2022～2023学年广东省茂名市电白区高二年级下册学期期中数学试题

2022-2023学年广东省茂名市电白区高二下学期期中数学试题一、单选题1某同学从4本不同的科普杂志，3本不同的文摘杂志，2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读，则不同的选法共有（）A24种B9种C3种D26种【答案】B【分析】所选的杂志可以分成3类，求出每类杂志任选一本的方法，然后相加，即可求出结论.【详解】某同学从4本不同的科普杂志任选1本，有4种不同选法，从3本不同的文摘杂志任选1本，有3种不同的选法，从2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本，有2种不同的选法，根据分类加法原理可得，该同学不同的选法有：种.故选：B.【点睛】本题考查分类加法计数原理，属于基础题.2下列导数运算正确的是（）ABCD【答案】D【分析】利用基本初等函数求导公式及导数的四则运算法则进行计算.【详解】，A错误；，B错误；，C错误，D正确.故选：D3已知函数的图象上一点及邻近一点，则（）A4BCD【答案】C【分析】根据函数解析式，代入计算可得选项.【详解】解：，故选：C4有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（）A12种B24种C36种D48种【答案】B【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，故选：B5随机变量的分布列如下表，且E()1.1，则D()()01xPpA0.36B0.52C0.49D0.68【答案】C【详解】根据，由，故.6在展开式中，下列说法错误的是（）A常数项为B第项的系数最大C第项的二项式系数最大D所有项的系数和为【答案】B【分析】由二项式定理可得展开式通项；令即可求得常数项，知A正确；若系数最大，则需，由此可确定系数最大项，知B错误；由展开式共有项可知C正确；令即可得到D正确.【详解】展开式的通项为：；对于A，令，解得：，常数项为，A正确；对于B，由通项公式知：若要系数最大，所有可能的取值为，则，展开式第项的系数最大，B错误；对于C，展开式共有项，则第项的二项式系数最大，C正确；对于D，令，则所有项的系数和为，D正确.故选：B.7为的导函数，的图象如图所示，则函数的图象可能为（）ABCD【答案】B【分析】根据导数的正负决定函数的增减，以及导数的几何意义即可得出正确选项.【详解】导数正负决定函数的增减，根据导数先正，后负，后正，所以函数图像先增后减再增，应从B，C中选取，再根据导数的几何意义是切线斜率，所以当是很大的正数的时候导数越来越大，即切线斜率越来越大，所以应选B，不选C.故选：B.8方形是中国古代城市建筑最基本的形态，它体现的是中国文化中以纲常伦理为代表的社会生活规则，中国古代的建筑家善于使用木制品和竹制品制作各种方形建筑.如图，用大小相同的竹棍构造一个大正方体（由个大小相同的小正方体构成），若一只蚂蚁从点出发，沿着竹棍到达点，则蚂蚁选择的不同的最短路径共有（）A种B种C种D种【答案】D【分析】分析可知从到最少需要步完成，其中有步是横向的，步是纵向的，步是竖向的，利用组合计数原理结合分步乘法计数原理可得结果.【详解】由题意可知，从到最少需要步完成，其中有步是横向的，步是纵向的，步是竖向的，则蚂蚁选择的不同的最短路径共有种.故选：D.二、多选题9下列各式中，等于的是（）ABCD【答案】CD【分析】根据排列数公式依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A，故A错误.对选项B，故B错误.对选项C，故C正确.对选项D，故D正确.故选：CD10已知函数，则（）A有两个极值点B有三个零点C点是曲线的对称中心D直线是曲线的切线【答案】AC【分析】利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.【详解】由题，令得或，令得，所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确；因，所以，函数在上有一个零点，当时，即函数在上无零点，综上所述，函数有一个零点，故B错误；令，该函数的定义域为，则是奇函数，是的对称中心，将的图象向上移动一个单位得到的图象，所以点是曲线的对称中心，故C正确；令，可得，又，当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.故选：AC.11已知，则（）A展开式中所有项的二项式系数和为B展开式中所有奇数项系数和为C展开式中所有偶数项系数和为D【答案】ABD【分析】根据二项式系数的公式即可判断A,由赋值法即可判断BCD.【详解】A项，二项式系数之和为，故A正确；， 当时，当时，B项，可得，故B正确；C项，可得，故C错误；D项，令，则，令，则，故D正确.故选:ABD12若函数（是自然对数的底数）在的定义域上单调递增，则称函数具有M性质下列函数中具有M性质的为（）ABCD【答案】AD【分析】根据新定义，由函数的单调性，逐一判断各个选项是否满足条件，从而得出结论【详解】当时，的定义域为R，函数，由，则在R上单调递增，函数具有M性质，故A选项正确；当时，的定义域为R，函数，由，则在R上单调递减，函数不具有M性质，故B选项不正确；当时，的定义域为R，函数，当时，单调递减，故函数不具有M性质，故C选项不正确；当时，的定义域为R，函数，则在R上单调递增，函数具有M性质，故D选项正确.故选：AD三、填空题13 .（写出具体数学表示）【答案】84【分析】根据组合数的性质和公式即可求解.【详解】=84.故答案为：8414设随机变量的方差，则的值为 .【答案】9【分析】根据方差的性质即可求解.【详解】.故答案为：915曲线上的点到直线的最短距离是 .【答案】【详解】时到直线的距离最短，最短距离为.16杨辉是中国南宋时期的杰出数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，其中蕴藏了许多优美的规律.设，若的展开式中，存在某连续三项，其二项式系数依次成等差数列.则称具有性质P.如的展开式中，二、三、四项的二项式系数为7，21，35，依次成等差数列，所以具有性质P.若存在，使具有性质P，则n的最大值为 .【答案】【分析】根据连续三项二项式系数成等差数列可列出，根据组合数公式进行整理可得：，可知为完全平方数，分析可知.