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大学课件(第二版)()第5章 代数系统的基本概念 5.1 二元运算及性质5.2 代数系统5.3 代数系统的同态与同构5.4 例题选解习题五第三篇 幅代数结构 集合中的代数运算实质上是集合中的一类函数。定义5.1.1 设A是集合，函数f: AnA称为集合A上的n元代数运算(operators)， 整数n称为运算的阶(order)。当n=1时，f: AA称为集合A中的一元运算。当n=2时，f: AAA称为集合A中的二元运算。 5.1 二元运算及其性质 一般地，二元运算用算符 。，* ，等等表示，并将其写于两个元素之间，如ZZZ的加法： F(2，3)=+(2，3)=2+3=5注意到Ran f A，即运算结果是A中的元素，这称为运算的封闭性。另外，运算是函数，要具备函数所具有的对每一个自变元有唯一的像的特性。 【例5.1.1】下面均是一元运算的例子。(1) 在Z集合上(或Q，或R)，f: ZZ， x Z，f(x)=-x。(2) 在A=0，1集合上，f: AA， p A，f(p)=p，表示否定。(3) 在R+集合上，f: R+R+， x R+，f(x)= (但在R上，倒数不是一元运算，因为0无像)。 x1 【例5.1.2】下面均是二元运算的例子。(1) 在Z集合上(或Q，或R)，f: ZZZ，x, y Z2，f(x，y)=x+y(或f(x，y)=x-y或f(x，y)=xy)，如f(2，3)=5。注意在N集合上，“减法”因其不封闭性，而不是N上的二元运算。 (2) A为集合，P(A)为其幂集。f: P(A)P(A)P(A)。 f可以是、 、 -、 。(3) A=0，1。f: AAA。f可以是、 、 、 。(4) AA=f|f: AA。“。(复合)”是AA上的二元运算。当A是有穷集合时，运算可以用运算表给出。如A=0，1，2，3，4，5，二元运算“。”的定义见表5.1.1。 表5.1.1表5.1.2 事实上，对于表5.1.1，通过观察我们可看出其运算为(x，y )=xy(mod 3)其中，“”是普通乘法。而对于表5.1.2，此时的“*”运算应是在集合0，1上的 (逻辑合取运算符)。下面介绍二元运算的性质。 定义5.1.2设*，均为集合S上的二元运算。(1) 若 x y z(x，y，z Sx*(y*z)=(x*y)*z)，则称“*”运算满足结合律。(2) 若 x y(x，y Sx*y=y*x)，则称“*”运算满足交换律。(3) 若 x y z(x，y，z Sx*(y z)=(x*y) (x*z)，则称“*”运算对运算满足左分配律； 若 x y z(x，y，z S(y z)*x=(y*x) (z*x)，则称“*”运算对运算满足右分配律。若二者均成立，则称“*”运算对“”运算满足分配律。 (4) 设*，均可交换，若 x， y A，有x*(x y)=xx (x*y)=x则称“*”运算和“”运算满足吸收律。(5) 若 x(x A，x*x=x)，则称“*”运算满足幂等律。 【例5.1.3】加法、 乘法运算是自然数集上的二元运算，减法和除法便不是。但是减法是有理数集、 实数集上的二元运算，除法却仍不是。加法、 乘法满足结合律、 交换律，乘法对加法、 减法满足分配律，减法不满足这些定律。乘法“”对加法“+”运算满足分配律(对“-”也满足)。但加法“+”对乘法“”运算不满足分配律。 【例5.1.4】设A是集合，在A的幂集P(A)上的二元运算并、 交满足交换律、 结合律、 吸收律、 幂等律且彼此满足分配律。【例5.1.5】设A=a，b，A上的运算*、 分别如表5.1.3和表5.1.4所示。 表 5.1.3表 5.1.4 解从*运算表可知，*是可交换的。因为 (a*a)*b=a*b=ba*(a*b)=a*b=b (a*b)*b=b*b=a a*(b*b)=a*a=a所以*是可结合的。 