大学物理：第3章刚体的定轴转动

第第第第3 3 3 3章章章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物理大学物理大学物理大学物理A A教案教案教案教案第第3章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体力学基础刚体力学基础主要任务：主要任务：研究物体的转动，及转动状态变化的规律。研究物体的转动，及转动状态变化的规律。第第第第3 3 3 3章章章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物理大学物理大学物理大学物理A A教案教案教案教案 在外力作用下不产生形变的物体在外力作用下不产生形变的物体在外力作用下不产生形变的物体在外力作用下不产生形变的物体(无数个连续分布的质点组成无数个连续分布的质点组成无数个连续分布的质点组成无数个连续分布的质点组成的质点系，理想模型的质点系，理想模型的质点系，理想模型的质点系，理想模型)。组成刚体的每个质点称为刚体的一个。组成刚体的每个质点称为刚体的一个。组成刚体的每个质点称为刚体的一个。组成刚体的每个质点称为刚体的一个质质质质量元量元量元量元(element mass)，每个质量元都服从质点力学规律。，每个质量元都服从质点力学规律。特点特点特点特点：任意两点间的距离始终保持不变任意两点间的距离始终保持不变质点质点质点系质点系刚体刚体集合集合特例特例一般运动（平动转动）一般运动（平动转动）刚体的运动：刚体的运动：刚体的运动：刚体的运动：平动平动平动平动定轴转动定轴转动平动和定轴转动是刚体最基本的两种运动形式。平动和定轴转动是刚体最基本的两种运动形式。平动和定轴转动是刚体最基本的两种运动形式。平动和定轴转动是刚体最基本的两种运动形式。3.1 3.1 刚体及刚体定轴转动的描述刚体及刚体定轴转动的描述刚体刚体(rigid body)：第第第第3 3 3 3章章章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物理大学物理大学物理大学物理A A教案教案教案教案1 1、刚体的平动、刚体的平动(translation)刚体在运动过程中，体内任意两点的连线在运动中始终保刚体在运动过程中，体内任意两点的连线在运动中始终保持平行。持平行。刚体的平刚体的平动可以简动可以简化成质点化成质点处理处理AB2 2 2 2、刚体的转动、刚体的转动、刚体的转动、刚体的转动(rotation)刚体运动时，如果刚体上所有质点都绕刚体运动时，如果刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动。这种运动称为刚体的同一直线作圆周运动。这种运动称为刚体的转动。这条直线称为转轴转动。这条直线称为转轴(rotation axis)。转轴固定的称为转轴固定的称为定轴转动定轴转动。第第第第3 3 3 3章章章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物理大学物理大学物理大学物理A A教案教案教案教案本章研究刚体的定轴转动本章研究刚体的定轴转动本章研究刚体的定轴转动本章研究刚体的定轴转动 刚体的一般运动可看成平动与定轴转动的叠加。刚体的一般运动可看成平动与定轴转动的叠加。3 3、描述定轴转动的物理量、描述定轴转动的物理量、描述定轴转动的物理量、描述定轴转动的物理量用角量描述定轴转动用角量描述定轴转动转动平面：转动平面：定轴转动刚体上各质点的运动定轴转动刚体上各质点的运动定轴转动刚体上各质点的运动定轴转动刚体上各质点的运动面面面面（1）转动平面垂直于转轴。转动平面垂直于转轴。（2）转动平面上各点均作圆周运动，角转动平面上各点均作圆周运动，角量相同，线量不同。量相同，线量不同。（3）定轴转动刚体上各点的角速度矢量）定轴转动刚体上各点的角速度矢量 的方向均沿轴线。的方向均沿轴线。刚体定轴转动的特点：刚体定轴转动的特点：刚体定轴转动的特点：刚体定轴转动的特点：右手螺旋法则确定右手螺旋法则确定右手螺旋法则确定右手螺旋法则确定 的的的的方向。弯曲的四指沿转方向。弯曲的四指沿转方向。弯曲的四指沿转方向。弯曲的四指沿转动方向，大拇指的指向动方向，大拇指的指向动方向，大拇指的指向动方向，大拇指的指向即为角速度矢量的方向。即为角速度矢量的方向。即为角速度矢量的方向。即为角速度矢量的方向。第第第第3 3 3 3章章章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物理大学物理大学物理大学物理A A教案教案教案教案刚体上任意一点的线速度刚体上任意一点的线速度 与角与角速度速度 的关系：的关系：角速度大小：角速度大小：角位移角位移:角坐标角坐标:基本物理量：基本物理量：角加速度矢量：角加速度矢量：角加速度矢量：角加速度矢量：定轴转动中定轴转动中 的方向沿转轴，与的方向沿转轴，与 的方向相同或相反的方向相同或相反.