测验试卷答案

.02 3 的 通 解 为 ：、 微 分 方 程 xxyy .)(.1 2 2222 yyx dyxf 分 形 式 为 ：在 极 坐 标 系 下 的 二 次 积一 、 填 空 题 （ 每 小 题 3分 ， 共 15分 ） sin20 20 )( dfd分 析 如 图 ： o xyD如 图 ： sin20 0型 ： sin20 22 022 )()(22 dfddyxfyyx )3( 3 Cxx 分 析 为 一 阶 线 性 非 齐 次 方 程 3)(,1)( xxQxxP CdxexQey dxxPdxxP )()( )(通 解 为 ： Cdxexe dxxdxx 131 )3( 3 Cxx .)()()()(3 0 xfdxxfexfxf xx ， 则满 足、 若分 析 导数 ， 先 对 表 达 式 两 边 求的 表 达 式 中 含 有 变 限 函)(xf )()( xfexf x 则 有 ：令 ),(xfy xeyy 为 一 阶 线 性 非 齐 次 方 程xexQxP )(,1)( CdxexQey dxxPdxxP )()( )(通 解 为 ： Cdxeee dxxdx )21( 2 Cee xx 21,1)0( Cy又 2)( xx eexfy 2 xx ee .0234 的 通 解 为 ：、 差 分 方 程 xx yy分 析 为 一 阶 线 性 差 分 方 程 ， 先 化 为 不 同 时 期 函 数 值 方 程 形 式221 xx yy 02 特 征 方 程 ： 2-特 征 根 ： xCY )2( 对 应 齐 次 方 程 通 解 ： Ayxf *,2)( 可 设 特 解 形 式 为 ： 32A代 入 原 方 程 得 ： 32)2( xCY原 方 程 通 解 ： 32)2( xCY .2 1)(5 2 幂 级 数 为 ：展 开 成、 将 xxxf 分 析 将 函 数 展 开 成 幂 级 数 ， 要 利 用 常 用 的 函 数 展 开 式21 1212 1)( 22 xxxf )1,1(,1 1 0 xxx n n又 nn xxxf 0 22 22121 121)( 0 120 2 2221 n n nn nn xx)2,2()1,1(22 xx )2,2(,20 12 xxn n n )()3,2,1(,101 下 列 级 数 肯 定 收 敛 的 是、 设 nnan二 、 单 项 选 择 题 ,（ 每 小 题 3分 ， 共 15分 ） 1 2111 )1(.)1(. n nnn nn nnn n aDaCaBaA B分 析 判 断 数 项 级 数 的 敛 散 性 CAnan 和可 以 排 除取 ,21 na n 10 22 1nan 绝 对 收 敛 1 2)1(n nnaBkn knna nn 可 以 排 除取 ,1221 221 )(,),(2),(2 D yFDfdxdyyxfyyxF 上 连 续 ， 则在其 中、 设 ),(2.),(2.),(2.2. yxfDyxfCyxfBA xy A分 析 求 多 元 函 数 的 偏 导 数 D yy dxdyyxfyyxFyF ),(2(),( 202 )(3 1 的 值 为、 二 重 积 分 yx dxdy分 析 考 察 二 重 积 分 的 几 何 意 义 21.0.2.1. DCBA B o xyD1 111Dyx Sdxdy 1 2 DS利 用 几 何 图 形 知如 图 ： )(2324 1 待 定 系 数其 中的 特 解 形 式 为、 差 分 方 程 kyy xxx xxxx kxDkxCkBkA 22 2.2.2.2. 分 析 考 察 一 阶 线 性 非 齐 次 差 分 方 程 的 特 解 形 式 有 ：的 差 分 方 程 的 特 解 形 式一 般 形 如 ： )(1 xfayy xx 为 多 项 式、 )()()1( xPxf n 是 特 征 根不 是 特 征 根特 解 形 式 可 设 为 ： 1)( 1)(* xxQ xQy nn)()()2( xPxf nx、 是 特 征 根不 是 特 征 根特 解 形 式 可 设 为 ： )( )(* xQx xQy nx nx C )(25 的 一 个 特 解 为、 微 分 方 程 xyy xeDxxCxBxA .1.cos. 2分 析 考 察 二 阶 线 性 非 齐 次 差 分 方 程 的 特 解 求 法)()()1( xPexf nx、 是 特 征 重 根是 特 征 单 根不 是 特 征 根特 解 形 式 可 设 为 ： )( )( )(2* xQex xQxe xQey nx nx nx 可 设 为 ：的 微 分 方 程 的 特 解 形 式一 般 形 如 ： )(xfqyypy 代 入 原 方 程 得 ：设 )(* baxxy 1,1 baxxy 2* C 三 .计 算 题 （ 每 小 题 7分 ， 共 49分 ） .12321 012 的 特 解满 足 条 件、 求 差 分 方 程 ： yyy ttt ，于 是 tty 283 .2283 ttt Cy 所 求 通 解 为 解 一 对 应 齐 次 方 程 通 解特 征 方 程 ，02 特 征 根 ，2 tt CY 2， 原 方 程 化 为设 ttt zy 2 2322 1 tt zz ，求 得 其 特 解 为 83tz ttt yy 22321 将 原 方 程 标 准 化 ： 8510 Cy由 .285283 ttty 所 求 特 解 为 .12321 012 的 特 解满 足 条 件、 求 差 分 方 程 ： yyy ttt ，于 是 tty 283 .2283 ttt Cy 所 求 通 解 为 解 二 对 应 齐 次 方 程 通 解特 征 方 程 ，02 特 征 根 ，2 tt CY 2， 代 入 原 方 程 化 简 得 ：设 特 解 形 式 为 ： tt Ay 2* 2322 AA ，83 A ttt yy 22321 将 原 方 程 标 准 化 ：851 0 Cy由 .285283 ttty 所 求 特 解 