数学分析习题

曲 线 积 分 与 曲 面 积 分 习 题 课 （ 一 ） 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分（ 二 ） 各 种 积 分 之 间 的 联 系（ 三 ） 场 论 初 步 曲线积分 曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分定义计算定义计算联系联系（ 一 ） 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分 曲 线 积 分对 弧 长 的 曲 线 积 分 对 坐 标 的 曲 线 积 分定义 ni iiiL sfdsyxf 10 ),(lim),( L dyyxQdxyxP ),(),( ),(),(lim 10 iiini iii yQxP 联系 dsQPQdyPdx LL )coscos( 计算 dtf dsyxfL 22, ),(三 代 一 定 )( dtQP QdyPdxL ),(),(二 代 一 定 (与 方 向 有 关 ) 与 路 径 无 关 的 四 个 等 价 命 题条件 在 单 连 通 开 区 域 D上 ),(),( yxQyxP 具 有 连 续 的 一 阶 偏 导 数 ,则 以 下 四 个 命 题 成 立 . L QdyPdxD 与 路 径 无 关内在)1( C DCQdyPdx 闭 曲 线,0)2( QdyPdxduyxUD 使内 存 在在 ),()3( xQyPD ,)4( 内在等价命题 曲 面 积 分对 面 积 的 曲 面 积 分 对 坐 标 的 曲 面 积 分定义 ni iiii sfdszyxf 10 ),(lim),( xyini iii SRdxdyzyxR )(),(lim),( 10 联系 RdxdyQdzdxPdydz计 算 一 代 ,二 换 ,三 投 (与 侧 无 关 ) 一 代 ,二 投 ,三 定 向 (与 侧 有 关 ) dSRQP )coscoscos( dszyxf ),( xyD yx dxdyzzyxzyxf 221),(, dxdyzyxR ),( xyD dxdyyxzyxR ),(, 定 积 分曲 线 积 分 重 积 分曲 面 积 分 计 算 计 算计 算G reen公 式Stokes公 式G uass公 式（ 二 ） 各 种 积 分 之 间 的 联 系 点 函 数)(,)(lim)( 10 MfMfdMf ni i .)()( ,1 ba dxxfdMf baR 时上 区 间当 .),()( ,2 D dyxfdMf DR 时上 区 域当定 积 分二 重 积 分 dVzyxfdMf R ),()( ,3 时上 区 域当 .),()( ,3 dszyxfdMf R 时上 空 间 曲 线当 .),()( ,3 S dSzyxfdMf SR 时上 曲 面当曲 面 积 分曲 线 积 分三 重 积 分 .),()( ,2 L dsyxfdMf LR 时上 平 面 曲 线当曲 线 积 分 )(,),(),( )( )(21 面 元 素 ddxdyyxfdyxf ba xy xyD )(,),(),( )( )( ),( ),(21 21 体 元 素dVdzzyxfdydxdVzyxf ba xy xy yxz yxz baL dsdxyxyxfdsyxf )(,1)(,),( 2 曲线 元 素 baL dxdxxyxfdxyxf )(,)(,),( 投 影线 元 素 xyD yx dxdyzzyxzyxfdszyxf 221),(,),( xyD dxdyyxzyxfdxdyzyxR ),(,),(其 中 dsRQP dxdyRQdzdxPdydz )coscoscos( dsQPQdyPdxL )coscos( )( 曲面 元 素ds )( 投 影面 元 素dxdy 1.定 积 分 与 不 定 积 分 的 联 系 )()()()()( xfxFaFbFdxxfba 牛 顿 -莱 布 尼 茨 公 式2.二 重 积 分 与 曲 线 积 分 的 联 系 )()( 的 正 向沿 LQdyPdxdxdyyPxQ LD 格 林 公 式 3.三 重 积 分 与 曲 面 积 分 的 联 系 RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP )( 高 斯 公 式4.