从运算表可知，是可交换的。因为 (a a) b=a b=aa (a b)=a a=a (a b) b=a b=a a (b b)=a b=a 所以是可结合的。 (1) b (a*b)=b b=b (b a)*(b b)=a*b=b (2) a (a*b)=a b=a (a a)*(a b)=a*a=a b (a*a)=b a=a (b a)*(b a)=a*a=a b (b*b)=b a=a (b b)*(b b)=b*b=a a (a*a)=a a=a (a a)*(a a)=a*a=a a (b*b)=a a=a (a b)*(a b)=a*a=a所以对*是可分配的。(由于运算满足交换律成立，因此右分配也成立。) (3) b*(a b)=b*a=b (b*a) (b*b)=b a=a故*对是不可分配的。又由a*(a b)=a*a=a 及上面(1)、 (2)、 (3)式可知和*满足吸收律。由运算表可知，满足幂等律，而*不满足幂等律。下面我们来定义与集合A中的二元运算有关的集合A中的特异元素。 定义5.1.3设*是集合S中的一种二元运算，如果存在er S(el S)且对任意元素x S 均有x*er=x(el*x=x)，则称元素er(el)为S中关于运算*的右幺元(左幺元)或右单位元(左单位元)。定理5.1.1设*是S中的二元运算且er与el分别是对于*的右幺元和左幺元，则er=el=e， 使对任意元素x S有x*e=e*x=x， 称元素e为关于运算*的幺元(identity elements)且唯一。 证明因为er和el分别是*的右幺元和左幺元，故有 el*er=el，el*er=er，所以er=el。 令其为e，有x*e=e*x=x设另有一幺元为右幺元e，那么e=e*e=e故e对*是唯一的幺元。证毕显然，对于可交换的二元运算来说，左幺元即为右幺元，反之亦然。因此对于可交换的二元运算，左(右)幺元即幺元。另外，我们必须强调是对哪一个运算而言的幺元。 【例5.1.6】在实数集R中，对加法“+”运算，0是幺元； 在实数集R中，对乘法“”运算，1是幺元； 对于全集E的子集的并“”运算，是幺元； 对于全集E的子集的交“”运算，E是幺元;在命题集合中，对于析取“”运算，矛盾式是幺元； 在命题集合中，对于合取“”运算，重言式是幺元； 在AA=f|f:AA中，对于复合“”运算，I A是幺元。 定义5.1.4设*是集合S中的一种二元运算，如果存在r S(l S)且对任意元素x S均有x*r=r(l*x=l)，则称元素r(l)是S中关于运算*的右零元(左零元)。定理5.1.2设*是S中的二元运算且r 与l分别是对于*的右零元和左零元，则r=l=， 使对任意元素x S有x*=*x=， 称元素是S中关于运算*的零元(zero)且唯一。 证明因为r 和l分别是*的右零元和左零元，故有 l*r=l，l*r=r，所以r=l。 令其为，有x*=*x=设另有一零元为右零元，那么=*=故对S中的*运算是唯一的零元。证毕同样，需强调零元是针对于哪个运算的。 【例5.1.7】在实数集R中，对加法“+”运算，没有零元； 在实数集R中，对乘法“”运算，0是零元； 对于全集E的子集的并“”运算，E是零元； 对于全集E的子集的交“”运算，是零元;在命题集合中，对于析取“”运算，重言式是零元； 在命题集合中，对于合取“”运算，矛盾式是零元。【例5.1.8】设Sa，b，c， S上*运算由运算表(如表5.1.5所示)确定，那么b是右零元， a是幺元。 表 5.1.5 我们注意到，关于同一运算可能同时有幺元和零元，甚至可能有这样的元素，它关于同一运算既是左(右)幺元，又是右(左)零元，例如表5.1.5第一行(不计表头)改为三个a时，那么*运算有左零元a和右幺元a。 我们强调以下几点： (1) 左、 右幺元，幺元，左、 右零元，零元都是常元。 (2) 左、 右幺元，幺元，左、 右零元，零元都是依赖于运算的。例如，在代数结构 N，+，中，0关于数加 + 是幺元，关于数乘是零元； 1关于是幺元，关于+则既非幺元又非零元。又如在P(A)中，是关于的幺元，是关于的零元； A是关于的零元，又是关于的幺元。 (3) 今后，在不致造成混淆时，特殊元素是关于什么运算的不再一一指出，但当有两个或两个以上的运算时仍将对此作出申明。这时，常常出现这样的情况，一个运算与数加的性质接近，另一个运算与数乘的性质接近，为了简明、 直观，我们把前一种运算叫做加法运算，关于它的幺元、 零元称为加法幺元、 加法零元； 常把后一种运算叫做乘法运算，关于它的幺元、 零元称为乘法幺元、 乘法零元。例如，在P(A)，中可称为P(A)的加法幺元、 乘法零元， 称A为P(A)的乘法幺元、 加法零元。 定义5.1.5设*是集合S中的一种二元运算，且S中对于*有e为幺元，x，y为S中元素。若x*ye，那么称x为y的左逆元，y为x的右逆元，若x对于*运算既有左逆元又有右逆元，则称x是左、 右可逆的。若x左右均可逆，称x可逆。显然对于二元运算*，若*是可交换的，则任何左(右)可逆的元素均可逆。 定理5.1.3设*是集合S中的一个可结合的二元运算，且S中对于*有e为幺元，若x S是可逆的，则其左、 右逆元相等，记作x-1，称为元素x对运算*的逆元(inverse elements)且是唯一的。(x的逆元通常记为x-1; 但当运算被称为“加法运算”(记为+)时， x的逆元可记为-x。) 证明设xr 和xl分别是x对*运算的右逆元和左逆元，故有xl*x=x*xr=e由于*可结合，于是xl=xl*e=xl*(x*xr)=(xl*x)*xr=e*xr=xr故xl=xr。假设 ， 均是x对*的逆元，则=*e=*(x*)=(*x)*=e*=由，故唯一性成立。由逆元定义知，若x -1存在，则x-1*x=x*x-1=e。证毕11x 12x11x 11x 11x 11x11x 12x12x 12x1211 xx 定理5.1.4设*是集合S中的一个可结合的二元运算，且e为S中对于*的幺元，x有逆元x-1，则(x-1)-1=x。证明(x-1)-1=(x-1)-1*e=(x-1)-1*(x-1*x)=(x-1)-1*x-1)*x=e*x=x。证毕 由以上讨论可得结论： (1) e-1=e。(2) 并非每个元素均可逆。 【例5.1.9】(1) 在自然数集合N上，对于数乘“”运算，只有数 1有逆元 1，对于数加“+”运算，只有数0有逆元0。总之，任何代数结构其幺元恒有逆元，逆元为其自身。 (2) 在整数集合I上(+，的定义同上)，I上每个元素均有加法逆元，但除1以外的数都没有乘法逆元。对任意x I，x的逆元是-x。 (3) 在有理数集合Q上(+，的定义同上)，Q上每个元素x，都有加法逆元-x，除0以外的每个元素x都有乘法逆元x -1=1/x。 (4) 在P(A)中，对于运算，其幺元为，每个元素B(B )均无逆元； 对于运算，其幺元为A，每个元素B(BA)均无逆元。 (5) 在集合AA(其中 AA f|f： AA)中，为函数的合成运算，恒等函数IA为幺元，从而A中所有双射函数都有逆元，所有单射函数都有左逆元， 所有满射函数都有右逆元。定理5.1.5设*是S上的二元运算，e为幺元，为零元，并且|S|2，那么无左(右)逆元。证明首先证 e，否则=e，则S中另有元素a，a不是幺元和零元，从而*ae*aa与a不是零元矛盾，故e得证。 再用反证法证无左(右)逆元，即可设有左(右)逆元x，那么=x*=e(=*x=e)与e矛盾，故无左(右)逆元。得证。 证毕注意逆元是对某个元素而言的，它并不是常元，它不仅依赖于运算，而且更依赖于是哪个元素的逆元。 【例5.1.10】有理数集合Q上的加法“+”运算与乘法“”运算，10的加法逆元是 -10， 乘法逆元是1/10; 而-10的加法逆元是10，乘法逆元是-1/10。