第第第第3 3 3 3章章章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物理大学物理大学物理大学物理A A教案教案教案教案 线量与角量的关系线量与角量的关系：对于定轴转动对于定轴转动注意：注意：注意：注意：、是矢量，在定轴转动中由于轴的方位不变，故用是矢量，在定轴转动中由于轴的方位不变，故用正负表示其方向。正负表示其方向。刚体作匀加速转动时，相应公式如下：刚体作匀加速转动时，相应公式如下：刚体作匀加速转动时，相应公式如下：刚体作匀加速转动时，相应公式如下：第第第第3 3 3 3章章章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物理大学物理大学物理大学物理A A教案教案教案教案3.2 3.2 定轴转动定律定轴转动定律1 1、对转轴的力矩、对转轴的力矩、对转轴的力矩、对转轴的力矩(moment)z转动平面转动平面力力 对轴的力矩对轴的力矩 定义为定义为:写成矢量式写成矢量式 的大小的大小:刚体受到图示的外力作用，设刚体受到图示的外力作用，设刚体受到图示的外力作用，设刚体受到图示的外力作用，设在转动平面在转动平面在转动平面在转动平面(垂直转轴的平面垂直转轴的平面垂直转轴的平面垂直转轴的平面)上。上。上。上。的方向垂直转动平面的方向垂直转动平面,即沿转轴方向即沿转轴方向。单位：单位：Nm第第第第3 3 3 3章章章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物理大学物理大学物理大学物理A A教案教案教案教案zd 当外力当外力 不在垂直于转轴的不在垂直于转轴的平面内时平面内时,把力把力 分解为平行分解为平行转轴的分量转轴的分量 和垂直转轴的分和垂直转轴的分量量 ,只有在转动平面上的分只有在转动平面上的分量量 对轴的力矩才有贡献。对轴的力矩才有贡献。2 2、定轴转动定律、定轴转动定律、定轴转动定律、定轴转动定律(law of rotation)刚体看作一个质点系刚体看作一个质点系,任取一个任取一个质点质点,质量为质量为 ,它到转轴的距离为它到转轴的距离为 ,作用于作用于 上的外力为上的外力为 ,内力为内力为 。(设设 和和 都在转动平面内都在转动平面内)z mi 以以 及及 表示表示 及及 沿切向沿切向的分力，由牛二定律，有的分力，由牛二定律，有第第第第3 3 3 3章章章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物理大学物理大学物理大学物理A A教案教案教案教案z mi两边乘两边乘 并对并对i 求和求和为所有内力对转轴的力矩的代为所有内力对转轴的力矩的代数和，即合内力矩。数和，即合内力矩。为所有外力对转轴的力矩的代为所有外力对转轴的力矩的代数和，即合外力矩，数和，即合外力矩，用用 M 表示。表示。称为刚体对定轴的称为刚体对定轴的转动惯量转动惯量,用用 J J 表示表示。即即:转动惯量的定义式转动惯量的定义式第第第第3 3 3 3章章章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物理大学物理大学物理大学物理A A教案教案教案教案 转动定律转动定律在刚体力学中的地位与牛顿第二定律在质点动力在刚体力学中的地位与牛顿第二定律在质点动力学中的地位相当。学中的地位相当。转动惯量的定义转动惯量的定义转动惯量的定义转动惯量的定义3 3、转动惯量及其计算转动惯量及其计算转动惯量及其计算转动惯量及其计算刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律 转动定律转动定律与牛二定律比较可知与牛二定律比较可知,与与 对应对应,与与 对应对应,J与与 对应对应;所以刚体的转动惯量是刚体转动惯性大小的量度所以刚体的转动惯量是刚体转动惯性大小的量度.刚体作定轴转动时，刚体的角加速度与它所受的合外力矩成刚体作定轴转动时，刚体的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。正比，与刚体的转动惯量成反比。单位：单位：kg.m2第第第第3 3 3 3章章章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物理大学物理大学物理大学物理A A教案教案教案教案刚体转动惯量刚体转动惯量刚体转动惯量刚体转动惯量（J J ）的大小与下列因素有关：）的大小与下列因素有关：）的大小与下列因素有关：）的大小与下列因素有关：(3)(3)(3)(3)与转轴的位置有关与转轴的位置有关与转轴的位置有关与转轴的位置有关。