高数微分方程应用

7.2几种常见的一阶微分方程一阶微分方程的一般形式为0),( yyxF ),( yxfy 1.可分离变量的微分方程:0)( xg当时, dxxfxgdy )()( 两边积分得 cdxxfygdy )()(即为方程的通解. c(为任意常数)0y(如果存在一点使,0)( 0 yg则0yy 称为方程的奇解.)(其中分别是yx,的连续函数)(),( xgxf定义:把形如)()( xgxfdxdy 为可分离变量微分方程. 例7.2.1求微分方程yxdxdy 的通解解:分离变量 xdxydy 两边积分 xdxydy得122 2121 Cxy 所以 )2 ( C 122 CCxy 例7.2.2求初值问题 yxey 2 00 xy的特解.解:将已给方程分离变量dxedye xy 2两边积分 dxedye xy 2得Cee xy 221将0,0 yx代入得21C所以特解为21 2xy ee 补充例题: 222 yxydxdy 1.解: 2)12( yxdxdy 当0y时,是方程的解.是奇解dxxydy )12(2 当0y时,分离变量dxxydy )12( 2 两边积分得Cxxy 21 Cxxy 2 1 2.在化学动力学中,用单位时间内反应物浓度的减少量或反应生成物的增加量表示反应速度,若反应速度与当时反应物的浓度成正比,则称为一级反应. 0Ct设在时刻反应物的浓度为C ,初始浓度为,求反应物浓度随时间t的变化规律.解:依题意列出微分方程kCdtdC kCdtdc 分离变量dtCdc 1ln CktC 得通解ktC eetC 1)( ktae当0t时,初始浓度为0CkteCtC 0)( t)(tc o021)( CtC 得时间t为半衰期. 2.齐次微分方程:方程的解法:通常是通过xyu 变换,把齐次方程化为可分离变量微分方程,求解. xy是xy的连续函数( )定义:形如 xydxdy 的微分方程称为齐次方程.(7.2.2)令uxy uxy dxduxudxdy 代入(7.2.2)式得)(udxduxu uudxdux )(分离变量 xdxuudu )(积分得Cxxdxuudu ln)( dxdyxydxdyxy 22例7.2.3解方程解:原方程可写为22xxyydxdy 12 xyxy设uxy uxy uxdxdudxdy 12 uudxduxuxdxduuu 1两端积分 11 Cxdxduuu 1lnln Cxuu 1ln Cuux )( 1CC 令Cxyy ln得或xyC eey 1 xyCey xyxydxdy 11解:令uxy 得dxdyxudxdy uudxdyxu 11 uudxdux 11 2 xdxduuu 211 两边积分 xdxduuu 22 1u1 1 得Cxuu ln)1ln(21arctan 2所以通解为Cxxyxy ln)1ln(21arctan 22 Cyxxy 22lnarctan 例7.2.4求方程yx yxdxdy 的解 )()( xQyxPdxdy 定义:形如的方程称为一阶线性微分方程.当0)( xQ时,称为一阶线性齐次方程.当00)( xQ时,称为一阶线性非齐次方程.一阶线性齐次微分方程的通解:0)( yxPy yxPdxdy )(分离变量dxxPydy )(两边积分 cdxxPy ln)(ln所以通解为 dxxPcey )( ( c为任意常数) 3.一阶线性微分方程 dxxPdxyxQy )()(ln积分得 dxxPdxyxQ eey )()( dxyxQe )(是x的一个函数,所以令其等于)(xu则非齐次微分方程的通解为 dxxPexuy )()(一阶线性非齐次微分方程的通解:在)()( xQyxPdxdy 的两边同时除以y得dxxPdxyxQydy )()( “常数变易法”通常把齐次方程通解中任意常数变易为待定函数的求解方法,称为常数变易法.