《线性回归方程》课件

线 性 回 归 方 程 有 些 教 师 常 说 ： “ 如 果 你 的 数 学 成 绩 好 ， 那么 你 的 物 理 学 习 就 不 会 有 什 么 大 问 题 ” 按 照 这 种说 法 ， 似 乎 学 生 的 物 理 成 绩 与 数 学 成 绩 之 间 也 存在 着 某 种 关 系 。 你 如 何 认 识 它 们 之 间 存 在 的 关 系 ？物 理 成 绩 数 学 成 绩 学 习 兴 趣 学 习 时 间 其 他 因 素结 论 ： 变 量 之 间 除 了 函 数 关 系 外 ， 还 有 。问 题 引 入 ： 函 数 关 系 -变 量 之 间 是 一 种 确 定性 的 关 系 .如 :圆 的 面 积 S和 半 径 r之 间的 关 系 . 相 关 关 系 变 量 之 间 有 一 定 的 联系 ,但 不 能 完 全 的 用 函 数 来 表 达 . 一 般来 说 ,身 高 越 高 ,体 重 越 重 ,但 不 能 用 一个 函 数 来 严 格 地 表 示 身 高 与 体 重 之 间的 关 系 .(非 确 定 性 关 系 )变 量 之 间 的 关 系 函 数 关 系 是 一 种 确 定 的 关 系 ；相 关 关 系 与 函 数 关 系 的 异 同 点 ：均 是 指 两 个 变 量 的 关 系 问 题 ： 举 一 两 个 现 实 生 活 中 的 问 题 ， 问 题 所 涉 及 的变 量 之 间 存 在 一 定 的 相 关 关 系 。（ 1） 父 母 的 身 高 与 子 女 身 高 之 间 的 关 系（ 2） 商 品 销 售 收 入 与 广 告 支 出 经 费 之 间 的 关 系（ 3） 粮 食 产 量 与 施 肥 量 之 间 的 关 系 例 ： 相 关 关 系 是 一 种 非 确 定 关 系 .相 同 点 ：不 同 点 ： 问 题 ： 某 小 卖 部 为 了 了 解 热 茶 销 售 量 与 气 温之 间 的 关 系 ， 随 机 统 计 并 制 作 了 某 6天卖 出 热 茶 的 杯 数 与 当 天 气 温 的 对 照 表 ：气 温/0C 26 18 13 10 4 -1杯 数 20 24 34 38 50 64如 果 某 天 的 气 温 是 -50C， 你 能 根 据 这 些数 据 预 测 这 天 小 卖 部 卖 出 热 茶 的 杯 数 吗 ? 为 了 了 解 热 茶 销 量 与气 温 的 大 致 关 系 ,我 们以 横 坐 标 x表 示 气 温 ，纵 坐 标 y表 示 热 茶 销 量 ，建 立 直 角 坐 标 系 .将 表中 数 据 构 成 的 6个 数 对表 示 的 点 在 坐 标 系 内标 出 ， 得 到 下 图 。 今后 我 们 称 这 样 的 图 为散 点 图 (scatterplot). 选 择 怎 样 的 直 线 近 似 地 表 示 热 茶 销 量 与 气温 之 间 的 关 系 ? 我 们 有 多 种 思 考 方 案 :(1)选 择 能 反 映 直 线 变 化 的 两 个 点 ,例 如 取(4,50),(18, 24)（ 2） 取 一 条 直 线 ,使 得 位 于 该 直 线 一 侧 和另 一 侧 的 点 的 个 数 基 本 相 同 ；（ 3） 多 取 几 组 点 ,确 定 几 条 直 线 方 程 ,再 分别 算 出 各 条 直 线 斜 率 、 截 距 的 平 均 值 ,作 为所 求 直 线 的 斜 率 、 截 距 ； 怎 样 的 直 线 最 好 呢 ?这 两 点 的 直 线 ； 建 构 数 学 y bx a y bx a 1.最 小 二 乘 法 ： 用 方 程 为的 点 ， 应 使 得 该 直 线 与 散 点 图 中 的 点 最 接 近那 么 ， 怎 样 衡 量 直 线 与 图 中 六个 点 的 接 近 程 度 呢 ？ 