数学规划之插值法的综合应用

插值法 Newton插 值32 插 值 法插值法 插 值 法 的 一 般 理 论 Lagrange插 值 31 分 段 低 次 插 值34 实际问题期望试验数据观测数据期望内在规律期望函数关系一 、 数 学 的 期 望 插 值 法 概 述 实 验 数 据 是 否 存 在 内 在 规 律 ?实 验 数 据 的 内 在 规 律 是 什 么 ?实 验 数 据 的 内 在 规 律 是 否 有 函 数 解 析 式 ?反 映 内 在 规 律 的 解 析 式 是 什 么 ?二 、 数 学 的 苦 恼数学的苦恼 实 例 1 x 0 1 21.0 0.8413 0.8438 0.84611.1 0.8643 0.8665 0.8686 标 准 正 态 分 布 函 数 (x)求 (1.014)查 函 数 表 三 、 插 值 引 例插值引例 实 例 2 xy 机 翼 下轮 廓 线 求 机 翼 下 轮 廓 线 上 一 点 的 近 似 数 值该 点 的 值 是多 少 ?插值引例 求 任 一 插 值 点 )(* jxx 处 的 插 值 .*y 0 x 1x nx0y1y g或 无 封 闭 形 式 ,节 点 可 视 为 由)(xgy 产 生 ，表 达 式 复 杂 ,或 未 知 。 *x*y 已 知 n+1个 节 点 ,1,0(),( njyx jj 其 中 jx互 不 相 同 ， 不 妨 设 ),10 bxxxa n 四 、 插 值 问 题 的 提 法插值问题的提法 0 x 1x nx0y1y 构 造 一 个 (相 对 简 单 的 )函 数 ),(xfy 通 过 全 部 节 点 , 即),1,0()( njyxf jj 再 用 )(xf 计 算 插 值 ， 即 ).( * xfy *x*y五 、 求 解 插 值 问 题 的 基 本 思 路求解插值问题的基本思路 插 值 的 基 本 原 理常 见 的 插 值 方 法 拉 格 朗 日 插 值 ， 分 段 线 性 插 值 ， 三 次 样 条 插 值 牛 顿 插 值 Hermite插 值插 值 多 项 式 :存 在 性 、 唯 一 性 、 收 敛 性误 差 估 计六 、 本 章 主 要 内 容主要内容 ,)( 上 有 定 义在 区 间设 函 数 baxfy 且 已 知 在 点bxxxa n 10 ,: 10 nyyy 上 的 值 分 别 为 使）（函 数 ,xP若 存 在 一 简 单 ii yxP )( ).(),( 11210 ni ,)()( 的 插 值 函 数为则 称 xfxP 称 为 插 值点 nxxx , 10 称 为 插 值 区 间 ，包 含 插 值 节 点 的 区 间 , ba的 方 法 称 为 插 值 法 。求 插 值 函 数 )(xP节 点 ， 七 、 插 值 法 的 一 般 定 义插值法的一般定义 本 章 只 讨 论 多 项 式 插 值 和 分 段 插 值 。,)( 10 nnxaxaaxP 的 代 数 多 项 式 ， 即是 次 数 不 超 过若 nxP )( 为 插 值 多 项 式 ，为 实 数 ， 就 称其 中 )(xPai 式 插 值 。相 应 的 插 值 法 称 为 多 项 分 段 插 值 。为 分 段 多 项 式 ， 就 称 为若 )(xP 三 角 插 值 。为 三 角 多 项 式 ， 就 称 为若 )(xP 插值法的一般定义 定 理 1证 明 设 有 n+1个 互 不 相 同 的 节 点 ),.2,1,0(),( niyx ii 则 存 在 唯 一 的 多 项 式 ： )1(.)( 2210 nnn xaxaxaaxL 使 得 )2(),.2,1,0()( njyxL jjn 构 造 方 程 组 )3( .2210 11212110 00202010 nnnnnn nn nn yxaxaxaa yxaxaxaa yxaxaxaa 一 般 插 值 多 项 式 的 原 理 nnn nnxx xx xxA 111 11 00 naaaX 10 nyyyY 10令 ： 方 程 组 的 矩 阵 形 式 如 下 ： 0)(1 10 ni nj ji xxA由 于 )4(YAX 所 以 方 程 组 （ 4） 有 唯 一 解 。 .)( 2 210 唯 一 存 在从 而 nnn xaxaxaaxL 证 毕 此 定 理 说 明 只 要 n+1个 节 点 互 异 ， 满 足 上 述 插 值 条 件的 多 项 式 是 唯 一 存 在 的 。 