资源描述
要点导学各个击破直线与圆锥曲线如图,已知椭圆C:+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,点A是椭圆上任意一点,AF1F2的周长为4+2.(例1)(1) 求椭圆C的方程;(2) 过点Q(-4,0)任作一动直线l交椭圆C于M,N两点,记=,若在线段MN上取一点R,使得=-,则当直线l转动时,点R在某一定直线上运动,求该定直线的方程.思维引导(1) 根据条件求出基本量“a,b”,从而得出椭圆C的方程;(2) 根据=和=-,将用点M,N的坐标表示,然后解出点R的坐标,从而得出该直线的方程.解答(1) 因为AF1F2的周长为4+2,所以2a+2c=4+2,即a+c=2+.又e=,解得a=2,c=,b2=a2-c2=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.(2) 由题意知,直线l的斜率必存在,设其方程为y=k(x+4),设点M(x1,y1),点N(x2,y2).由得(1+4k2)x2+32k2x+64k2-4=0,则x1+x2=,x1x2=.由=,得(-4-x1,-y1)=(x2+4,y2),所以-4-x1=(x2+4),=-.设点R的坐标为(x0,y0),由=-,得(x0-x1,y0-y1)=-(x2-x0,y2-y0),所以x0-x1=-(x2-x0),解得x0=,而2x1x2+4(x1+x2)=2+4=-,(x1+x2)+8=-+8=,所以x0=-1,故点R在定直线x=-1上.(2014北京东城区模拟)已知椭圆+=1(ab0)上的点到其两焦点距离之和为4,且过点(0,1).(1) 求椭圆的方程;(2) 设O为坐标原点,斜率为k的直线过椭圆的右焦点,且与椭圆交于点A(x1,y1),B(x2,y2),若+=0,求AOB的面积.解答(1) 依题意有a=2,b=1.故椭圆的方程为+y2=1.(2) 由(1)知焦点坐标为(,0),因为直线AB过右焦点(,0),设直线AB的方程为y=k(x-).联立方程组消去y并整理得(4k2+1)x2-8k2x+12k2-4=0.(*)故x1+x2=,x1x2=,y1y2=k(x1-)k(x2-)=.又+=0,即+y1y2=0,所以+=0,可得k2=,即k=.方程(*)可化为3x2-4x+2=0,由AB=|x1-x2|,可得AB=2,故原点O到直线AB的距离d=1.所以SAOB=ABd=1.圆锥曲线的综合问题如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(ab0)的左、右顶点分别为点A,B,离心率为,右准线为l:x=4,M为椭圆上不同于A,B的一点,直线AM与直线l交于点P.(1) 求椭圆C的方程;(2) 若=,判断点B是否在以PM为直径的圆上,并说明理由;(3) 连接PB并延长,交椭圆C于点N,若直线MN垂直于x轴,求点M的坐标.(例2)思维引导(1) 直接根据题意,可得基本量,写出椭圆的方程;(2) 将几何问题代数化,转化为判断向量的数量积是否为0,体现了解析几何的基本思想;(3) 直线与椭圆的位置关系,利用方程解决.解答(1) 由解得所以b2=3.所以椭圆的方程为+=1.(2) 因为=,所以xM=1.代入椭圆,得yM=,即M.所以直线AM的方程为y=(x+2),得点P(4,3).所以=,=(2,3).因为=0,所以点B不在以PM为直径的圆上.(3) 因为MN垂直于x轴,故由椭圆对称性可设M(x1,y1),N(x1,-y1).直线AM的方程为y=(x+2),所以yP=,直线BN的方程为y=(x-2),所以yP=,所以=.因为y10,所以=-,解得x1=1.所以点M的坐标为.精要点评熟练掌握椭圆的几何性质,并能将几何问题代数化,运用代数方法解决几何,渗透“以数助形”的思想.已知椭圆M的对称轴为坐标轴,离心率为,且抛物线y2=4x的焦点是椭圆M的一个焦点.(1) 求椭圆M的方程;(2) 设直线l与椭圆M相交于A,B两点,以线段OA,OB为邻边作平行四边形OAPB,其中点P在椭圆M上,点O为坐标原点,求点O到直线l的距离的最小值.解答(1) 由题意知抛物线的焦点为(,0),设椭圆的方程为+=1(ab0),则c=.