的 直 线 拟 合 散 点 图 中y x26 ,18 ,13 ,10 , 4 ,b a b a b a b a b a b a 我 们 将 表 中 给 出 的 自 变 量代 入 直 线 方 程 ,得 到 相 应 的 六 个 值 ：的 六 个 值 它 们 与 表 中 相 应 的 实 际 值 应 该 越 接 近 越 好 . 2 22 22 22 2( , ) (26 20) (18 24)(13 34) (10 38)(4 50) ( 64)1286 6 140 3820 460 10172Q a b b a b ab a b ab a b ab a ab b a 所 以 ,我 们 用 类 似 于 估 计 平 均 数 时 的思 想 ,考 虑 离 差 的 平 方 和 y bx a ,a b ( , )Q a b与 图 中 六 个 点 的 接 近 程 度 ,所 以 ,设 法取 达 到 最 小 值 .的 值 ,使这 种 方 法 叫 做 最 小 平 方 法 (又 称 最 小二 乘 法 ) . ( , )Q a b y bx a 是 直 线在 垂 直 方 向 (纵 轴 方 向 )上 的 距 离 的 平方 和 ,可 以 用 来 衡 量 直 线 与 各 散 点 2 22 22 2 ( , ) 1286 6 140 3820 460 101721286 (140 3820) 6 460 10172140 38201286( .)128670 19101286( ) . 128670 1910 ( )1286 Q a b b a ab b ab a b a aab bab ab f b 把 a看 作 常 数 ， 那 么 Q是 关 于 b的 二 次 函 数 记 为 f(b)f(b) 当 时 ， 取 最 小 值 2 22 2( ) 6 (140 460) 1286 3820 10172140 4606( .)670 2306( ) .670 230 ( )6f a a b a b bba ababa f a 把 b看 作 常 数 ， 那 么 Q是 关 于 a的 二 次 函 数 记 为 f(a)当 时 ， 取 最 小 值 0 70 1910128670 23061.6477,57.5568 1.6477 57.5568 5 665 66 ab Qba ba y x x y C 当 时 ， （ a,b） 取 最 小 值解 得所 求 直 线 方 程 为当 时 ，故 当 气 温 为 时 ， 热 茶 销 量 约 为 杯 。 线 性 相 关 关 系 ： 像 这 样 能 用 直 线 方 程 y bx a 近 似 表 示 的 相 关 关 系 叫 做 线 性 相 关 关 系 . 如 果 散 点 图 中 的 点 分 布 从 整 体上 看 大 致 在 一 条 直 线 附 近 我 们 就 称这 两 个 变 量 之 间 具 有 线 性 相 关 关 系 x 1x 2x 3x nxy 1y 2y 3y ny线 性 回 归 方 程 ：一 般 地 ,设 有 n个 观 察 数 据 如 下 ：2 2 21 1 2 2( ) ( ) . ( )n nQ y bx a y bx a y bx a y bx a 当 a,b使取 得 最 小 值 时 ,就 称这 n对 数 据 的 线 性 回 归 方 程 ,该 方 程 所 表示 的 直 线 称 为 回 归 直 线 . 为 拟 合 2 2 21 1 2 22 2 2 21 1 1 1 1( ) ( ) . ( )2 2 2n nn n n n ni i i i i ii i i i iQ y bx a y bx a y bx ay b x y a y b x ab x na 类 似 地 ， 我 们 可 以 推 得 ， 求 回 归方 程 中 系 数 a,b的 一 般 公 式 :y bx a 1 122 2 1 1( )( ),( )n ni i i ii in ni ii ixy nxy x x y yb x nx x xa y bx 以 上 公 式 的 推 导 较 复 杂 ， 故 不 作 推 导 ， 但 它的 原 理 较 为 简 单 ： 即 各 点 到 该 直 线 的 距 离 的 平方 和 最 小 ， 这 一 方 法 叫 最 小 二 乘 法 。 