为 .232 通 解、 求 xxeyyy 解对 应 齐 次 方 程 通 解特 征 方 程 ,0232 rr特 征 根 ， 21 21 rr ,221 xx eCeCY 是 特 征 单 根 ，1 ,)( xeBAxxy 设代 入 方 程 , 得 xABAx 22 ,121 BA xexxy )121(于 是原 方 程 通 解 为 .)121(221 xxx exxeCeCy ,2 )1()1(.3 2 的 和 函 数求 幂 级 数 n nn xn 解 一 nnn nn tnxtxn )1(2 12 )1()1( 22 令 222 )1( nn tnt )()( 2 122 12 n nn n tttt 222 )1()1( ttttt )1,1(t 22222 )3( )1()2 11( )2 1(2 )1()1( xxxxxn n nn )3,1(x ,2 )1()1(.3 2 的 和 函 数求 幂 级 数 n nn xn 解 二 nnn nn tnxtxn )2)(1(12 )1()1( 22 令 222 )2)(1()2( nn tnt )2(2)2(2 2 122 12 n nn n tttt 222 )2(21 22 ttttt )2,2(t 22222 )3( )1()1(2( )1(2 )1()1( xxxxxn n nn )3,1(x .)(sin)(4 0 dxxfdtt txf x ， 计 算、 已 知解 一 0000 sinsin)sin()( dtt tdxdtt tdxdxdtt tdxxf xxx o xt D tx xD 0: txtD 00: 0 000 sinsin)( dxt tdtdtt tdxdxxf tx 0 sintdt 2cos 0 t .)(sin)(4 0 dxxfdtt txf x ， 计 算、 已 知解 二 xxdtt txf x sin)sin()( dxxfxxxfdxxf 000 )()()( 0)( f又 dxxdxxf 00 sin)( 2cos 0 x .5 :解 一 .2, 222 轴 围 成与由其 中求 xxxyDdxdyyxyD xo y 2D 220 20: xxy xD dxdyyxyD 22 220 2220 xx dyyxydx 54如 图 ： 220 222220 )(21 xx yxdyxdx 2 0 323 )2(31 dxxx 2042523 452231 xx 20 202322 2)(3221 dxyx xx .5 :解 二 .2, 222 轴 围 成与由其 中求 xxxyDdxdyyxyD xo y 2D cos20 0: 2D dxdyyxyD 22 cos200 sin2 dd 20 4 sincos4 d 205 cos514 54 如 图 ： 22 xxy .cos6 1 3 的 收 敛 性、 判 别 级 数 n nn nn :解 1 31 3 )1(cos n nn nn nnn nn 13 .1,11coslim nn nn nn nn 发 散又 .cos1 3 发 散 n nn nn 1)1( 1,0lim 333 nn nnnnnnnn 且 .)1(cos 1 31 3 收 敛 n nn nn nnn nn .)1(cos 1 31 3 条 件 收 敛故 n nn nn nnn nn .37 121 的 和 函 数、 求 幂 级 数 nn n xn 112221 1121 333333 nnnn nnn n tntxtxnxxn 令:解 11 33)(33 n nn n tttt ttt 133 2)1( 133 tt )1,1(t 2222121 )3( 3)31( 133 xxxxxn nn n )3,3(x )(xfy 1、 连 续 光 滑 曲 线 过 点 ， 其 上 任 意 点 处 的 切 线 斜 率 与 直 线 的 斜 率 之 差 等 于 ， 求 该 曲 线 的 方 程 ；)(xfy ( , )( 0)P x y x )0,1(M x四 、 综 合 应 用 题 （ 每 小 题 8分 ， 共 16分 ）:解 由 题 意 得 ： xxyy )( 11 Cdxexey dxxdxx 解 得 ： )1( Cdxx )( Cxx 1,0)1( Cy .)( 2 xxxfy 的 和求 级 数、 设 040 ,3,2,1,0,cossin2 n nnn InxdxxI :解 一 0 400 cossinn nn n xdxxI dxxxn n 40 0 cossindxxx 40 sin1cos ).22ln()221ln( :解 二 xdxxI nn cossin40 1)22( 1 n n 0 10 1)22(n nn n nI )1,1,)1ln()(,1)( 0 1 xxxsnxxs n n令 ).22ln()221ln()22(0 sIn n ).0,0(),(1lim),( 22220 fdxdyyxfryxf ryxr 为 连 续 函 数 ， 证 明 ：设五 、 证 明 题 （ 每 小 题 5分 ， 共 5分 ）:证 明 知 ：由 二 重 积 分 的 中 值 定 理 ),(),(,),(),( 2222222 ryxyxrfdxdyyxfryx ),(lim),(1lim 020 222 fdxdyyxfr rryxr 00,0 且r ),(lim),(1lim 020 222 fdxdyyxfr rryxr ).0,0(),(lim00 ff ).0()(2 3lim,0)0()( 222 2230 fdxdyyxfrfuf ryxr 证 明 ：可 导 ， 且设 :证 明 rrryxr dfrdxdyyxfr 0302230 )(22 3lim)(2 3lim 222 rryx 0 20222 rrryx dfdfddxdyyxf 002022 )(2)()(222 rrfr df rrr )(lim)(3lim 000300 r frfr )0()(lim0 )0()0( ff