2022～2023学年广东省深圳市普通高中高一年级下册学期期末数学试题

2022-2023学年广东省深圳市普通高中高一下学期期末数学试题一、单选题1已知集合，则（）ABCD【答案】B【分析】根据集合交集的概念与运算，准确运算，即可求解.【详解】由集合，根据集合交集的概念与运算，可得.故选：B.2设复数满足（是虚数单位），则（）AB2CD【答案】D【分析】先利用复数的除法法则求出复数，然后由复数的求模公式计算出.【详解】因为，所以，所以.故选：D.3已知，则（）ABCD【答案】A【分析】由二倍角公式，结合平方关系转化为关于的二次齐次式，再化为，代入求值.【详解】.故选：A4某户居民今年上半年每月的用水量（单位：t）如下：月份1月2月3月4月5月6月用水量9.09.614.95.94.07.7小明在录入数据时，不小心把一个数据9.6录成96，则这组数据中没有发生变化的量是（）A平均数B中位数C极差D标准差【答案】B【分析】根据平均数、中位数、极差的计算公式计算平均数、中位数、极差，再结合标准差的定义即可判断.【详解】实际数据从小到大排序为4.0，5.9，7.7，9.0，9.6，14.9，其平均数为：，中位数为：，极差为：，录错数据从小到大排序为4.0，5.9，7.7，9.0，14.9，96，其平均数为：，中位数为：，极差为：，根据标准差的含义，标准差反映数据的离散程度可知，错误的录入一个非常大的数据会导致数据的标准差变化，所以这组数据中没有发生变化的量是中位数.故选：B5已知m，n是空间两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列命题错误的是（）A，则B，则C，则D，则【答案】C【分析】对于由线面平行的性质定理即可判定；对于,可利用排除的思想；对于,根据条件可直接判定或者与相交，错误；对于，通过构造平面，利用平面与平面所成角的大小即可判定.【详解】对于由线面平行的性质定理可知正确；对于,，或者，又则，故正确；对于,由，则或者与相交或者异面，则不一定成立，故错误；对于,若，则与一定不平行，否则有，与已知矛盾，通过平移使与相交，设与确定的平面为，则与和的交线所成的角即为和所成的角，又，所以与所成的角为，故正确.故选:.6在梯形中，若，且，则（）ABCD【答案】A【分析】根据平面向量的基本定理化简，可得答案.【详解】由题意，化简得，即，则，故选：A.7已知正实数m，n满足，则下列不等式恒成立的为（）ABCD【答案】C【分析】利用基本不等式逐一分析判断即可.【详解】对于A，当且仅当时，取等号，所以，故A错误；对于B，因为，所以，所以，当且仅当时，取等号，所以，故B错误；对于C，当且仅当，即时，取等号，所以，故C正确；对于D，因为，所以，所以，当且仅当时，取等号，所以，故D错误.故选：C.8已知函数，则不等式的解集为（）ABCD【答案】B【分析】判断出函数的奇偶性和单调性，再由偶函数的定义和增函数的定义化简不等式，得出解集.【详解】函数的定义域为，且，即是偶函数，当时，构造，令，则在上单调递增，又也是增函数，则在上单调递增，又是定义域内的增函数，故在上单调递增，不等式等价于，即，平方得：，解得且，则不等式的解集为.故选：B.二、多选题9已知函数，则（）A的最小正周期为B的图象关于对称C的图象关于对称D在上单调递减【答案】AC【分析】通过分析函数的周期，对称性和单调区间即可得出结论.【详解】由题意，在中，A正确；B项，函数关于对称，在中，解得：，当时，故B错误.C项，在函数中，函数关于对称，在中，解得：当时，C正确；D项，在函数中，函数在上单调递减，在中，当函数单调递减时，解得：，在上单调递减，在在上单调递增，D错误.故选：AC.三、单选题10将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，记事件“第一次出现奇数点”，事件“两次点数之积为偶数”，事件“两次点数之和为5”，则（）A事件是必然事件B事件与事件是互斥事件C事件包含事件D事件与事件是相互独立事件【答案】ACD【分析】列出事件A，B，C，AC的基本事件，再利用事件的基本关系判断.【详解】解：事件A的基本事件有：，事件B的基本事件有： ，事件C的基本事件有： ，事件AC的基本事件有： ，A.事件是必然事件，故正确；B.因为，所以事件与事件不是互斥事件，故错误；C.因为，所以事件包含事件，故正确；D.因为，所以 ，所以事件与事件是相互独立事件，故正确；故选：ACD四、多选题11用表示不超过的最大整数，例如，.