一般插值多项式的原理 我 们 的 问 题 是 如 何 确 定 ?.)( 2210 nnn xaxaxaaxL )x(Ly *n* 进 而 求 得 事 实 上 ， 方 程 组 的 解 a0 ,a1 ,an 存 在 且 唯 一 。解 出 ai(i=0,1,2,n), Pn(x)就 可 构 造 出 来 了 。 但 遗 憾 的是 此 方 程 组 是 病 态 方 程 组 ,当 阶 数 n越 高 时 ， 病 态 越 重 。为 此 我 们 从 另 一 途 径 来 寻 求 获 得 Pn(x) 的 方 法 -用 程序 和 Lagrange插 值 、 Newton插 值 等 。一般插值多项式的原理 A=0,-1,1.5,4.25,5.1,35.21g1=ListPlotTableA,Prolog-AbsolutePointSize10;InterpolationA,InterpolationOrder-2g2=Plot%x,x,0,5.1;Showg1,g2N%3.66,5 绘 制 点 图 点 的 绝 对直 径插 值 、 插 入一般插值多项式的原理 第 一 节 Lagrange插 值 法插值法 Lagrange插 值 法 的 一 般 理 论 Lagrange插 值 基 函 数Lagrange插 值 余 项 和 误 差 估 计Lagrange插 值 多 项 式 的 构 造1234 已 知 n+1个 节 点 ,1,0(),( njyx jj 其 中 jx互 不 相 同 ， 不 妨 设 ),10 bxxxa n 0111)( : axaxaxaxP nnnnn 要 求 形 如的 插 值 多 项 式一 、 Lagrange插 值 多 项 式 的 构 造 的 简 单 情 形 ，先 讨 论 1n 及 端 点 函 数 值假 定 给 定 区 间 , 1kk xx ),()( 11 kkkk xfyxfy，使 它 满 足 ，要 求 线 性 插 值 多 项 式 )( 1 xL .)(,)( 1111 kkkk yxLyxL :如 图 所 示kx 1kxky 1ky)(xfy )(1 xLy Lagrange插值多项式的构造 )()( kkk kkk xxxx yyyxL 111 ),(点 斜 式11111 )( kkk kkkk k yxx xxyxx xxxL )(两 点 式若 令 ,)( 11 kk kk xx xxxl kk kk xx xxxl 11 )(上 满 足 条 件及在 节 点 1kk xx .1,0 ;0)(,1 111 1 kkkk kkkk xlxl xlxl kx 1kx10 )(xlk )(1 xlk线 性 插 值基 函 数)()()( 111 xlyxlyxL kkkk 称 为 线 性 插 值 多 项 式 Lagrange插值多项式的构造 的 情 况 可 类 似 地 讨 论2n的 抛 物 线 。 就 是 通 过 三 点 （事 实 上 ),(),(),)(: 11112 kkkkkk yxyxyxxLy ).1,1()( ),(, 2 2,11 kkkjyxL xLxxx jjkkk 使 它 满 足要 求 二 次 插 值 多 项 式假 定 插 值 节 点 为 定 系 数 法 确 定 基 函 数的 表 达 式 ， 只 要 利 用 待确 定 )( 2 xL ).,1(0)(1)( );1,1(0)(,1)( );1,(0)(,1)( 111 111 kkjxlxl kkjxlxl kkjxlxl jkkk jkkk jkkk ， 件使 它 们 在 节 点 上 满 足 条及 ),()(),( xlxlxl kkk 11 Lagrange插值多项式的构造 ，求例 如 )(: 1 xlk ， 故 可 表 示 为及因 它 有 两 个 零 点 1kk xx ),)()( 11 kkk xxxxAxl ,)( 1 1)(111 11 kkkk kkxxxxA xlA定 出 为 待 定 系 数 ， 可 由 条 件其 中 ,)( )( 111 11 kkkk kkk xxxx xxxxxl ）（于 是 ,)( )()( 11 11 kkkk kkk xxxx xxxxxl同 理 可 得 .)