当一个集合中每一元素都有逆元时，可以认为该集合上定义了一个一元求逆运算。与逆元概念密切相关的是可约性概念。定义5.1.6设*是集合S中的一个二元运算， a S，a，如果a满足: 对任意x，y S 均有 a*x=a*y x=y(1) x*a=y*a x=y(2) 则称元素a对*是可约(可消去)的(cancelable)，当a满足(1)式时，也称a是左可约(左可消去)的，当a满足(2)式时，也称a是右可约(右可消去)的。 特别地，若对任意x，y，z S，有(x*y=x*z) x y=z (y*x=z*x) x y=z 则称运算*满足消去律(可约律)。定理5.1.6若*是 S中满足结合律的二元运算，且元素a有逆元(左逆元，右逆元)，则a必定是可约的(左可约的，右可约的)。证明设a的逆元为a-1，对任意元素x，y S，设a*x=a*y及x*a=y*a，可得a-1*(a*x)=a-1*(a*y) (x*a)*a-1=(y*a)*a-1即(a-1*a)*x=(a-1*a)*y x*(a*a-1)=y*(a*a-1) 均可推得x=y。因此，a是可约的。 证毕 注意 定理5.1.6的逆并不成立。即a可约推不出a可逆。例如整数集合I中的乘法运算，任一非零元素a均可约，但a除1外其余元素均无逆元。 当S是有穷集合时，其上的二元运算常可用运算表给出，运算的一些性质可直接由运算表看出。(1) 二元运算满足可交换性的充分必要条件是运算表关于主对角线对称。(2) 二元运算满足幂等性的充分必要条件是运算表主对角线上的每个元素与它所在行、 列的表头元素相同。 (3) 二元运算有幺元的充分必要条件是该元素对应的行和列依次与该表表头的行、 列相一致。(4) 二元运算有零元的充分必要条件是运算表中该元素所对应的行、 列元素均与该元素相同。(5) 二元运算中a与b互为逆元素的充分必要条件是运算表中位于a所在行、 b所在列的元素及b所在行、 a所在列的元素都是幺元。 【例5.1.11】N4是整数中模4同余产生的等价类集合，N4=0，1，2，3， N4上运算+4，4定义为 m+4n=(m+n)mod4 m4n=(mn)mod4其中m，n 0，1，2，3，运算表如表5.1.6、 5.1.7所示。 表 5.1.6 表 5.1.7 解由表5.1.6可知， 0为幺元，1-1=3，2-1=2，无零元。由表5.1.7可知， 1为幺元，3-1=3，0、 2无逆元，0为零元。 什么是代数系统？粗略地说，代数系统是由一个特定的集合，以及定义于该集合上的若干“运算”所组成的。换言之，它是一个“有组织的集合”。现代科学在研究各种不同的现象时，为了探索它们之间的共同特点，常常利用代数系统这个框架研究，以得出深刻的结果。目前，代数系统的理论已经在理论物理、 生物学、 计算机科学以及社会科学中得到广泛的应用。5.2 代 数 系 统 定义5.2.1代数结构是由以下三个部分组成的数学结构： (1) 非空集合S。 (2) 集合S上的若干运算。 (3) 一组刻画集合上各运算所具有的性质。 代数结构常用一个多元序组S，*， 来表示，其中 S是集合，*，为各种运算。S称为基集，各运算组成的集合称为运算集，代数结构也称为代数系统。 【例5.2.1】 (1) 以实数集R为基集，数加运算“”为二元运算，组成一代数系统，记为R，。 (2) 以全体nn实数矩阵组成的集合M为基集，矩阵加“”为二元运算，组成一代数系统，记为M，。 (3) 以集合A的幂集P(A)为基集，以集合并、 交、 补为其二元运算和一元运算，组成一代数结构，记为P(A)，。有时为了突出全集E及空集在P(A)中的特殊地位，也可将这一代数结构记为 P(A)，A，。这个系统就是常说的幂集代数系统。 以上的(1)，(2)，(3)均称为具体代数系统，其运算满足的性质未列出。 (4) 设S为一非空集合，*为S上满足结合律、 交换律的二元运算，那么S，*为代数结构，称为一个抽象代数系统，即一类具体代数结构的抽象。