转动惯量的定义转动惯量的定义转动惯量的定义转动惯量的定义(2)(2)(2)(2)刚体质量一定时，与质量分布有关；刚体质量一定时，与质量分布有关；刚体质量一定时，与质量分布有关；刚体质量一定时，与质量分布有关；(同同m,J中空中空J实实)(1)(1)(1)(1)与刚体的质量大小有关；与刚体的质量大小有关；与刚体的质量大小有关；与刚体的质量大小有关；(同分布同分布M m,JM Jm)转动惯量仅取决于刚体本身的转动惯量仅取决于刚体本身的转动惯量仅取决于刚体本身的转动惯量仅取决于刚体本身的性质，即与刚体的质量、质量分性质，即与刚体的质量、质量分性质，即与刚体的质量、质量分性质，即与刚体的质量、质量分布以及转轴的位置有关。布以及转轴的位置有关。布以及转轴的位置有关。布以及转轴的位置有关。第第第第3 3 3 3章章章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物理大学物理大学物理大学物理A A教案教案教案教案(1)(1)(1)(1)分立质点分立质点分立质点分立质点转动惯量的计算转动惯量的计算转动惯量的计算转动惯量的计算 例例例例1 1.由长l 的轻杆连接的质点如图所示，求质点系对过A垂直于该平面的轴的转动惯量。解：解：由定义式由定义式思考：思考：A A点移至质量为点移至质量为2 2m 的杆中心处的杆中心处 J J=?=?第第第第3 3 3 3章章章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物理大学物理大学物理大学物理A A教案教案教案教案例例2.计算长为计算长为L,质量为质量为m的均质细棒的转动惯量。（的均质细棒的转动惯量。（1）对通）对通过棒的一端并与棒垂直的轴；（过棒的一端并与棒垂直的轴；（2）对通过棒的中心并与棒垂直）对通过棒的中心并与棒垂直的轴。的轴。(2)(2)(2)(2)质量连续分布的刚体质量连续分布的刚体质量连续分布的刚体质量连续分布的刚体转动惯量的计算转动惯量的计算转动惯量的计算转动惯量的计算解解:(1)在在x处取质量元处取质量元它对轴的转动惯量它对轴的转动惯量整条棒整条棒oxz第第第第3 3 3 3章章章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物理大学物理大学物理大学物理A A教案教案教案教案（2）同一棒绕过中心轴的转动惯量同一棒绕过中心轴的转动惯量oxz例例例例3.3.求质量求质量求质量求质量 mm ,半径半径半径半径 R R 的圆环对中心垂直轴的转动惯量的圆环对中心垂直轴的转动惯量的圆环对中心垂直轴的转动惯量的圆环对中心垂直轴的转动惯量。解：解：在环上取质量元在环上取质量元ROdm第第第第3 3 3 3章章章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物理大学物理大学物理大学物理A A教案教案教案教案ROm1思考思考1.环上加一质量为环上加一质量为m1的质点的质点,J1=?思考思考2.环上有一个环上有一个 x的缺口，的缺口，J2=?xROmJ1=mR2+m1R2第第第第3 3 3 3章章章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物理大学物理大学物理大学物理A A教案教案教案教案例例例例4.4.一质量为一质量为 m，半径为半径为 R 的均质圆盘，求通过盘中心并与的均质圆盘，求通过盘中心并与盘面垂直的轴的转动惯量。盘面垂直的轴的转动惯量。解：解：在在 处取宽度为处取宽度为 的细环的细环ROrdrO均质圆盘均质圆盘第第第第3 3 3 3章章章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物理大学物理大学物理大学物理A A教案教案教案教案几何形状不规则的刚体的转动惯量，由实验测定。几何形状不规则的刚体的转动惯量，由实验测定。几何形状不规则的刚体的转动惯量，由实验测定。几何形状不规则的刚体的转动惯量，由实验测定。几种常见刚体的转动惯量几种常见刚体的转动惯量几种常见刚体的转动惯量几种常见刚体的转动惯量圆环：转轴通过中心圆环：转轴通过中心与盘面垂直与盘面垂直r圆环：转轴沿直径圆环：转轴沿直径r第第第第3 3 3 3章章章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物理大学物理大学物理大学物理A A教案教案教案教案薄圆盘：转轴通过中薄圆盘：转轴通过中心与盘面垂直心与盘面垂直r2r1圆筒：转轴沿几何轴圆筒：转轴沿几何轴r第第第第3 3 3 3章章章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物理大学物理大学物理大学物理A A教案教案教案教案lr圆柱体：转轴沿几何轴圆柱体：转轴沿几何轴lr圆柱体：转轴通过中圆柱体：转轴通过中心与几何轴垂直心与几何轴垂直第第第第3 3 