已知，则（）AB为奇函数C，使得D方程所有根的和为【答案】AD【分析】代入计算判断A，根据奇函数性质判断B，根据的定义对函数作差判断C，根据求出根的范围，然后化简方程求解方程的根判断D.【详解】对于A，正确；对于B，举反例，当时，而，所以，故函数不是奇函数，错误；对于C，根据的定义，可知对，有，所以，所以，错误；对于D，即，所以，即，又，所以，解得，当时，满足方程，即是方程的根，当时，方程化为，解得，故方程所有根的和为，正确.故选：AD12在直三棱柱中，且，为线段上的动点，则（）AB三棱锥的体积不变C的最小值为D当是的中点时，过三点的平面截三棱柱外接球所得的截面面积为【答案】ABD【分析】由线面垂直证明线线垂直证明选项A；，由底面积和高判断体积验证选项B；转化为点和点到点的距离之和，计算验证选项C；通过构造直角三角形求截面半径，计算体积验证选项D.【详解】连接，如图所示，直三棱柱中，为正方形，平面，平面，平面，平面，平面，A选项正确；由直三棱柱的结构特征，故三棱锥的体积为定值，B选项正确；设，其几何意义是点和点到点的距离之和，最小值为点到点的距离，为，C选项错误；当是的中点时，设点到平面的距离为，由，得，直三棱柱是正方体的一半，外接球的球心为的中点，外接球的半径，点到平面的距离为，则过三点的平面截三棱柱外接球所得截面圆的半径为，截面面积为，D选项正确.故选：ABD【点睛】方法点睛：对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键；与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，通过构造直角三角形求半径.五、填空题13 .【答案】【分析】利用对数、指数的性质及运算法则直接求解.【详解】.故答案为：14母线长为的圆锥，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为 .【答案】【分析】由已知求出底面圆的半径，再由勾股定理求出圆锥的高，代入体积公式计算即可.【详解】设圆锥的底面半径为，由题意，圆锥的母线长为，且其侧面展开图是圆心角为的扇形，则底面周长为，解得，则该圆锥的体积为.故答案为：.15高中数学兴趣小组计划测量某大厦的高度，选取与底部在同一水平面内的两个基测点与.现测得，米，在点测得大厦顶的仰角，则该大厦高度 米（精确到1米）.参考数据：，.【答案】【分析】在中，利用正弦定理求出，再解即可.【详解】在中，米，则，因为，所以米，在中，则，所以米.故答案为：.16四边形中，点分别是的中点，点满足，则的最大值为 .【答案】【分析】利用向量加法运算及数量积定义得，然后利用数量积的运算律得，设出向量夹角，从而，利用余弦函数求解最值即可.【详解】因为，又点分别是的中点，所以，所以，又，所以，又点分别是的中点，所以，因为，所以，即，设，则，所以，所以，所以当即时，有最大值1，即有最大值为.故答案为：【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时注意数量积运算律的应用.六、解答题17已知函数，其中，且.(1)求；(2)若，求的值域.【答案】(1)(2)【分析】（1）代入，即可求的值；（2）根据（1）的结果，首先求的范围，再结合三角函数的性质，求函数的值域.【详解】（1），得；（2），当时，即，函数取得最小值，当时，即，函数取得最大值，所以函数的值域是.18在中，角所对的边分别为，且.(1)求；(2)若，求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）首先根据正弦定理边角互化，再根据三角恒等变换，计算求得角；（2）根据条件结合余弦定理计算边，再代入面积公式计算即可.【详解】（1）因为中，由正弦定理可得，得，因为，所以，因为，所以.（2）由余弦定理得，因为，所以，所以，因为，所以，所以的面积为.19已知函数（且）在上的最大值为.(1)求的值；(2)当时，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【分析】（1）分和两种情况讨论，根据对数函数的单调性得出最大值，列方程解出的值；（2）将代入不等式，参变分离化简，并求出的最大值，可得实数的取值范围.【详解】（1）当时，函数在上单调递增，则，解得；当时，函数在上单调递减，则，舍去；综上可知，；（2）由（1）得，当时，即，化简得，构造，和分别在上单调递增，在上单调递增，故实数的取值范围是.20某工厂引进了一条生产线，为了解产品的质量情况，现从生产线上随机抽取100件产品，测量其技术参数，得到如图所示的频率分布直方图.