例如R，+，M， P(A)， ， P(A)， 都是S，*的具体例子。(5) R，+，-，Z，+，-，均是代数系统，但我们不能写Z，R， N，-，因为它们不是代数系统，它们的运算不封闭。注意代数系统S，*， ，中的这些代数运算可以是不同阶的，但我们讨论的一般是一、 二阶(一元、 二元)运算。 由上节可知，某些代数系统中存在着一些特异元素，它们对系统中的运算起着重要的作用，如幂集代数中的和全集E，命题代数中的重言式和矛盾式，二元运算的幺元和零元等，我们称这些元素为该系统的特异元素或代数常数。有时为了强调它们的特殊地位，也可将它们列入这种代数系统的多元序组的末尾，如 P(A)，A，。定义5.2.2如果两个代数系统中运算的个数相同，对应的阶数也相同，且代数常数的个数也相同，则称这两个代数系统具有相同的构成成分，也称它们是同类型的代数系统。 例如命题代数与幂集代数： P(A)， A，与R，+，-，0, 1(这里“-”指一元运算相反数)。定义5.2.3设*是S上的n元运算(n1，2，)，T S，如果对任意元素x1，x2，xn T，*(x1，x2，xn) T，称*运算对T封闭(c1osed)。 【例5.2.2】设E为非负偶数集，M为非负奇数集，那么定义于N上的数加运算对E封闭，对M不封闭，数乘运算对E和M都封闭。定义5.2.4设S，*是代数系统，如果有非空集合T满足 (1) T S, (2) 运算*对T封闭,则称T，*为代数系统S，*的子代数系统，或子代数(subalgebra)。根据定义，子代数必为一代数系统，*运算所满足的性质显然在子代数中仍能得到满足。注意由于T只是S的子集，S中关于*运算的特殊元素，T中未必仍然具有。 常把S，*叫做S，*的平凡子代数； 若S含幺元e，那么也把e，*叫做S，*，e 的平凡子代数。若T是S的真子集，则T构成的子代数称为S的真子代数。【例5.2.3】在例5.2.2中，对N，+而言，E，+为其子代数，N，0，为其平凡子代数，M，不构成其子代数。 本节将讨论代数系统之间的联系，研究两个同类型的代数系统之间的关系，即同态与同构。同态与同构映射是研究代数系统的重要工具。两个看起来似乎不同的代数系统，往往具有一些共同的性质，或进一步它们还会有相同的结构，仅仅是元素的名称和标记运算用的符号不同而已。在这种情况下，对其中一个代数系统所得的结论，在改变符号之后，对另一个代数系统也有效。由于我们只讨论含一元运算、 二元运算的代数系统，因此下文(直至本章末)常用 S，*表示一个一般的代数系统，*表示二元运算。为简明起见，有时也仅用基集S表示一个代数系统。5.3 代数系统的同态与同构 定义5.3.1设S，*及T，均为代数系统，如果函数 f: ST对S中任何元素a，b，有f(a*b)f(a) f(b) 称函数 f为(代数系统 S到T的)同态映射，或同态(homomorphism)，当同态f为单射时，又称f为单一同态； 当f为满射时，又称f为满同态； 当f为双射时，又称f为同构映射，或同构(isomorphism)。当两个代数系统间存在同构映射时，也称这两个代数系统同构，记为S T。当f为S，*到S，*的同态(同构)时，称f为S的自同态(自同构)。 f(a*b)=f(a) f(b)称为同态f的同态方程。 【例5.3.1】 (1) 设 f: RR为 f(x)=ex(R为实数集)，那么，f为R，+到R，的同态。因为对任意实数x，y，有f(x+y)ex+y=exey=f(x)f(y)由f的定义还可知f为单一同态。 由f的定义还可知f为单一同态。 但是当f： RR+为 f(x)ex(R+为正实数集)，那么 f为R，+到R+，的同构映射，换言之，R，+与R+，同构。 (2) 设h: RR为h(x)=2x，那么h为R，+到R，+的自同态，因为对任何实数x，y，有h(x+y)=2(x+y)2x + 2y=h(x)+ h(y)并且h为自同构。 