分母分母,以分出无穷小以分出无穷小,然后再求极限然后再求极限.第9页/共38页例例5 5解解先变形再求极限先变形再求极限.第10页/共38页例例6 6解解第11页/共38页例例7 7解解左右极限存在且相等左右极限存在且相等,第12页/共38页意义：意义：第13页/共38页例例8 8解解第14页/共38页小结小结1、极限的四则运算法则及其推论、极限的四则运算法则及其推论;2、极限求、极限求法法;a.多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限.3、复合函数的极限运算法则、复合函数的极限运算法则第15页/共38页二、两个重要极限二、两个重要极限(1)注意：注意：第16页/共38页例例解解第17页/共38页(2)定义定义第18页/共38页第19页/共38页模式模式第20页/共38页例例4 4解解例例5 5解解第21页/共38页小结小结1.两个准则两个准则2.两个重要极限两个重要极限迫敛准则迫敛准则;单调有界准则单调有界准则.第22页/共38页三、无穷小的比较三、无穷小的比较例如例如,极限不同极限不同,反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不程度不同同.不可比不可比.观观察察各各极极限限第23页/共38页定义定义:第24页/共38页例如，例如，第25页/共38页例例1 1解解第26页/共38页证证必要性必要性充分性充分性第27页/共38页意义意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式：用等价无穷小可给出函数的近似表达式例如例如,常用等价无穷小常用等价无穷小:见课本见课本357页页第28页/共38页例例解解第29页/共38页等价无穷小代换等价无穷小代换定理定理(等价无穷小代换定理等价无穷小代换定理)证证第30页/共38页例例解解若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限穷小代换，而不会改变原式的极限第31页/共38页不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换.切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分别代换对于代数和中各无穷小不能分别代换.注意注意例例解解第32页/共38页例例解解解解错错第33页/共38页例例6 6解解第34页/共38页另解另解:第35页/共38页小结小结1、无穷小的比较、无穷小的比较反映了同一过程中反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度两无穷小趋于零的速度快慢快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较但并不是所有的无穷小都可进行比较.2、等价无穷小的代换、等价无穷小的代换:求极限的又一种方法求极限的又一种方法,注意适用条件注意适用条件.高高(低低)阶无穷小阶无穷小;等价无穷小等价无穷小;无穷小的阶无穷小的阶.第36页/共38页作业：课本 第37页/共38页