【详解】解：由题意得：，整理可得：即：为完全平方数又且不是完全平方数，是完全平方数，的最大值为：故答案为：四、解答题17已知直线l1为曲线yx2+x2在点（1，0）处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1l2（）求直线l2的方程；（）求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积【答案】（I）（II）【分析】（I）先利用导数求出在x1处的导函数值，再结合l1l2即可求出切线的斜率从而问题解决（II）先通过解方程组得直线l1和l2的交点的坐标和l1、l2与x轴交点的坐标，即可求三角形的面积【详解】（I）y2x+1直线l1的方程为y3x3设直线l2过曲线yx2+x2上的点B（b，b2+b2），则l2的方程为y（b2+b2）（2b+1）（xb）因为l1l2，则有k22b+1所以直线l2的方程为（II）解方程组得所以直线l1和l2的交点的坐标为l1、l2与x轴交点的坐标分别为（1，0）、所以所求三角形的面积【点睛】本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程的基础知识，考查运算求解能力，属于基础题18袋子中装有大小形状完全相同的5个小球，其中红球3个白球2个，现每次从中不放回的取出一球，直到取到白球停止（1）求取球次数的分布列；（2）求取球次数的期望和方差【答案】（1）见解析（2），【分析】根据相互独立事件概率求出离散型随机变量的分布列、期望和方差.【详解】解：（1）由题设知，则的分布列为1234（2）则取球次数的期望，的方差.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、期望和方差，属于中档题.19从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛.（1）如果4人中男生女生各选2人，那么有多少种选法？（2）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法？（3）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？（4）如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？【答案】（1）60；（2）21；（3）91；（4）120【分析】（1）根据要求直接选取即可；（2）在剩下的7人中任选2人即可；（3）包含两种情况，第一种甲和乙都在内，第二种情况，甲乙选1人；（4）从所有9人中选4人，去掉只有男生和只有女生的情况.【详解】（1）如果4人中男生女生各选2人，有种选法；（2）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，则在剩下的7人中任选2人，有种选法；（3）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，包含两种情况，第一种甲和乙都在内的选法有种，第二种情况，甲乙选1人，有种选法，则如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，共有种选法；（4）如果4人中必须既有男生又有女生，先从所有9人中选4人，去掉只有男生和只有女生的情况，故有种选法.20同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95，0.90，0.80，三家产品数所占比例为235，混合在一起(1)从中任取一件，求此产品为正品的概率；(2)现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？【答案】(1)0.86(2)这件产品由丙厂生产的可能性最大【分析】（1）设事件A表示取到的产品为正品，B1，B2，B3分别表示产品由甲、乙、丙厂生产，由全概率公式计算可得；（2）由贝叶斯公式计算可得，【详解】（1）设事件A表示取到的产品为正品，B1，B2，B3分别表示产品由甲、乙、丙厂生产则B1B2B3，且B1，B2，B3两两互斥，由已知P(B1)0.2，P(B2)0.3，P(B3)0.5，P(A|B1)0.95，P(A|B2)0.9，P(A|B3)0.8.由全概率公式得P(A) (Bi)P(A|Bi)0.20.950.30.90.50.80.86.（2）由贝叶斯公式得P(B1|A)，P(B2|A)，P(B3|A).由以上3个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性最大，由甲厂生产的可能性最小21已知函数在处取得极大值为2(1)求函数的解析式；(2)若对于区间上任意两个自变量的值都有，求实数的最小值【答案】(1)(2)4【分析】（1）根据题意可得，解方程组即可得出答案；（2）利用导数求出函数的单调区间，从而可求得函数在上的最值，对于区间上任意两个自变量的值都有，则，从而可得出答案.【详解】（1）解：，因为函数在处取得极大值为2，所以，解得，经检验符合题意，所以；（2）解：，当或时，当时，所以函数在和上递增，在上递减，又，所以当时，对于区间上任意两个自变量的值都有，则，所以，所以实数的最小值为422已知函数(1)当时，讨论的单调性；(2)当时，求a的取值范围；(3)设，证明：【答案】(1)的减区间为，增区间为.(2)(3)见解析【分析】（1）求出，讨论其符号后可得的单调性.（2）设，求出，先讨论时题设中的不等式不成立，再就结合放缩法讨论符号，最后就结合放缩法讨论的范围后可得参数的取值范围.（3）由（2）可得对任意的恒成立，从而可得对任意的恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.【详解】（1）当时，则，当时，当时，故的减区间为，增区间为.（2）设，则，又，设，则，若，则，因为为连续不间断函数，故存在，使得，总有，故在为增函数，故，故在为增函数，故，与题设矛盾.若，则，下证：对任意，总有成立，证明：设，故，故在上为减函数，故即成立.由上述不等式有，故总成立，即在上为减函数，所以.当时，有，所以在上为减函数，所以.综上，.（3）取，则，总有成立，令，则，故即对任意的恒成立.所以对任意的，有，整理得到：，故，故不等式成立.【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式.