识别和证明两个代数系统是否同构是十分重要的代数学基本技能。 【例5.3.2】有代数系统Z，和代数系统B，其中是普通乘法，定义见表5.3.1，B=1，0，-1。定义映射f: ZB， n Z， 0 1 0 0 0 1)( nnnnf 表 5.3.1 则 a，b Z，有所以f(ab)=f(a) f(b)。f是Z，到B，的同态，且f(Z)=B。异号至少有一个为同正或同负ba bababaf , 1 0, 0 , 1)( 0)()( 1 0)(),( 0 0)()( 1)( )(且非至少有一个为bfaf bfaf bfafbfaf 异号至少有一个为同正或同负ba baba , 1 0, 0 , 1 需要指出的是，同态映射并不是唯一的。如例5.3.1中(1)的同态映射可取不同的底数。【例5.3.3】设A=a，b，c，d， B=0,1,2,3，*，+4定义见表5.3.2和5.3.3。证明： A，*和B，+4是同构的。 表 5.3.2 表 5.3.3 证明设 f: AB，f(a)=0，f(b)=1，f(c)=2，f(d)=3。显然f是双射，又*，+4均是可交换的。f(a*b)=f(b)=1 f(a)+4f(b)=0+41=1f(a*c)=f(c)=2 f(a)+4f(c)=0+42=2 f(a*d)=f(d)=3 f(a)+4f(d)=0+43=3 f(a*a)=f(a)=0 f(a)+4f(a)=0+40=0 f(b*b)=f(c)=2 f(b)+4f(b)=1+41=2 f(b*c)=f(d)=3 f(b)+4f(c)=1+42=3 f(b*d)=f(a)=0 f(b)+ 4f(d)=1+43=0 f(c*c)=f(a)=0 f(c)+4f(c)=2+42=0 f(c*d)=f(b)=1 f(c)+4f(d)=2+43=1 f(d*d)=f(c)=2 f(d)+4f(d)=3+43=2 故f是A，*到B，+4的同构。证毕同构是一个重要的概念，由上例可以说明不同形式的代数系统，如果它们之间存在同构， 可以抽象地将它们看为本质上是一样的代数系统，不同之处只是所使用的符号不一样。注意到例5.3.3中，A对于*运算，a是幺元，b、 d互逆，a、 c均以自身为逆元；B对于+4运算，0(=f(a)是幺元，1(=f(b)、 3(=f(d)互逆，0(=f(a)、 2(=f(c)均以自身为逆元。 由此猜想： 同态保持性质，并把幺元映射成幺元。 为了进一步讨论同态的性质，我们引入同态像的概念。 定义5.3.2设f为代数系统S，*到T，的同态映射，那么称f(S)为f的同态像(image under homomorphism)。定理5.3.1设f为代数系统S，*到T，的同态，那么同态像 f(S)与构成T，的一个子代数。证明只要证f(S)对运算封闭即可。为此设a，b为f(S)中任意两个元素，且f(a)=a ， f(b)=b，那么a b=f(a) f(b)=f(a*b) f(S) 故f(S)对运算封闭，f(S)，为T的子代数。证毕很显然， f为单射时S，*与同态像 f(S)，同构，这使我们想到，同态像应同S，*有许多共同的性质。 定理5.3.2 设f是代数系统S，* 到 T，的满同态(这里*， 均为二元运算)，那么(1) 当运算*满足结合律、 交换律时，T中运算也满足结合律、 交换律。(2) 如果S，* 关于*有幺元e，那么f(e)是T，中关于的幺元。 (3) 如果x-1是S，* 中元素x关于*的逆元，那么f(x-)=(f(x)-1是T，中元素f(x)关于的逆元。(4) 如果S，* 关于*有零元，那么f()是T，中关于的零元。证明仅证(2)、 (3)。 (2) 设S，*有关于*的幺元e。考虑T中任一元素b ，因为f是满射，所以必存在一个元素a S使b=f(a)，那么b f(e)=f(a) f(e)=f(a*e)=f(a)=bf(e) b=f(e) f(a)=f(e*a)=f(a)=b 因此f(e)为T中关于的幺元。 (3) 设S，*中元素x有关于*的逆元x-1，考虑f(x)与f(x-1)，那么f(x) f(x-1)=f(x*x-1)=f(e)f(x-1) f(x)=f(x-1*x)=f(e)这就是说，T中f(x)有关于的逆元f(x-1)，即(f(x)-1f(x-1)这表明，同态也是保持一元求逆运算的。证毕 (4) 关于零元的证明可仿上进行，留给读者完成。需要强调指出，上述定理中满同态的条件是必要的，否则性质只在同态像上有效，决不能随意扩大到T，上，下面将举例说明这一点。对于具有多个代数运算的两个同类型系统，同态是指相应的n个同态方程均成立。一般同态无法保持消去律。因为同构映射是双射，所以不仅保持性质而且可逆，此时可将两个代数系统视为一个，只是运算、 元素符号不同。 下面我们要讨论同态核的概念。 定义5.3.3如果f为代数系统S ，*到T ，的同态，并且T中有幺元e，那么称下列集合为同态f的核(kernel of homomorphism)，记为K(f)。K(f)=x|x S f(x)e 关于同态核我们有定理5.3.3。定理5.3.3设f为代数系统S，*到T，的同态，如果K(f)，那么 K(f)，*为S，*的子代数。证明只要证K(f)对*运算封闭即可。设K(f)中任意元素x，y，于是f(x)=f(y)=e 。 考虑f(x*y)=f(x) f(y)=e e=e 因此x*y K(f)，故 K(f)，*为S ，*的子代数。证毕 至此我们看到，一个同态映射f可导致两个子代数，一个是T ，的子代数f(S) ，另一个是S，*的子代数 K(f)，*。 【例5.4.1】设*和+是集合S上的两个二元运算，并满足吸收律。证明： *和+均满足幂等律。证明x，y S， 因为吸收律成立，所以x*x=x*(x+(x*y)=xx+x=x+(x*(x+y)=x因此，*和+均满足幂等律。证毕5.4 例 题 选 解 【例5.4.2】设*和+是集合S上的两个二元运算， x，y S，均有x+y=x。证明： *对于+是可分配的。证明x，y，z S， 因为x+y=x，所以x*(y+z)=x*y而 (x*y)+(x*z)=x*y故 x*(y+z)=(x*y)+(x*z) 左分配律成立。 又因为 (y+z)*x=y*x而 (y*x)+(z*x)=y*x故 (y+z)*x=(y*x)+(z*x)右分配律成立。 因此，*对于+是可分配的。证毕 【例5.4.3】(1) 设N4=0，1，2，3，f： N4N4定义如下:令F=f0，f1，f2，f3，其中f0为N4上的恒等函数。易证F, 为一代数系统，且fi fj=fi+4j， 试证F，与N 4，+4同构。 (2) 证明代数系统N，+与N，不同构。 41 0 41 1)( xxxxf当当 解(1) 证明： 建立双射h: FN4，使h(fi)i(i=0，1，2，3)由于对任何fi，fj F，h(fi fj)=h(fi+4j)=i+4j=h(fi)+4h(fj)故h为一同构映射，F，与N4，+4同构得证。(2) 证明： (用反证法)设N，+与N，同构，f为任一同构映射。 不失一般性，设有n，n2，f(n)为一质数p。于是p=f(n)=f(n+0)=f(n)f(0) (5.4.1)p=f(n)=f(n-1+1)=f(n-1)f(1) (5.4.2)由f(n)为质数，据式(5.4.1)，f(n)=1或f(0)=1； 据式(5.4.2)， f(n-1)=1或f(1)=1。 总之，至少在两处f的值为1，这与f为同构映射(双射)冲突。因此N，+与N，不同构。 【例5.4.4】代数系统0，1，是否是代数系统N，+的同态像？(说明理由)解是。