曲 面 积 分 与 曲 线 积 分 的 联 系 dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR )()()( RdzQdyPdx 斯 托 克 斯 公 式 DL dxdykArotsdA )( DL dxdyAdivdsnA )( dSnArotdSA )( RQP zyx dxdydzdxdydz RdzQdyPdx dvAdivdsnA )( dvzRyQxP RdxdyQdzdxPdydz )( DL dxdyyPxQQdyPdx )( DL dxdyyQxPPdyQdx )(或推 广 推 广为 平 面 向 量 场)(MA 为 空 间 向 量 场)(MA 梯 度 kzujyuixugradu 通 量旋 度环 流 量 zRyQxPAdiv RdxdyQdzdxPdydz kyPxQjxRzPizQyRArot )()()( RdzQdyPdx散 度（ 三 ） 场 论 初 步 例 1 计 算 L dyyxdxxyxI )()2( 422 , 其 中 L为 由 点 )0,0(O 到 点 )1,1(A 的 曲 线 xy 2sin .思 路 : L QdyPdxI xQyP xQyP 0 L QdyPdxI ),( ),( 00 yx yx QdyPdxI 闭 合非 闭 闭 合 D dxdyyPxQI )(非 闭 补 充 曲 线 或 用 公 式 解 xxyxyyP 2)2( 2 知 xyxxxQ 2)( 42 ,xQyP 即 10 410 2 )1( dyydxx故 原 式 .1523 xyo 11 A dyyxdxxyxI )()2( 422由 例 2 计 算 L xx dymyedxmyyeI )cos()sin( , 其 中 L为 由 点 )0,(a 到 点 )0,0( 的 上 半 圆 周0,22 yaxyx .解 myemyyeyyP xx cos)sin( yemyexxQ xx cos)cos( xQyP 即 (如 下 图 ) xyo )0,(aAMdxdyyPxQDAMOA )( D dxdym ,8 2am 0)(00 medx xaAO ,0 08 2 am .8 2am AMOA AOAOAOLI AMOA AOI 曲 面 面 积 的 计 算 法SDxy ),( yxfz x yoz dSS xyD yx dxdyzz 221 dsyxfS BAL ),( ),( dxyyxfba 21),(zx o y),( yxfz sLA Ba b 曲 顶 柱 体 的 表 面 积 LD yxdsyxf dffS ),( )11( 22 x z yo ),( yxfz LD如 图 曲 顶 柱 体 ， 例 3 求 柱 面 13 232 yx 在 球 面 1222 zyx 内 的 侧 面 积 .解 由 对 称 性 LL dsyxzdsS 2218 ,1: 3232 yxL )20(,sin ,cos33 tty tx参 数 方 程 为 ,cossin3)()( 22 tdttdtyxds tt tdttttS cossin3sincos18 20 66 tdtttt cossincossin324 20 22 20 22 cossin324 tdtt .233 在 第 一 卦 限 部 分 的 上 侧为 平 面 为 连 续 函 数其 中计 算 1 ,),(,),( ),(2),( zyx zyxfdxdyzzyxf dzdxyzyxfdydzxzyxfI例 x yoz 111 解 利 用 两 类 曲 面 积 分 之 间 的 关 系,1,1,1 n 的 法 向 量 为 .31cos,31cos,31cos dszzyxfyzyxf xzyxfI ),(31),(231 ),(31 dszyx )(31 xyD dxdy3131 .21 向 量 点 积 法 ,1,),(: yx ffyxfz 法 向 量 为设 RdxdyQdzdxPdydzI dxdyffRQP yx 1, dsnA 0, dxdydzdxdydzRQP .1, dxdyffRQPxoy yx 面 投 影在将 所 截 部 分 的 外 侧 被 平 面锥 面 为其 