3 3章章章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物理大学物理大学物理大学物理A A教案教案教案教案l细棒：转轴通过中细棒：转轴通过中心与棒垂直心与棒垂直l细棒：转轴通过端点细棒：转轴通过端点与棒垂直与棒垂直第第第第3 3 3 3章章章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物理大学物理大学物理大学物理A A教案教案教案教案2r球体：转轴沿直径球体：转轴沿直径2r球壳：转轴沿直径球壳：转轴沿直径第第第第3 3 3 3章章章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物理大学物理大学物理大学物理A A教案教案教案教案4、转动定律的应用、转动定律的应用例例例例5 5、质量质量 M=16 kg、半径为半径为 R=0.15 m 的实心滑轮的实心滑轮,一根细绳绕在其上，绳端挂一质一根细绳绕在其上，绳端挂一质量为量为 m 的物体。求（的物体。求（1）由静止开始）由静止开始 1 秒钟秒钟后，物体下降的距离。（后，物体下降的距离。（2）绳子的张力。）绳子的张力。用转动定律解题的基本步骤与用牛顿第二定律解题的步骤相似。用转动定律解题的基本步骤与用牛顿第二定律解题的步骤相似。解：解：解：解：分别隔离滑轮和重物分别隔离滑轮和重物,画出它们的画出它们的受力图受力图,如图所示如图所示 对重物由牛二定律对重物由牛二定律,对滑轮由转对滑轮由转动定律列方程如下动定律列方程如下:注：滑轮受到转轴的支注：滑轮受到转轴的支撑力和重力是一对平衡撑力和重力是一对平衡力，对定滑轮的运动不力，对定滑轮的运动不起作用，可以不画。起作用，可以不画。第第第第3 3 3 3章章章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物理大学物理大学物理大学物理A A教案教案教案教案解方程，先进行文字运算，再代入数值解方程，先进行文字运算，再代入数值解方程，先进行文字运算，再代入数值解方程，先进行文字运算，再代入数值第第第第3 3 3 3章章章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物理大学物理大学物理大学物理A A教案教案教案教案例例例例6 6、质量为质量为 m1 和和 m2 的两物体，分别挂在两条绳上，绳绕的两物体，分别挂在两条绳上，绳绕在鼓轮上（如图所示）。已知鼓轮的转动惯量为在鼓轮上（如图所示）。已知鼓轮的转动惯量为J，求两物体求两物体的加速度。的加速度。R RR2 22R R1 1m1m2解：解：分别隔离滑轮和重物分别隔离滑轮和重物,画出它画出它们的受力图们的受力图,如图所示如图所示第第第第3 3 3 3章章章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物理大学物理大学物理大学物理A A教案教案教案教案联立以上方程求得联立以上方程求得:R RR2 22R R1 1m1m2第第第第3 3 3 3章章章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物理大学物理大学物理大学物理A A教案教案教案教案例例例例7 7 7 7、一轻绳跨过两个一轻绳跨过两个一轻绳跨过两个一轻绳跨过两个质量均为质量均为m、半径均为、半径均为r r的定滑轮，绳的的定滑轮，绳的两端分别挂着质量为两端分别挂着质量为m1=m和和m2 2=2=2m的重物，系统由静止开始运的重物，系统由静止开始运动，求两滑轮之间绳内的张力。动，求两滑轮之间绳内的张力。解：解：分别隔离滑轮和重物分别隔离滑轮和重物,画出它们画出它们的受力图的受力图,如图所示如图所示联立以上联立以上联立以上联立以上5 5 5 5个方程解得个方程解得个方程解得个方程解得:第第第第3 3 3 3章章章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物理大学物理大学物理大学物理A A教案教案教案教案5、平行轴定理、平行轴定理*若刚体若刚体对过质心的轴对过质心的轴的转动惯量为的转动惯量为 Jc，则刚体对与该轴相则刚体对与该轴相距为距为 d 的平行轴的平行轴 z的转动惯量的转动惯量 Jz为为mR R R R称为称为平行轴定理平行轴定理如图，若如图，若则：则：第第第第3 3 3 3章章章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物理大学物理大学物理大学物理A A教案教案教案教案作业作业P8690页页 4,5，11，12 计计 19 第第第第3 3 3 3章章章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物理大学物理大学物理大学物理A A教案教案教案教案1 1、力矩的功、力矩的功、力矩的功、力矩的功z 3.3 3.3 转动中的功和能转动中的功和能 刚体在外力刚体在外力 作用下转过作用下转过一微小角位移一微小角位移 。