理由如下： 作映射f： N0，1，n N，令f(0)=0，f(n)=1(n0)，则 n，m N ，当n，m0时， f(n+m)=1=1 1=f(n) f(m)当n=0，m0时， f(n+m)=1=0 1=f(n) f(m)当n0，m=0时， f(n+m)=1=1 0=f(n) f(m)当n=0，m=0时， f(n+m)=0=0 0=f(n) f(m) 即 n，m N， 均有 f(n+m)=f(n) f(m)，故f是N，+到0，1，的同态，因为f是满射，所以0，1，是N，+的同态像。 1. 设集合S=1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，问下面定义的二元运算*关于集合S是否封闭？习题五 (1) x*y=x-y(2) x*y=x+y-xy(3) x*y=(4) x*y=2xy(5) x*y=min(x，y)(6) x*y=max(x，y) (7) x*y=x(8) x*y=GCD(x，y)，GCD(x，y)是x与y的最大公约数(9) x*y=LCM(x，y)，LCM(x，y)是x与y的最小公倍数(10) x*y=质数p的个数，其中xpy2 yx 2 已知S上运算*满足结合律与交换律，证明： 对S中任意元素a，b，c，d有(a*b)*(c*d)(d*c)*a)*b3 设*是集合S上的可结合的二元运算。 x，y S，若x*y=y*x，则x=y。证明：*满足幂等律(对一切x S有x*x=x)。 4 S及其S上的运算*如下定义，问各种定义下*运算是否满足结合律、 交换律，S, *中是否有幺元、 零元，S中哪些元素有逆元，哪些元素没有逆元? (1) S为I(整数集)，x*y=x-y (2) S为I(整数集)，x*y=x+y-xy (3) S为Q(有理数集)，x*y= (4) S为N(自然数集)，x*y=2xy (5) S为N(自然数集)，x*y=max(x，y)(min(x，y)(6) S为N(自然数集)，x*y=x 2 yx 5 下列说法正确吗？为什么？ (1) 代数系统中的幺元与零元总不相等。 (2) 一代数系统中可能有三个右幺元，而只有一个左幺元。 (3) 代数系统中可能有一个元素，它既是左零元，又是右幺元。 (4) 幺元总有逆元。6 设A0，1，S为AA，即S=f1，f2，f3，f4，诸f由表5.1给出。 (1) 给出S上函数复合运算的运算表。 (2) S， 是否有幺元、 零元？ (3) S，中哪些元素有逆元? 逆元是什么？ 表 5.1 7 下面各集合都是N的子集，它们能否构成代数系统N，+的子代数? (1) x|x N x的某次幂可以被16整除 (2) x|x N x与5互质 (3) x|x N x是30的因子 (4) x|x N x是30的倍数 8 证明： f: R+R，f(x)=lbx为代数系统R+，到R，的同态(这里R+为正实数集，R为实数集，为数乘运算)。它是否为一同构映射？ 为什么？ 9 设f: N0，1定义如下:证明： f为代数系统N，到0，1，的同态。它是单一同态、 满同态吗？ 否则是自然数当 0 )(2 1)( knnf k 10 设A=a，b，c。问代数系统，A，和a，b，A，是否同构？11 假定f是S，*到T，的同态，试举例说明： (1) f(S)，的幺元(零元)，可能不是T，的幺元(零元)。 (2) f(S)，的成员的逆元，可能不是它在T，中的逆元。12 设f，g都是S，*到T，的同态，并且*与运算均满足交换律和结合律。证明: 如下定义的函数h: STh(x)=f(x) g(x)是S，*到T，的同态。 13 设f，g分别是S，*到T，的同态和T，到H，的同态。证明： f g是S，*到H，的同态。 14 设f是R，+到C，的映射(这里R为实数集，C为复数集，+为普通加法运算，为数乘运算)，且f: xe2ix， x R。问f是否同态？ 如果是，请写出同态像和同态核。
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