中计 算 2,1 ,22 2 zzyxz dxdyzxdzdxydydzI例 解 , ,22 22 yx yf yx xfy x D 利 用 向 量 点 积 法 21 220 rdrrd .215 dxdyz2 xyD dxdyyx )( 22 dxdyyx yyx xzxyI 1, 22222 41: 22 yxDxy 例 6 计 算 曲 面 积 分 yzdxdydzdxyxdydzyI 4)1(2)18( 2 , 其 中 是 由 曲 线 )31(0 1 yx yz 绕 y轴 旋 转 一 周 所 成 的 曲 面 ,它 的 法 向 量 与 y轴 正 向 的 夹 角 恒 大 于 2 .解 221 0 1 xzy yx yz 轴 旋 转 面 方 程 为绕 (如 下 图 ) x yzo 1 32 * * *I且 有 dxdydzzRyQxP )(* dxdydzyyy )4418( yzdxdydzdxyxdydzyI 4)1(2)18( 2 欲 求 dv xzD xz dydxdz 31 22 312020 2 dydd 20 3)2(2 d ,2 * * 2)31(2 dzdx ,32)32(2 I故 .34 .2,1 , .7 2222外侧所围成立体整个表面的和为锥面其中计算 zz yxzdxdyyxez解 ,0,0 22 yxeRQP z由高斯公式得到dxdyyxez 22 dvyxez )00( 22 rdrrdzed zz 0 2 1 2 0 1 .2 2e zD z dxdyyxedz 222 1 ):( 222 zyxDz O 2x z y32 1 ( cos cos cos ) ,3cos ,cos ,cos . V x y z ds 证 明 封 闭 曲 面 所 包 围 的 体 积 为其 中 是 曲 面 的 外 法 向 量 的 方 向余 弦证明, zRyQxP dszyx )coscoscos( dvzRyQxP )( dv3 .)coscoscos(31 dszyxV 所以.3V由高斯公式，得到 例 8 . , .9 222的上侧是上半球面其中计算yxRz xzdydz 解. 2221的下侧平面上的圆域是设RyxxOy , 0,0, RQxzP 1xzdydz dvxzx )( zdxdydz drrdd R sincos 2 0 2 0 2 0 .4 4R xzdydz 所以 1xzdydz 1 xzdydz04 4 R ）（ 01 xzdydz.4 4R由高斯公式，得到 . )0( )()()( .10 22外侧空间区域的整个边界的所围成的及平面为曲面其中计算 hhzyxz dxdyyxdzdxxzdydzzy解1 上的部分上侧为在记hz上：在22 yxz .)(0 )(0 )(0 )(0 5432 为左侧的部分，为右侧的部分，为后侧的部分，为前侧的部分yyxx 4 y15 2x z O 3 dydzzy )( dydzzy 1 2 3 )( ;0)()(0 yzyz DD dydzzydydzzy同理可得;0)( dzdxxz而ydxdyx )( 321 )()( dxdyyxdxdyyx .0)()( xyxy DD dxdyyxdxdyyx .0)()()( dxdyyxdzdxxzdydzzy所以（或由高斯公式得到所求积分值为0） 4 y15 2x z O 3 一 、 选 择 题 : 1、 设 L为 230,0 yxx ,则 L ds4 的 值 为 ( ). (A) 04x ， (B) ,6 (C) 06x .2、 设 L为 直 线 0yy 上 从 点 ),0( 0yA 到 点 ),3( 0yB 的 有 向 直 线 段 ,则 L dy2 =( ). (A)6; (B) 06y ; (C)0. 3、 若 L是 上 半 椭 圆 ,sin ,costby tax 取 顺 时 针 方 向 ,则 L xdyydx 的 值 为 ( ). (A)0; (B) ab2 ; (C) ab . 测 验 题 4、 设 ),(,),( yxQyxP 在 单 连 通 区 域 D内 有 一 阶 连 续 偏 导 数 ,则 在 D内 与 L QdyPdx 路 径 无 关 的 条 件 DyxyPxQ ),(, 是 ( ). (A)充 分 条 件 ; (B)必 要 条 件 ; (C)充 要 条 件 . 