(1)由频率分布直方图，估计样本技术参数的平均数和75%分位数（精确到0.1）；(2)现从技术参数位于区间，的三组中，采用分层抽样的方法抽取6件产品，再从这6件产品中任选3件产品，记事件“这3件产品中技术参数位于区间内的产品至多1件”，事件“这3件产品中技术参数位于区间内的产品至少1件”，求事件的概率.【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用频率分布直方图中平均数和百分位数的计算法则计算即可；（2）先利用分层抽样确定各组的抽取产品数，然后列举试验的总的基本事件个数和事件包含的基本事件个数，利用古典概型概率公式计算即可.【详解】（1）由频率分布直方图知，样本技术参数的平均数，因为前三组的频率之和为，第四组的频率为，所以第75百分位数一定在第四组，设第75百分数为x，则，解得，所以第75百分数约为.（2）采用分层抽样的方法，从技术参数唯一区间，三组的产品中抽取6件产品，则从技术参数位于区间的产品应抽取件，记为，从技术参数位于区间的产品应抽取件，记为，从技术参数位于区间的产品应抽取件，记为，从这6件产品中任选3件产品，样本空间，则，事件包含了三类，一是在这三组分别抽取1件，1件，1件；二是在这三组分别抽取0件，2件，1件；三是在这三组分别抽取1件，2件，0件.则，所以.21如图，三棱锥的三个顶点在圆上，为圆的直径，且，平面平面，点是的中点.(1)证明：平面平面；(2)点是圆上的一点，且点与点位于直径的两侧.当平面时，画出二面角的平面角，并求出它的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)详见解析，.【分析】（1）要证明平面平面ABC，只需证明平面PAC即可；（2）建立空间坐标系，运用空间向量求解.【详解】（1）因为点C在圆O上，又，所以是等腰直角三角形，即，由条件：平面平面PBC，平面平面 平面PBC，平面PBC，又，平面PAC，平面PAC，平面PAC，又平面ABC，平面平面ABC；（2）取AC的中点M，连接PM，则，由（1）可知平面平面ABC，平面平面，平面ABC， 连接OM，OE，OF，则OM是中BC边的中位线，平面ABC，即PM，AC，OM两两垂直，以M为原点，AC，OM，PM分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如下图：由于O，E分别是AB，PB的中点，连接BM，取BM的中点N，连接EN，则有，平面ABC，平面ABC，平面ABC，过N点作FB的垂线，得垂足S，平面ENS，平面ENS，就是二面角的平面角；平面PAC，平面PAC，平面PAC，平面平面PAC，平面EFO，平面PAC，平面ABC，其中，设平面的一个法向量为，则，令，得，显然平面ABC的一个法向量，设平面ABC与平面EFB的二面角为，则，综上，二面角的余弦值为.22已知函数，与的图象恰有三个交点.(1)求实数的取值范围；(2)用表示中的最大值，设函数，用M，m分别表示的最大值与最小值，求M，m，并求出的取值范围.【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）将写成分段函数的性质，并得到是两函数的一个交点，考虑时，不满足要求，再考虑时，结合两函数的交点横坐标，列出不等式组，求出需要满足的条件；（2）在（1）的基础上，分，和，求出相应的M，m，和的取值范围.【详解】（1）由题意得，显然，且是函数与的图象的一个交点，当时，在上恒成立，与的图象无交点，在上，与的图象至多有1个交点，不合要求，舍去；当时，与的图象有且仅有2个交点，不合要求，舍去；当时，若函数与的图象有3个交点，则方程均有正根，解得，由，可得，所以实数的取值范围是；（2）由（1）可知，当时，与的图象有3个交点，两个非零交点的横坐标分别为，当时，当时，当时，当时，当时，在上为增函数，且为增函数，故在上为增函数，.当时，且在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数，故，；当时，且在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数，故，；综上，当时，；当时，；当时，；当时，的取值范围为【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.