力的作用。力的作用点的位移为点的位移为在在 上的上的元功元功为：为：刚体在外力矩刚体在外力矩 M 作用下转作用下转过一有限角位移过一有限角位移 时，力矩的时，力矩的总功总功第第第第3 3 3 3章章章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物理大学物理大学物理大学物理A A教案教案教案教案2 2、刚体的转动动能、刚体的转动动能、刚体的转动动能、刚体的转动动能 转动动能定理转动动能定理转动动能定理转动动能定理转动刚体中任意一质元的动能：转动刚体中任意一质元的动能：转动刚体中任意一质元的动能：转动刚体中任意一质元的动能：刚体的刚体的刚体的刚体的转动动能转动动能转动动能转动动能：z物体平物体平物体平物体平动动能动动能动动能动动能m 是物体平动惯性大小的量度是物体平动惯性大小的量度J 是物体转动惯性大小的量度是物体转动惯性大小的量度（1 1）刚体的转动动能刚体的转动动能刚体的转动动能刚体的转动动能 mi第第第第3 3 3 3章章章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物理大学物理大学物理大学物理A A教案教案教案教案（2 2）定轴转动的动能定理）定轴转动的动能定理）定轴转动的动能定理）定轴转动的动能定理即：即：合外力矩对刚体所作的功，等于刚体转动动能的合外力矩对刚体所作的功，等于刚体转动动能的增量。增量。把质点系动能定理应用于刚体把质点系动能定理应用于刚体质点系动能定理质点系动能定理质点系动能定理质点系动能定理 对刚体，因为对刚体，因为 ，只需把，只需把 换成外力矩的功，平动换成外力矩的功，平动动能换成转动动能动能换成转动动能,就得到刚体就得到刚体定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理注意：注意：注意：注意：动能定理中的功动能定理中的功动能定理中的功动能定理中的功WW，指合外力矩的功。，指合外力矩的功。，指合外力矩的功。，指合外力矩的功。第第第第3 3 3 3章章章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物理大学物理大学物理大学物理A A教案教案教案教案3 3、刚体的重力势能、刚体的重力势能、刚体的重力势能、刚体的重力势能 机械能机械能机械能机械能 刚体的重力势能为刚体中所有质元的重力刚体的重力势能为刚体中所有质元的重力刚体的重力势能为刚体中所有质元的重力刚体的重力势能为刚体中所有质元的重力势能之和。势能之和。势能之和。势能之和。任一质元的重力势能任一质元的重力势能任一质元的重力势能任一质元的重力势能刚体的重力势能刚体的重力势能刚体的重力势能刚体的重力势能设刚体的质心相对零势能位置的高度为设刚体的质心相对零势能位置的高度为则则即：刚体的重力势能等于刚体即：刚体的重力势能等于刚体即：刚体的重力势能等于刚体即：刚体的重力势能等于刚体的质量全部集中在质心处的质的质量全部集中在质心处的质的质量全部集中在质心处的质的质量全部集中在质心处的质点的重力势能点的重力势能点的重力势能点的重力势能 miz（1 1）刚体的重力势能刚体的重力势能刚体的重力势能刚体的重力势能第第第第3 3 3 3章章章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物理大学物理大学物理大学物理A A教案教案教案教案（2 2）刚体的机械能刚体的机械能刚体的机械能刚体的机械能4 4 4 4、定轴转动的功能原理、定轴转动的功能原理、定轴转动的功能原理、定轴转动的功能原理由转动动能定理由转动动能定理由转动动能定理由转动动能定理所以所以所以所以第第第第3 3 3 3章章章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物理大学物理大学物理大学物理A A教案教案教案教案 例例7.7.一质量为一质量为一质量为一质量为MM、半径、半径、半径、半径R R的圆盘，盘上绕有细绳，一端挂有的圆盘，盘上绕有细绳，一端挂有的圆盘，盘上绕有细绳，一端挂有的圆盘，盘上绕有细绳，一端挂有质量为质量为质量为质量为mm的物体。设细绳不伸长且与滑轮间无相对滑动，问物体的物体。设细绳不伸长且与滑轮间无相对滑动，问物体的物体。设细绳不伸长且与滑轮间无相对滑动，问物体的物体。设细绳不伸长且与滑轮间无相对滑动，问物体由静止下落高度由静止下落高度由静止下落高度由静止下落高度h h时其速度为多大？时其速度为多大？时其速度为多大？时其速度为多大？