线路勘测：第五章 测量误差的基本知识

第五章 测量误差的基本知识 测量误差概述 评定精度的指标 误差传播定律 等精度直接观测平差 不等精度直接观测平差第一节第一节 测量误差概述测量误差概述一、测量误差及其来源一、测量误差及其来源1 1、测量误差、测量误差测测量量人人员员的的主主要要任任务务:观观测测、记记录录计计算算、数据处理分析。数据处理分析。测量误差总是存在的。测量误差总是存在的。真值和真误差真值和真误差真误差真误差:观测值观测值L L 与与 真值真值X X 之间的差值，用之间的差值，用 表示。表示。真值：真值：代表观测值代表观测值L L 真正大小的数值，用真正大小的数值，用 X X 表示。表示。一般情况下，一般情况下，很难求得。很难求得。当观测值中只有偶然误差时，当观测值中只有偶然误差时，E E(L L)=)=X X。=L L-X X不等精度观测不等精度观测:观测条件不同的各次观测，其结果具有不同精度。观测条件不同的各次观测，其结果具有不同精度。等精度观测等精度观测:观测条件相同的各次观测，其结果具有相同精度。观测条件相同的各次观测，其结果具有相同精度。2 2、测量误差的来源测量误差的来源观观测测条条件件观测者观测者仪器（工具）仪器（工具）外界条件外界条件二、测量误差的分类二、测量误差的分类1 1、系统误差系统误差(Systematic Errors)(Systematic Errors)2 2、偶然误差偶然误差(Random Errors)(Random Errors)粗差粗差(blunders)(blunders)系统误差是可以被消除和减弱的。系统误差是可以被消除和减弱的。整体上遵从一定的统计规律性；整体上遵从一定的统计规律性；数学上又称随机误差。数学上又称随机误差。有限性：有限性：在一定的观测条件下，偶然误差的绝对在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值；值不会超过一定的限值；抵抵偿偿性性：当当观观测测次次数数无无限限增增多多时时，偶偶然然误误差差的的算算术平均值趋近于零。即术平均值趋近于零。即 集中性：集中性：绝对值较小的误差比绝对值较大的误差绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大；出现的概率大；对称性：对称性：绝对值相等的正误差和负误差出现的概绝对值相等的正误差和负误差出现的概率相同；率相同；其中其中 偶然误差的四个特性偶然误差的四个特性本本 节节 小小 结结系统误差系统误差偶然误差偶然误差4个特性个特性测量误差测量误差第二节第二节 评定精度的指标评定精度的指标一、中误差一、中误差1 1、定义、定义标准差标准差中误差中误差 在一定的观测条件下，标准差是一个固定的常数；在一定的观测条件下，标准差是一个固定的常数；中误差则是随着观测次数的多少及读取的观测值大小中误差则是随着观测次数的多少及读取的观测值大小而改变的随机变量，当观测次数逐渐增大时，中误差逐而改变的随机变量，当观测次数逐渐增大时，中误差逐渐趋近于标准差。渐趋近于标准差。反映一组误差反映一组误差离散程度离散程度的指标。的指标。二、相对误差二、相对误差【例例】分别丈量了分别丈量了100m100m及及200m200m的两段距离，观测的两段距离，观测值的中误差均为值的中误差均为2cm2cm，试比较两者的观测成果质，试比较两者的观测成果质量。量。观测值的观测值的相对误差相对误差K K :中误差的绝对值与观测值中误差的绝对值与观测值之比之比，用分子为用分子为1 1表示。表示。三、容许误差三、容许误差1 1、极限误差、极限误差2 2、容许误差、容许误差本本 节节 小小 结结中误差中误差容许误差容许误差相对误差相对误差衡量精度的指标衡量精度的指标第三节第三节 误差传播定律误差传播定律一、误差传播定律一、误差传播定律1 1、定义：说明观测值的中误差与其函数的中误、定义：说明观测值的中误差与其函数的中误差之间关系的定律。差之间关系的定律。h=a-bmh=?3 3、总结求解步骤、总结求解步骤（2 2）求出真误差关系式。