求 解 线 性 回 归 问 题 的 步 骤 :1.列 表 ( )， 画 散 点 图 .2.计 算 :3.代 入 公 式 求 a,b4.列 出 直 线 方 程 iiii yxyx , 21 1, , ,n ni i ii ix y x x y 例 题 1： 下 表 为 某 地 近 几 年 机 动 车 辆 数 与 交 通事 故 数 的 统 计 资 料 ， 请 判 断 机 动 车 辆 数 与 交通 事 故 数 之 间 是 否 具 有 线 性 相 关 关 系 ， 求 出线 性 回 归 方 程 ;如 果 不 具 有 线 性 相 关 关 系 ,说 明理 由 解 ： 在 直 角 坐 标 系 中 画 出 数 据 的 散 点 图 ，直 观 判 断 散 点 在 一 条 直 线 附 近 ， 故 具 有线 性 相 关 关 系 8 81 18 821 1 818 22211031, 128.875, 71.6, 8.95,137835, 9611.79611.7 8 128.875 8.95137835 8 128.8758.95 128.875i ii ii i ii ii ii iix x y yx x yx y nxyb x nxa y bx 将 它 们 代 入 *式 ： 0.07740.0774 -1.0241所 以 ， 所 求 线 性 回 归 方 程 为 y 0.0774x-1.0241 回 归 分 析 的 基 本 步 骤 :画 散 点 图求 回 归 方 程预 报 、 决 策 问 题 ： 有 时 散 点 图 的 各 点 并 不 集 中 在 一 条直 线 的 附 近 ， 仍 然 可 以 按 照 求 回 归 直 线 方程 的 步 骤 求 回 归 直 线 ， 显 然 这 样 的 回 归 直线 没 有 实 际 意 义 。 在 怎 样 的 情 况 下 求 得 的回 归 直 线 方 程 才 有 实 际 意 义 ？即 建 立 的 线 性 回 归 模 型 是 否 合 理 ？如 何 对 一 组 数 据 之 间 的 线 性 相 关 程度 作 出 定 量 分 析 ？ 相 关 系 数 1.计 算 公 式 2 相 关 系 数 的 性 质 (1)|r| 1 (2)|r|越 接 近 于 1， 相 关 程 度 越 强 ； |r|越 接近 于 0， 相 关 程 度 越 弱 n i ii=1n n2 2i i i=1 i=1(x -x)(y -y)r= (x -x) (y -y) 2_n1i 2i2_n1i 2i n1i _ii ynyxnx yxnyx 超 级 链 接 散 点 图 只 是 形 象 地 描 述 点 的 分 布 情 况 ， 要 想 把 握 其 特 征 ，必 须 进 行 定 量 的 研 究 相 关 关 系 与 函 数 关 系 有 怎 样 的 不 同 ？函 数 关 系 中 的 两 个 变 量 间 是 一 种 确 定 性 关 系相 关 关 系 是 一 种 非 确 定 性 关 系 函 数 关 系 是 一 种 理 想 的 关 系 模 型 相 关 关 系 在 现 实 生 活 中 大 量 存 在 ， 是 更 一般 的 情 况小 结 ：1.变 量 之 间 的 两 种 关 系 ： 确 定 性 关 系 与相 关 关 系 2。 对 于 线 性 相 关 的 两 个 变 量 用 什 么 方 法 来 刻画 之 间 的 关 系 呢 ？最 小 二 乘 法最 小 二 乘 法 估 计 线 性 回 归 方 程 ：y bx a 1 122 21 1( )( ) ,( )n ni i i ii in ni ii ix y nxy x x y yb x nx x xa y bx 数 学 统 计 画 散 点 图 了 解 最 小 二 乘 法 的 思 想 求 回 归 直 线 方 程1. 用 回 归 直 线 方 程 解 决 应 用 问 题