解：解：隔离圆盘和重物，受力图如图所示隔离圆盘和重物，受力图如图所示隔离圆盘和重物，受力图如图所示隔离圆盘和重物，受力图如图所示解得解得对圆盘：由转动动能定理或功能原理，有对圆盘：由转动动能定理或功能原理，有对圆盘：由转动动能定理或功能原理，有对圆盘：由转动动能定理或功能原理，有对物体：由质点动能定理或功能原理，有对物体：由质点动能定理或功能原理，有对物体：由质点动能定理或功能原理，有对物体：由质点动能定理或功能原理，有Mm第第第第3 3 3 3章章章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物理大学物理大学物理大学物理A A教案教案教案教案例例例例8 8、质量为质量为质量为质量为3 3mm 、长为长为长为长为 2 2l l 的均质细杆，转轴在的均质细杆，转轴在的均质细杆，转轴在的均质细杆，转轴在 o o o o 点，两端点，两端点，两端点，两端各固定质量分别为各固定质量分别为各固定质量分别为各固定质量分别为2 2mm和和和和mm的小球的小球的小球的小球。系统从静止开始由水平位置。系统从静止开始由水平位置。系统从静止开始由水平位置。系统从静止开始由水平位置绕绕绕绕o o o o点转动。求点转动。求点转动。求点转动。求:(1):(1):(1):(1)系统对系统对系统对系统对o o o o 轴的转动惯量；轴的转动惯量；轴的转动惯量；轴的转动惯量；(2)(2)(2)(2)水平位置时水平位置时水平位置时水平位置时系统的角加速度系统的角加速度系统的角加速度系统的角加速度;（3)3)3)3)转到垂直位置时系统的角速度。转到垂直位置时系统的角速度。转到垂直位置时系统的角速度。转到垂直位置时系统的角速度。解：解：解：解：o(1)(1)系统对系统对o轴的转动惯量轴的转动惯量(2)(2)水平位置时系统的角加速度水平位置时系统的角加速度由转动定律由转动定律所以所以第第第第3 3 3 3章章章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物理大学物理大学物理大学物理A A教案教案教案教案（3 3 3 3）通过垂直位置时的角速度）通过垂直位置时的角速度）通过垂直位置时的角速度）通过垂直位置时的角速度,有三种解法有三种解法有三种解法有三种解法o(解解解解1)1)1)1)用转动定律求解用转动定律求解用转动定律求解用转动定律求解任意位置系统受到的合外力矩为：任意位置系统受到的合外力矩为：求得求得为一变力矩，由转动定律为一变力矩，由转动定律第第第第3 3 3 3章章章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物理大学物理大学物理大学物理A A教案教案教案教案(解解解解2)2)2)2)用转动动能定理求解用转动动能定理求解用转动动能定理求解用转动动能定理求解合外力矩的功等于刚体转动动能的增量合外力矩的功等于刚体转动动能的增量合外力矩的功等于刚体转动动能的增量合外力矩的功等于刚体转动动能的增量o求得求得力矩的元功：力矩的元功：力矩的元功：力矩的元功：从水平位置转到铅垂位置，力矩的从水平位置转到铅垂位置，力矩的从水平位置转到铅垂位置，力矩的从水平位置转到铅垂位置，力矩的总功：总功：总功：总功：由转动动能定理由转动动能定理由转动动能定理由转动动能定理第第第第3 3 3 3章章章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物理大学物理大学物理大学物理A A教案教案教案教案 此刚体组此刚体组此刚体组此刚体组+地球系统地球系统地球系统地球系统,转动过程转动过程转动过程转动过程中，只有重力矩作功中，只有重力矩作功中，只有重力矩作功中，只有重力矩作功,系统机械系统机械系统机械系统机械能守恒能守恒能守恒能守恒o(解解3)3)用机械能守恒定律求解用机械能守恒定律求解求得求得取过最低点的水平面为零势能取过最低点的水平面为零势能取过最低点的水平面为零势能取过最低点的水平面为零势能面，由机械能守恒定律，有面，由机械能守恒定律，有面，由机械能守恒定律，有面，由机械能守恒定律，有第第第第3 3 3 3章章章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物理大学物理大学物理大学物理A A教案教案教案教案1 1、质点的角动量、质点的角动量、质点的角动量、质点的角动量(angular momentum)o质点对质点对O O点的点的角动量角动量角动量角动量：kg m2s-13.4 3.4 对对定轴的角动量定理定轴的角动量定理 及角动量守恒定律及角动量守恒定律质点作匀速率圆周运动质点作匀速率圆周运动：角动量角动量角动量角动量动量矩动量矩动量矩动量矩第第第第3 3 3 3章章章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物理大学物理大学物理大学物理A A教案教案教案教案2 2、刚体对定轴的角动量、刚体对定轴的角动量、刚体对定轴的角动量、刚体对定轴的角动量 miz的方向沿定轴，可用的方向沿定轴，可用正、负表示正、负表示方向方向。