求出真误差关系式。（3 3）求出中误差关系式求出中误差关系式（1 1）列出独立观测量的函数式：列出独立观测量的函数式：对函数式进行全微分，系数对函数式进行全微分，系数 均为常数均为常数常用函数的中误差公式常用函数的中误差公式 倍数函数倍数函数 和差函数和差函数 线性函数线性函数【例例5-25-2】在比例尺为在比例尺为1 1：500500的地形图上，量得两的地形图上，量得两点的长度为点的长度为d d=23.4 mm=23.4 mm，其中误差，其中误差m md d=0.2 mm0.2 mm，求该两点的实际距离求该两点的实际距离D D 及其中误差及其中误差m mD D。解：函数关系式解：函数关系式:D D=MdMd两点的实际距离结果可写为两点的实际距离结果可写为11.7 m11.7 m0.1 m0.1 m。二、误差传播定律的应用二、误差传播定律的应用【例例5-55-5】图根水准测量中，已知每次读水准尺的图根水准测量中，已知每次读水准尺的中误差为中误差为m mi i=2 mm2 mm，假定视距平均长度为，假定视距平均长度为50 m50 m，若以若以3 3倍中误差为容许误差，试求在测段长度为倍中误差为容许误差，试求在测段长度为L L kmkm的水准路线上，图根水准测量往返测所得高差闭的水准路线上，图根水准测量往返测所得高差闭合差的容许值。合差的容许值。解：解：用用DJ6DJ6经纬仪观测三角形内角时，每个内角观经纬仪观测三角形内角时，每个内角观测测4 4个测回取平均，可使得三角形闭合差个测回取平均，可使得三角形闭合差 m m1515 。例例5-6 5-6 要求三角形最大闭合差要求三角形最大闭合差m m1515，问用，问用DJ6DJ6经纬仪观测三角形每个内角时须用几个测回？经纬仪观测三角形每个内角时须用几个测回？=(=(1 1+2 2+3 3)-180)-180 解：由题意：解：由题意：2m=2m=1515,则则 m=m=7.57.5 每个角的测角中误差：每个角的测角中误差：由于由于DJ6DJ6一测回角度中误差为：一测回角度中误差为：由角度测量由角度测量n n测回测回取平均值的中误差公式：取平均值的中误差公式：本本 节节 小小 结结2 2、求出真误差关系式。、求出真误差关系式。3 3、求出中误差关系式。、求出中误差关系式。1 1、列出独立观测量的函数式：、列出独立观测量的函数式：对函数式进行全微分，系数对函数式进行全微分，系数 均为常数均为常数误差传播定律误差传播定律一、等精度观测值的最或然值一、等精度观测值的最或然值设对某未知量进行了一组等精度观测，观测值分设对某未知量进行了一组等精度观测，观测值分别为别为L L1 1，L L 2 2，L Ln n，该量的真值设为，该量的真值设为X X，各观测，各观测值的真误差为值的真误差为1 1，2 2，n n。i i=L Li i-X X （i i=1=1，2 2，n n）第四节第四节 等精度直接观测平差等精度直接观测平差将各式取和再除以次数将各式取和再除以次数n n 当当观测次数无限多时，观测值的算术平均值就是该观测次数无限多时，观测值的算术平均值就是该 量的真值；量的真值；当当观测次数有限时，观测值的观测次数有限时，观测值的算术平均算术平均 值最接近真值值最接近真值。所以，算术平均值是。所以，算术平均值是最或是值。最或是值。二、评定精度二、评定精度1 1、观测值的中误差、观测值的中误差（适用于真值已知的情况）（适用于真值已知的情况）由真误差计算由真误差计算由改正数计算由改正数计算改正数的特性改正数的特性:改正数的定义改正数的定义:2 2、最或然值的中误差、最或然值的中误差一组等精度观测值为一组等精度观测值为L L1 1、L L2 2、L Ln n，其中误差均相，其中误差均相同，设为同，设为m m，最或然值，最或然值x x即为各观测值的算术平均即为各观测值的算术平均值。则有值。则有算术平均值的中误差算术平均值的中误差M:M:本本 节节 小小 结结等精度直接观测值的最或然值等精度直接观测值的最或然值各观测值的算术平均值。各观测值的算术平均值。算术平均值的中误差算术平均值的中误差M:M: