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习题三J(ayix2)dz1. 计算积分*，其中C为从原点到点1+1的直线段.解设直线段的方程为则z=x+ixxiJ(1Y)灰2. 计算积分。,其中积分路径C为(1)从点0到点1+1的直线段；沿抛物线y=x2,从点0到点1+1的弧段.解设2=兀+比OKI3. 计算积分&,其中积分路径C为(1)从点-1到点1的直线段；沿单位圆周|z|=l的左半圆周，从点到点1；沿单位圆周|z|=l的右半圆周，从点到点1.解设2=2.TQV3龙71设z=严.。从2到2ldei0=2i3龙龙设&从2到亍6.计算积分解伽Y札(|z|Tsm莎，其中c为h。esin比_gsm止.，smz在乙所围的区域内解析.札占sm=0从而(同-Hsin2比=拥申込=J。aae67.计算积分，其中积分路径亡为(1)C1:H=I(2)G：ld=专(3)G：|出I諾(4)日雳解：(1)在14；所围的区域内，z(F+i)只有一个奇点z=.(f:1/z=(-i-丄一M=2加一0-0=2加Xz(z-+1)牝乙22Z+i(2)在。所围的区域内包含三个奇点z=o,z=i故6rdz=(-“/z=2托i_加一加=0+U22乙+,(3)在“所围的区域内包含一个奇点2=-故(r=(-丄.一处=00加=加m)C乙2乙T2z+i(4)在G所围的区域内包含两个奇点10.利用牛顿-莱布尼兹公式计算下列枳分.厂08(f(rzd7/(2+込(1)Jo2】rln(Wrl+tanc(4)I?+1、(5)J。沁泌(6)1cos：z、解(1)3/8#/8=2chl(2)JJ-須(4)(5)(6)严dz=_严f(2+iz)2dz=i(2+iz)2d(2+弓(2+iZy|；=-y+i乙sinzdz=一Zflcos乙=一乙coscoszZ=sinl-cosl+呼P=(seczdz+secztailzdz=tanz|；+-|tail2z|=-tanl+丄tail21+丄t/rl|+ithl22)Z+i=1h吨丙占e.：=7reZ+idz=2/ri(Z+z)(s-Z)严一右(2)y丄计算积分比舟茂其中为#/8#/816. 求下列积分的值,其中积分路径C均为|z|=l#/8宙比3気r）解（1）tan-2|o|=A-6Fy-3A/=v-cosy+1u=ex-siny+1竺十cosy&d2uvr=-e-cosy从而有满足拉普拉斯方程，从而是调和函数.#/8#/8du.duvd2u=-sinyex=esmy=ecosydxdy乩X二=esmydxd2u专，满足拉普拉斯方程，从而是调和函数.一2宀、20. 证明涵数一兀y,x+y都是调和函数，但于（z）=u+e不是解析函数证明：Ad2u=2d2ud2u.dx2+dy2=0，从而“是调和函数.du_y2-x2=_2小&_(x2+y2)2勿(x2+y2)2d2u_-6xy2+2x3d2u_6xy2-2xdx2(x2+y2)dy(x2+y2)d2u d.x2* J刁，从而。是调和函数.duduH但办勿duduHdydx不满足C-R方程，从而了=+iu不是解析函数.22由下列各己知调和函数，求解析函数/=+加1）=0u=厂一厂+厂对+）厂du宀du=2x+y=解因为&所以du小du=一2y+x=dydydxu關脇-警*+關窮-艸+d+、W、y后皿+6(-T+、h+c-+-+2.n,+Cn6f一尸+卩+i(一壬+与+2+C)令y=0,上式变为Y/(X)=X2-l(y+C)从而2g=z2-i+icdu_2xydu_x2-y2办(X2+y2)2勿(x2+y2)2用线积分法，取（xOyO）为（IQ）,有L：Wr如+c=r-喘、&务心+c由几1)=0.,得c=o/=占+丄（冷1+c）7/8复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学岀版社）5）=仔1）23.设P=（込一4）匕一冬”心一色），其中q（i=l,2,各不相同，闭路c不通过4,4,0”,证明积分丄牡也2兀iip（Z）等于位于C内的p（z）的零点的个数.证明：不妨设闭路c内PQ）的零点的个数为k,其零点分别为4,冬1力八1口2-叭）+（乙-丿口（二-兔）+七-竹）-气丿（fc空山=丄（$二三1:2jri7rP（z）2ni7c=-（5-_i+：-_：+.+$-d二2衣九二一2JVic-an=l+l+.+l+1）d二+.+$dz.澤2ni2血九二一么“=a-24.试证明下述定理（无界区域的柯西积分公式）：设f（z）在闭路C及其外部区域D内解析，且二*八,贝IJ1ff（）d（&-f/+人乙wD、2ni-zA,zgG.其中G为C所围内部区域.证明：在D内任取一点乙并取充分人的R，作圆CR:bl尺，将C与Z包含在内则f（z）在以C及。尺为边界的区域内解析，依柯西积分公式，有#/8复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学岀版社）#/8复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学岀版社）他7）因为在14尺上解析，且lim，半2=血f（G丄=lim/（歹）=1.THFZO00所以，当z在c外部时，有9/8复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学岀版社）#/8复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学岀版社）f(z)=A-#/8复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学岀版社）=+4即2tu九歹-z设Z在C内，则f（z）=O,即0=2兀i#/8
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