刚体看成许多质点组成刚体看成许多质点组成,任意一任意一质元质元 对轴的角动量大小为对轴的角动量大小为整个刚体的角动量整个刚体的角动量第第第第3 3 3 3章章章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物理大学物理大学物理大学物理A A教案教案教案教案3 3、定轴转动的角动量定理、定轴转动的角动量定理、定轴转动的角动量定理、定轴转动的角动量定理由刚体定轴转动定律：由刚体定轴转动定律：对力矩作用的时间积分对力矩作用的时间积分即：即：刚体角动量的增量等于合外力矩的冲量矩刚体角动量的增量等于合外力矩的冲量矩。式中式中 是力矩对时间的积分是力矩对时间的积分,称为称为冲量矩冲量矩。定轴转动的定轴转动的定轴转动的定轴转动的角动量定理角动量定理角动量定理角动量定理第第第第3 3 3 3章章章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物理大学物理大学物理大学物理A A教案教案教案教案写成矢量式写成矢量式4 4、角动量守恒定律、角动量守恒定律、角动量守恒定律、角动量守恒定律 角动量定理中，若刚体受到的合外力矩为零，则系统的角动角动量定理中，若刚体受到的合外力矩为零，则系统的角动角动量定理中，若刚体受到的合外力矩为零，则系统的角动角动量定理中，若刚体受到的合外力矩为零，则系统的角动量守恒。量守恒。量守恒。量守恒。即：即：角动量（动量矩）角动量（动量矩）角动量（动量矩）角动量（动量矩）定理的积分形式定理的积分形式定理的积分形式定理的积分形式角动量定理角动量定理角动量定理角动量定理的微分形式的微分形式的微分形式的微分形式第第第第3 3 3 3章章章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物理大学物理大学物理大学物理A A教案教案教案教案跳水运动员跳水运动员角动量守恒实例角动量守恒实例第第第第3 3 3 3章章章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物理大学物理大学物理大学物理A A教案教案教案教案 (1)在在r处取一宽度为处取一宽度为dr的圆环的圆环,如图所示如图所示.其质量、受到的摩擦阻力其质量、受到的摩擦阻力及摩擦阻力矩分别为及摩擦阻力矩分别为解解:oRdrdrr r例例例例9 9 9 9：质量为质量为质量为质量为mm，半径为，半径为，半径为，半径为R R 的均质薄圆盘放在水平桌面上，可绕的均质薄圆盘放在水平桌面上，可绕的均质薄圆盘放在水平桌面上，可绕的均质薄圆盘放在水平桌面上，可绕盘中心并与盘面垂直的固定光滑轴转动。初始时刻盘的角速度盘中心并与盘面垂直的固定光滑轴转动。初始时刻盘的角速度盘中心并与盘面垂直的固定光滑轴转动。初始时刻盘的角速度盘中心并与盘面垂直的固定光滑轴转动。初始时刻盘的角速度为为为为 ，盘与桌面间的滑动摩擦系数为，盘与桌面间的滑动摩擦系数为，盘与桌面间的滑动摩擦系数为，盘与桌面间的滑动摩擦系数为 ，求，求，求，求:(1):(1):(1):(1)圆盘转动时圆盘转动时圆盘转动时圆盘转动时受到的摩擦阻力矩；受到的摩擦阻力矩；受到的摩擦阻力矩；受到的摩擦阻力矩；(2)(2)(2)(2)经多长时间圆盘停止经多长时间圆盘停止经多长时间圆盘停止经多长时间圆盘停止转动转动。第第第第3 3 3 3章章章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物理大学物理大学物理大学物理A A教案教案教案教案圆盘转动时受到的总摩擦阻力矩为圆盘转动时受到的总摩擦阻力矩为 (2)(2)求圆盘停止转动的时间有求圆盘停止转动的时间有两种解法两种解法解解1 1 用转动定律求用转动定律求求得求得:oRdrdrr r第第第第3 3 3 3章章章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物理大学物理大学物理大学物理A A教案教案教案教案oR R解解解解2 2 2 2 用角动量定理求用角动量定理求用角动量定理求用角动量定理求第第第第3 3 3 3章章章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物理大学物理大学物理大学物理A A教案教案教案教案碰后棒在转动过程中受到的摩擦阻力矩为碰后棒在转动过程中受到的摩擦阻力矩为 例例1010：质量为质量为m1,长为长为 l 的均质细棒，静止平放在滑动摩的均质细棒，静止平放在滑动摩擦系数为擦系数为 的水平桌面上，可绕通过其端点的水平桌面上，可绕通过其端点o o并与桌面垂直的并与桌面垂直的固定光滑轴转动固定光滑轴转动.