求)(xu )()()( )()( xPexuedxxdudxdy dxxPdxxP 设 dxxPexuy )()(是方程)()( xQyxPdxdy 的解 dxxPdxxP exPxuedxxdu )()( )()()( 代入式得)()()()()()( )()()( xQexuxPexPxuedxxdu dxxPdxxPdxxP dxexQxdu dxxP )()()( CdxexQxu dxxP )()()( )( )()( CdxexQey dxxPdxxp所以非齐次方程的通解为 例7.2.5解方程222 xxexyy 解法1: “用常数变易法”先解对应的齐次方程02 xydxdy xdxydy 2Cxy lnln 2 齐次方程的通解: 2xCey )2()()( 22 xexCexCy xx 代入方程得用常数变易法 设2)( xexCy 或)( 22 xxdx CeCey 2222 2)(2)2()()( xxxx xeexxCxexCexC xxC 2)( CxxC 2)(所以原方程的通解为2)( 2 xeCxy 解法2: 222 xxexyy 22)( 2)( xxexQxxP 通解为)2( 22 2 Cdxexeey xdxxxdx )2( 222 Cdxexee xxx )2(2 Cxdxe x 2)( 2 xeCx Cdyeyex dyyydyyy ln1ln1 1 Cdyeye yy lnlnlnln 1 Cydyyy ln1ln1 Cyy 2ln21ln1yyC ln21ln 例7.2.6求0)ln(ln dyyxydxy的通解yyy xdydx 1ln (以x为未知函数的一阶线性非齐次方程.)yyQyyyP 1)( ln1)( 方程的通解为解: yy yxdydx ln )ln( yyy x 1ln 伯努利方程的解法:将方程的两边同除以y得)()( 1 QyxPdxdyy 令 1yu则dxdyydxdu )1( dxdyydxdu 1 14.伯努利方程定义:形如)1,0( )()( yxQyxPdxdy的方程称为伯努利方程.其中为常数.1当时,为可分离变量微分方程.当0时,为一阶线性非齐次微分方程. 代入方程得)()(1 1 xQuxPdxdu )1)()()1( xQuxPdxdu是以u为未知函数的一阶线性非齐次微分方程.)()1()( xPxP )()1()( xQxQ 代入通解即可. 例7.2.7求方程222 yxyxy 的通解.2y解:方程两边同除以得22 12 xyxyy 令uy 1 dxdyydxdu 21代入上式得22 xuxdxdu 22 xuxdxdu 2)( 2)( xxQxxP Cdxexeu dxxdxx 222方程的通解为 Cdxexe xx ln22ln2 Cdxxx 421 Cxx 52 511235 xCx 原方程的通解为2351 xCxy 例题:一容器内盛有清水90升,现将每升含盐量为4克的盐水以每分钟6升的速率注入容器,不断搅拌使混合液迅速均匀，并以没分钟升的速率流出容器，问在t时刻容器的含盐量是多少？解：设在t时刻，容器内含盐量为)(tx，在 ttt ,时间内盐的改变量zyx zy ,）（相应设注入与流出的盐的量分别为平均变化率tztytx 当 0t时tztytx ttt 000 limlimlimt时刻的瞬时改变速度dtdzdtdydtdx lg4 90升l3分lgtx /)36(90 分l4 即：容器内某个量的变化率注入量的变化率流出量的变化率3)36(9064 txdtdx整理得2430 txdtdx ttP 301)( 24)( tQ代入通解公式求解. 一室模型：把机体当着一个动力学上的同质单元，使用于给药后，药物瞬即分布到血液及其他组织中，并达到动态平衡V表室的容积，通常称为药物的表面分布容积为时间t时体内的药量x dtdx入 dtdx出分别表示药物给药和消除速率药物动力学室模型:为了揭示药物在体内的动力学规律，便于用数学方法处理，在药物吸收，分布代谢动力学中，广泛采用简化的 室模型来研究药物在体内的和排泄的时间过程. )(txV给药消除 dtdx dtdx出入 一室模型的一般动力学方程为 dtdx dtdx入 dtdx出通常假定消除是一级速率过程，即 dtdx出kx其中k为一级速率常数.将代入有机体内药量的变化规律由给药速率 dtdx入而定. dtdx dtdx入kx单位时间内室中药物的变化率 dtdx等于输入与输出之差 按三种给药途径建立相应的一室模型快速静脉滴注在快速静脉注射情况下,可以认为一个剂量D是瞬时输入到房室内的,没有吸收过程,因为dtdx入= 0,这时体内药量减少的速度与当时体内药量成正比,初始条件为Dxt 0 .所以由式得dtdx 0kx解之，并代入初始条件，得 kxDex 描述了快速静脉注射后，机体内的药量随时间的变化规律.