( )()( 111 11 kkkk kkk xxxx xxxxxl Lagrange插值多项式的构造 式立 即 得 到 二 次 插 值 多 项 ，）（利 用 二 次 插 值 基 函 数 )(),(, 11 xlxlxl kkk ).1,1()(2 kkkjyxL jj显 然 ， 它 满 足 条 件 )()()( 11112 xlyxlyxlyxL kkkkkk ）（ 1kx 1kx10 )(xlk )(1 xlkkx)(1 xlk 基函数的图形 Lagrange插值多项式的构造 上 满 足 条 件个 节 点在 次 多 项 式若定 义 nj xxxn njxln 101 ),1,0()(1 ),1,0,(.,0 ;,1)( nkjjk jkxl kj ., )(,),(),(110 10次 插 值 基 函 数的为 节 点 次 多 项 式个就 称 这 nxxx xlxlxlnn n n Lagrange插值多项式的构造 nixxxxxxxx xxxxxxxxxl niiiiii niii 1,0,)()()( )()()()( : 110 110 用 基 函 数 法 构 造 即 为则 )()( 0 xlyxL ini in jjnji yxLji jixl )(,0,1)( 拉 格 朗 日 (Lagrange) 插 值 多 项 式).).()(.()( 1101 nkkkkkkkn xxxxxxxxx ）（ ).()()( 101 nn xxxxxxx .)()( )()(: 0 11 nk knknkn xxx xyxL 则 有 形 式若 引 入 记 号 二 、 拉 格 朗 日 (Lagrange) 插 值 .)()( )()( :0 11 nk knknkn xxx xyxL 拉 格 朗 日 插 值 多 项 式优 点 : 结 构 紧 凑 , 理 论 分 析 方 便 缺 点 : 改 变 一 个 节 点 则 全部 的 插 值 基 函 数 都 改 变 ,即节 点 增 加 ,基 函 数 失 效 Lagrange插值 ，近 似上 用若 在 )()(, xfxLba n 则 其 截 断 误 差 ，）（）（xLxfxR nn 项被 称 为 插 值 多 项 式 的 余 下 定 理 。关 于 插 值 余 项 估 计 有 以三 、 拉 格 朗 日 插 值 的 余 项 与 误 差 估 计 定 理 2证明 jjn yxL )(:因 为 ),.2,1,0(0)(: nkxR kn 所 以 ).()()()()()( 101 nnn xxxxxxxKxxKxR 于 是 )()()()()( 1 txKtLtft nn 作 函 数 ),.2,1,0(0)( nkxk 则 ),()()!1( )()()()( 1)1( baxnfxLxfxR nnnn 内 存 在 ，在上 连 续 ，在设 ),()(,)( )1()( baxfbaxf nn 的 插 值 多 项 式 ，是 满 足 条 件 jjnn yxLxL )()( ， 插 值 余 项 为则 对 任 何 bax , Lagrange插值余项与误差估计 )()()()()( 1 xxKxLxfxR nnn 注 意 到 0)(),.2,1,0(0)( xnkxk 且故 有 :,2,)( 由 罗 尔 定 理 知个 零 点区 间 上 有在从 而 nbat 个 零 点内 至 少 有在 1),()( nbat 个 零 点内 至 少 有在 nbat ),()( 个 零 点内 至 少 有在 1),()( )1( batn 则 有该 零 点 为记 ),( ba 0)()!1()()( )1()1( xKnf nn Lagrange插值余项与误差估计 ,)!1( )()( )1( nfxK n ),( xba 且 依 赖 于 ),()()!( )()()()( )( baxnfxLxfxR nnnn 111从 而 证 毕1)1(, )(max nnbxa Mxf如 果更 有 )()!1()( 11 xnMxR nnn 特 别 地 ,当 n=1时 ,线 性 插 值 余 项 为 : ,)()()()( 1021 2121 xxxxfxfxR ,)()()(61)( 202102 xxxxxxxxfxR Lagrange插值余项与误差估计当 n=2时 ,抛 物 插 值 的 余 项 为 : 误 差 估 计 ),(),()!1( )()()()( 0)1( baxxnfxLxfxR nj jnnn 1)1( )( nn Mf nj jnn xxnMxR 01)!1()(Lagrange插值余项与误差估计 注 意 1、 此 结 论 适 合 所 有 插 值 多 项 式 。 证 明过 程 并 未 涉 及 插 值 多 项 式 的 形 式 。 )(xRn n )(xRf n光滑 )(xRxx nj接近)()!1( )()( 1)1( xnfxR nnn 2、 形 式 上 与 泰 勒 余 项很 相 象 ， 但 Taylor多 项 式 要 求 在 同 一 点 上 各 阶 导 数 值 相等 ， 而 插 值 多 项 式 要 求 在 n+1个 不 同 点 上 函 数 值 相 等 。 Lagrange插值余项与误差估计 34.0,314567.0,32.0 100 xyx .352274.0,36.0,333487.0 221 yxy 32.00 x用 线 性 插 值 计 算 ， 取，及34.01 x得 )3367.0(3367.0sin 1L )3367.0( 001 010 xxx yyy 0167.002.001892.0314567.0 330365.0 ,333487.034.0sin314567.032.0sin ，已 给 用 线 性 插 值 及,3522787.036.0sin ,3367.0sin 的 值计 算 并 估 计 截 断 误 差 。 抛 物 插 值例 1由 题 意 取解 Lagrange插值余项与误差估计 :其 截 断 误 差 为 ,)(2 1021 xxxxMxR 可 取因 xxf sin)( ,3335.0sinsinmax 12 10 xxM xxx于 是 )3367.0(3367.0sin)3367.0( 11 LR 610*92.00033.0*0167.0*3335.0*21 时 ，用 抛 物 插 值 计 算 3367.0sin） 得由 公 式 （ 5.2 Lagrange插值余项与误差估计 )( )(3367.0sin 2010 210 xxxx xxxxy )( )()( )( 1202 1022101 201 xxxx xxxxyxxxx xxxxy 330374.0)3367.0(2 L 这 个 结 果 与 六 位 有 效 数 字 的 正 弦 函 数 表 完 全一 样 ， 这 说 明 查 表 时 用 二 次 插 值 精 度 已 相 当 高 了 。其 截 断 误 差 为 Lagrange插值余项与误差估计 828.0cosmax 0)(203 xxfM xxx 6 22 10178.0 )0233.0)(033.0)(0167.0)(828.0(61 )3367.0(3367.0sin)3367.0( LR )()(6)( 21033 xxxxxxMxR 其 中于 是 Lagrange插值余项与误差估计 将 0,/2 n等 分 ， 用 g(x)=cos(x)产 生 n+1个 节 点 ，作 Ln(x)（ 取 n=1,2) ,计 算 cos(/6), 估 计 误 差 。若 n=1, 则 (x0,y0)=(0,1), (x1,y1)=(/2,0),例 2解 xxlyxlyxL 21)()()( 21101 cos(/6)=0.6667)0,2(),( ),7071.0,4(),(),1,0(),(,2 22 1100 yx yxyxn 则若 )()()()( 2211002 xlyxlyxlyxL 22 )2(167071.0)2)(4(8 xxxx Lagrange插值余项与误差估计 nhhhhxx xxxnhMxRnj j jjnn 324 ,2,1:)( 20 11 112 )2)(1(4324)!1( 1)( nnn nnnhhhhnxR n 1 2 3 4 )( xR n 0 .3 0 .0 4 4 .7 1 0 -3 4 .7 1 0 -4 cos(/6)=L2(/6)=0.8508 精 确 值 ： cos (/6)=0.8660Lagrange插值余项与误差估计 ?)(?)( xRxLn nn 55,1 1)( 2 xxxgRunge现 象 : -5 0 5-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 y=1/(1+x2)n=2n=4 n=6 n=8 n=10)()(lim 63.363.3 xgxL xnn 有仅当)()(lim 63.3,63.3 xgxLx nn 有当 四 、 拉 格 朗 日 插 值 多 项 式 的 振 荡 内 容 小 结1. 插 值 法 概 述 ；内 容 小 结2. 一 般 插 值 多 项 式 原 理 ；3. 拉 格 朗 日 插 值 ；4. 拉 格 朗 日 插 值 余 项 和 误 差 估 计 ；5. 拉 格 朗 日 插 值 多 项 式 的 构 造 。