5、 设 为 球 面 1222 zyx , 1 为 其 上 半 球 面 ,则 ( )式 正 确 . (A) 12 zdszds ; (B) 12 zdxdyzdxdy ; (C) 1 22 2 dxdyzdxdyz . 6、 若 为 )(2 22 yxz 在 xoy面 上 方 部 分 的 曲 面 , 则 ds等 于 ( ). (A) r rdrrd 0 220 41 ;(B) 20 220 41 rdrrd ; (C) 20 220 41 rdrrd . 7、 若 为 球 面 2222 Rzyx 的 外 侧 ,则 zdxdyyx 22 等 于 ( ). (A) xyD dxdyyxRyx 22222 ; (B) 2 xyD dxdyyxRyx 22222 ; (C) 0 . 8、 曲 面 积 分 dxdyz2 在 数 值 上 等 于 ( ). (A) 向 量 iz2 穿 过 曲 面 的 流 量 ；(B) 面 密 度 为 2z 的 曲 面 的 质 量 ； (C) 向 量 kz2 穿 过 曲 面 的 流 量 .9、 设 是 球 面 2222 Rzyx 的 外 侧 , xyD 是 xoy面 上 的 圆 域 222 Ryx ,下 述 等 式 正 确 的 是 ( ). (A) xyD dxdyyxRyxzdsyx 2222222 ； (B) xyD dxdyyxdxdyyx )()( 2222 ； (C) xyD dxdyyxRzdxdy 2222 . 10、 若 是 空 间 区 域 的 外 表 面 ,下 述 计 算 中 运 用 奥 -高 公 式 正 确 的 是 ( ). (A) 外 侧 dxdyyzdydzx )2(2 = dxdydzx )22( ； (B) 外 侧 zdxdyydzdxxdydzyzx 23 2)( = dxdydzxx )123( 22 ； (C) 内 侧 dxdyyzdydzx )2(2 = dxdydzx )12( . 二 、 计 算 下 列 各 题 : 1、 求 zds,其 中 为 曲 线 , ,sin ,costz tty ttx )0( 0tt ； 2、 求 L xx dyyedxyye )2cos()2sin( ,其 中 L 为 上 半 圆 周 222)( ayax , 0y ,沿 逆 时 针 方 向 . 三 、 计 算 下 列 各 题 :1、 求 222 zyx ds 其 中 是 界 于 平 面 Hzz 及0 之 间 的 圆 柱 面 222 Ryx ； 2、 求 dxdyyxdzdxxzdydzzy )()()( 222 ， 其 中 为 锥 面 )0(22 hzyxz 的 外 侧 ； 3、 3222 )( zyx zdxdyydzdxxdydz 其 中 为 曲 面9 )1(16 )2(51 22 yxz )0( z 的 上 侧 . 四 、 证 明 : 22 yx ydyxdx 在 整 个 xoy平 面 除 去 y的 负 半 轴 及 原 点 的 开 区 域 G 内 是 某 个 二 元 函 数 的 全 微 分 ,并 求 出 一 个 这 样 的 二 元 函 数 . 五 、 求 均 匀 曲 面 222 yxaz 的 重 心 的 坐 标 . 六 、 求 向 量 kzjyixA 通 过 区 域 : ,10 x10,10 zy 的 边 界 曲 面 流 向 外 侧 的 通 量 . 七 、 流 体 在 空 间 流 动 ,流 体 的 密 度 处 处 相 同 ( 1 ), 已 知 流 速 函 数 kzyjyxixzV 222 ,求 流 体 在 单位 时 间 内 流 过 曲 面 zzyx 2: 222 的 流 量 (流 向 外 侧 )和 沿 曲 线 :L zzyx 2222 , 1z 的 环 流量 (从 z轴 正 向 看 去 逆 时 针 方 向 ) . 测 验 题 答 案 一 、 1、 B； 2、 C； 3、 C； 4、 C； 5、 B； 6、 C； 7、 B； 8、 C； 9、 C； 10、 B. 二 、 1、 3 22)2( 2 320 t ； 2、 2a . 三 、 1、 RHarctan2 ； 2、 44 h ； 3、 0. 四 、 )ln(21),( 22 yxyxu . 五 、 )2,0,0( a . 六 、 3. 七 、 0,1532 .