由e=,得a=2,b2=2,所以椭圆M的方程为+=1.(2) 当直线l的斜率存在时,设直线方程为y=kx+m,联立方程组消去y,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-4=0,=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-4)=8(2+4k2-m2)0.设A,B,P三点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(x0,y0),则x0=x1+x2=-,y0=y1+y2=k(x1+x2)+2m=,由于点P在椭圆M上,所以+=1.从而+=1,化简得2m2=1+2k2,经检验满足式.又点O到直线l的距离为d=,当且仅当k=0时等号成立.当直线l斜率不存在时,由对称性知,点P一定在x轴上,从而点P的坐标为(-2,0)或(2,0),直线l的方程为x=1,所以点O到直线l的距离为1.综上,点O到直线l的距离最小值为.圆锥曲线的实际应用某中心接到其正西、正东、正南方向的三个观测点A,B,C的报告:正西、正南两个观测点同时听到一声巨响,正东观测点听到的时间比其他两观测点早4 s.已知各观测点到该中心的距离都是1 020 m,试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音的速度为340 m/s,相关各点均在同一个平面上)思维引导这是一个有关双曲线的定义,直线与双曲线位置关系的应用问题.解答如图,以接报中心为原点O,正东,正北方向分别为x轴,y轴正方向建立平面直角坐标系,则点A(-1 020,0),B(1 020,0),C(0,-1 020).(例3)设P(x,y)为巨响发生点,则PA-PB=1 360,AB=2 040.由双曲线的定义可知,点P在以A,B为焦点的双曲线-=1上.又PA=PC,所以点P在AC的中垂线y=x上.依题意,a=680,c=1 020,所以b2=c2-a2=53402,故双曲线的方程为-=1.把y=x代入,得x=680.因为PAPB,所以x=y=680,即P(680,680),故PO=680.故巨响发生在接报中心的北偏东45、距中心680 m处.精要点评本题是双曲线的方程性质在实际问题中的应用,利用两个不同的观测点测得同一声巨响的时间差,可以确定巨响发生位置所在的双曲线的方程.已知过抛物线y2=2px(p0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y2),B(x2,y2)(x10,b0)的左焦点F为圆x2+y2+2x=0的圆心,且椭圆上的点到点F的距离最小值为-1,那么该椭圆的方程为.答案+y2=1解析因为圆x2+y2+2x=0的圆心为(-1,0),半径r=1,所以椭圆的半焦距c=1.又椭圆上的点到点F的距离的最小值为-1,所以a-c=-1,即a=,故所求椭圆的方程为+y2=1.2. 已知双曲线-=1(a0,b0)的一条渐近线与直线x+2y-1=0垂直,那么该双曲线的离心率为.答案解析双曲线的渐近线为y=x,直线x+2y-1=0的斜率为-.因为y=x与直线x+2y-1=0垂直,所以=-1,即b=2a.所以c2=a2+b2=5a2,即e2=5,e=.3. (2014山东卷)已知ab0,椭圆C1的方程为+=1,双曲线C2的方程为-=1.若椭圆C1与双曲线C2的离心率之积为,则双曲线C2的渐近线方程为.答案xy=0解析由题意得=,所以=,双曲线的渐近线方程为y=x,即xy=0.4. 已知抛物线x2=2py(p0)与圆x2+y2=1有公共的切线y=x+b,那么p=.答案2解析圆心到直线的距离d=1,所以|b|=.抛物线的方程为y=,函数的导数为y=x,设抛物线的切点坐标为(x0,y0),所以有y=x0=1,所以x0=p,代入得y0=,代入切线y=x+b得=b+p,即b=-,所以=,p=2.温馨提醒趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习(第125-126页).
展开阅读全文