因为血药浓度,VxC 由方程两边同除,V得血药浓度随时间的变化规律, 即.0 ktkx eCeVDC ,0 VDC 其中表示初始( 0t时)血药浓度.恒速静脉滴注以恒定速率0k作静脉给药时, dtdx入,0k初始条件为00 tx ,所以由式得0kkx dtdx ,解方程得 ktekkx 10两边同除以,V得血药浓度C随时间t的变化规律为 ktk eVkC 10口服或肌肉注射在这种给药情况下,大多数药物输入室内(吸收入血)的过程可作为一级过程处理,有 dtdx入tkaaa aFDekxk 其中ax表示在时刻t “吸收部位”的药量，ak为一级吸收速率常数.F为所给剂量D中可吸收的分数( 10 F ),称为生物利用度.此时方程为dtdx tka aFDekkx 解之,得满足初始条件00 tx的解为 tkktaa aeekk FDkx 两边同除以,V得血药浓度C随时间t的变化规律为 tkktaa aeekkV FDkC 图形为maxCC tmto求最大血药浓度(峰浓度) maxC及其到达的时间达峰时) mt .由式得 tkakt aa aekkekkV FDkdtdC 令,0dtdC得kkkkt aam ln1代入得 mam tkktaa eekkV FDkC max tc (曲线)称为 由于0 mttdtdC ,此时, ,0 mam tkakt ekkemma ktatk ekke 代入化简得mkteVFDC max在药物动力学中, tc 曲线下的总面积(AUC)有重要作用,这是由于在一定条件下,(AUC)能反映药物最终吸收的程度.由式可计算得VkFDdttCAUC 0 )(显然,在一定剂量D , AUC与吸收分数F成正比. 关于肿瘤生长的几个常见数学模型肿瘤的生长模型是指描述肿瘤大小(体积、重量或细胞数等)与时间关系的一种数学表达式.指数生长模型: 假设肿瘤体积变化率与当时肿瘤的体积成正比,若在时间t肿瘤体积为 ,tV速率常数为k,则有 tKVdttdV 分离变量,并带入初始条件 00 VtV 得其解为其中0t为开始观察的时间.通常把这种用指数函数描述的生长称为指数生长,把指数函数称为指数生长模型,其图形称为指数生长曲线.指数生长模型 00 ttkeVtV 是一连续型模型,体积 tV随时间t的增大而迅速单调递增,通常把肿瘤体积增大一倍所需要的时间称为肿瘤倍增时间,记为dt ,倍增时间dt是研究肿瘤生长、分析肿瘤性质和类型等问题的重要参数.在指数生长的情况下,肿瘤的倍增时间ktd 2ln为常数.将常数 dtk 2ln代入式,且令00 t得 dttVtV 20设肿瘤近似为球形,D为直径,因,6 3DV 且,6 300 DV 若按直径计算,便有dttDD 30 2临床上常用该式推算肿瘤的大小. G ompertz模型研究表明,随着肿瘤的增大,倍增时间dt也不断延长,即k不是常数,可假设k的变化率随k的增大而减少,即 tkdttdk 其中为正常数,于是肿瘤生长的数学模型为 tkdttdk tVtkdttdV 若初始条件为: , 0000 VVkk tt 则由式解得 tektk 0将式代入式,得 tVekdttdV t 0求得其解为 tekeVV 10 0符合G ompertz模型生长的肿瘤，其倍增的时间为2lnln1 0 0atd ek kt Logistic模型在肿瘤生长过程中,由于营养供应受到限制等原因,将会阻滞自身的继续生长,故有 tbVtaVdttdV 2 其中a、b为正常数.假设初始条件为,00 VV t 求解贝努利方程得满足初始条件的解为atebVab aV 0称为logistic方程,也称logistic生长模型.当t时, ,batV 故ba是肿瘤生长的极限值.符合此模型肿瘤生长的倍增时间为 atd ebVa bVaat 12ln1 0 0 汉英词汇对照可分离变量的微分方程 separable equation一阶线性微分方程 linear first-order differential equation一阶齐次线性微分方程 homegeneous linear first-order differential equation常数变易法 method of variation of constants贝努利方程 Bernoullis equation常系数微分方程 differential equation with constant coefficients