今有一水平运动的质量为今有一水平运动的质量为m2的小滑块的小滑块,从侧从侧面垂直于棒与棒的另一端面垂直于棒与棒的另一端A相碰相碰,设碰撞时间极短设碰撞时间极短.已知小滑已知小滑块在碰撞前后的速度大小分别为块在碰撞前后的速度大小分别为v1和和v2,方向如图所示。求碰方向如图所示。求碰后细棒开始转动到停止转动所需的时间。后细棒开始转动到停止转动所需的时间。解解:设碰后棒开始转动的角速度为设碰后棒开始转动的角速度为 ,滑滑块块m2 2可视为质点可视为质点,碰撞瞬时忽略摩擦阻力碰撞瞬时忽略摩擦阻力矩矩,则则m1 1、m2 2系统对系统对o o轴的角动量守恒轴的角动量守恒,取取逆时针转动的方向为正方向逆时针转动的方向为正方向,由角动量守由角动量守恒定律恒定律,有有第第第第3 3 3 3章章章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物理大学物理大学物理大学物理A A教案教案教案教案又设棒开始转动到停止转动所需时间为又设棒开始转动到停止转动所需时间为t,由角动量定理由角动量定理联立联立 解得解得 第第第第3 3 3 3章章章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物理大学物理大学物理大学物理A A教案教案教案教案例例11：一长为一长为 l，质量为质量为 M 的杆垂直悬挂的杆垂直悬挂,杆可绕支点杆可绕支点O自自由转动。一质量为由转动。一质量为 m，速度为速度为 v 的子弹射入距支点为的子弹射入距支点为 a 的棒的棒内内,若棒偏转角为若棒偏转角为 30，问子弹的初速度为多少，问子弹的初速度为多少?解：解：解：解：子弹与杆碰撞的过程角动量守恒子弹与杆碰撞的过程角动量守恒子弹连同杆上摆的过程机械能守恒子弹连同杆上摆的过程机械能守恒oal lv3030第第第第3 3 3 3章章章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物理大学物理大学物理大学物理A A教案教案教案教案作业：作业：P8690页页 8，9，15 计计 23,26 第第第第3 3 3 3章章章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物理大学物理大学物理大学物理A A教案教案教案教案*3.5 进进 动动 绕自身对称轴高速旋转的物体绕自身对称轴高速旋转的物体,在外力矩的作用下在外力矩的作用下,其对称其对称轴绕一固定轴的回转运动称为轴绕一固定轴的回转运动称为旋进旋进(进动进动)(precession)。陀螺的运动陀螺的运动OZ第第第第3 3 3 3章章章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物理大学物理大学物理大学物理A A教案教案教案教案可用角动量守恒定理来解释回转仪的旋进。可用角动量守恒定理来解释回转仪的旋进。回转仪回转仪飞轮对自身轴也即对飞轮对自身轴也即对o点的角动点的角动量量飞轮受重力矩飞轮受重力矩使使 方向改变方向改变,而大小不变而大小不变.因为 自转轴将在水平面内逆时针方向自转轴将在水平面内逆时针方向(俯视俯视)回转回转 进动现象是自旋进动现象是自旋(spin)的物体在外力距作用下，沿外力矩方的物体在外力距作用下，沿外力矩方向不断改变其自旋角动量方向的结果。向不断改变其自旋角动量方向的结果。进动的解释：进动的解释：第第第第3 3 3 3章章章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物理大学物理大学物理大学物理A A教案教案教案教案问题问题1、一个人站在有光滑固定转轴的转动平台上一个人站在有光滑固定转轴的转动平台上,双臂伸双臂伸直水平地举起二哑铃直水平地举起二哑铃,在该人把此二哑铃水平收缩到胸前的在该人把此二哑铃水平收缩到胸前的过程中过程中,人、哑铃与转动平台组成的系统的人、哑铃与转动平台组成的系统的（A）机械能守恒机械能守恒,角动量守恒角动量守恒;（B）机械能守恒机械能守恒,角动量不守恒角动量不守恒,（C）机械能不守恒机械能不守恒,角动量守恒角动量守恒;（D）机械能不守恒机械能不守恒,角动量不守恒角动量不守恒.问题讨论问题讨论第第第第3 3 3 3章章章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物理大学物理大学物理大学物理A A教案教案教案教案问题问题2、人造地球卫星，绕地球作椭圆轨道运动，地球人造地球卫星，绕地球作椭圆轨道运动，地球在椭圆的一个焦点上，则卫星的在椭圆的一个焦点上，则卫星的(A)动量不守恒，动能守恒；动量不守恒，动能守恒；(B)动量守恒，动能不守恒；动量守恒，动能不守恒；(C)角动量守恒，动能不守恒；角动量守恒，动能不守恒；(D)角动量不守恒，动能守恒。角动量不守恒，动能守恒。