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要点导学各个击破两直线的平行与垂直关系(2014广东六校联考)如果直线(2a+5)x+(a-2)y+4=0与直线(2-a)x+(a+3)y-1=0互相垂直,那么a=.答案2或-2解析由于直线(2a+5)x+(a-2)y+4=0与直线(2-a)x+(a+3)y-1=0互相垂直,则有(2a+5)(2-a)+(a-2)(a+3)=0,解得a=2.(2014佳木斯模拟)若直线l1:(3+a)x+4y=5-3a和直线l2:2x+(5+a)y=8平行,则a=.答案-7解析根据题意有=,解得a=-7.利用直线之间的关系求直线方程已知两点M(0,2),N(-2,0),直线l:kx-y-2k+2=0(k为常数).若点M,N到直线l的距离相等,求直线l的方程.解答因为点M,N到直线l的距离相等,所以lMN或l过MN的中点.因为M(0,2),N(-2,0),所以kMN=1,MN的中点坐标为C(-1,1).又直线l:kx-y-2k+2=0过点D(2,2),当lMN时,k=kMN=1,经检验符合题意;当l过MN的中点时,-k-1-2k+2=0,解得k=.综上,直线l的方程为x-y=0或x-3y+4=0.【题组强化重点突破】1. 与直线3x+4y-6=0平行且距离为4的直线的方程是.答案3x+4y+14=0或3x+4y-26=0解析根据平行直线系,可设直线的方程为3x+4y+m=0,由平行距离公式=4,解得m=14或-26.故所求直线的方程为3x+4y+14=0或3x+4y-26=0.2. 已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l对称,那么直线l的方程为.答案x-y+1=0解析因为kPQ=-1,所以kl=1,PQ的中点为,即(2,3),直线l的方程为y-3=x-2,即x-y+1=0.3. 从点(2,3)射出的光线沿与直线x-2y=0平行的直线射到y轴上,经y轴反射的光线所在的直线方程为.答案x+2y-4=0解析由题意得,射出的光线方程为y-3=(x-2),即x-2y+4=0,与y轴交点为(0,2).又(2,3)关于y轴的对称点为(-2,3),所以反射光线所在直线过点(0,2),(-2,3),故所求直线方程为y-2=x,即x+2y-4=0.4. (2014南安模拟)过点(-1,2)且与原点的距离最大的直线方程是.答案x-2y+5=0解析设A(-1,2),则OA的斜率等于-2,故所求直线的斜率等于,由点斜式求得直线的方程为y-2=(x+1),化简得x-2y+5=0.5. (1) 已知直线l1:ax+by=0,l2:(a-1)x+y+2b=0.若直线l1,l2同时平行于直线x+2y+3=0,那么a=,b=.(2) 若直线(m-1)x+(2m+3)y+2=0与(m+2)x+(1-m)y-3=0互相垂直,则实数m=.答案(1) 3(2) 1解析(1) 由两直线平行的充要条件,得解得a=,b=3,经检验符合题意.(2) 由两直线垂直的充要条件,得(m-1)(m+2)+(2m+3)(1-m)=0,所以m=1.关于直线(或点)的对称问题已知点A的坐标为(-4,4),直线l的方程为3x+y-2=0.(1) 求点A关于直线l的对称点A的坐标;(2) 求直线l关于点A的对称直线l的方程.思维引导(1) 点A与A关于直线l对称,主要运用两点,一个是AAl,另一个是AA的中点坐标满足直线l的方程3x+y-2=0;(2) 关于点A对称的两直线l与l互相平行,由此可以求出直线l关于点A的对称直线l的方程.解答(1) 设点A的坐标为(x,y).因为点A与A关于直线l对称,所以AAl,且AA的中点在l上,而直线l的斜率是-3,所以kAA=,即=.因为直线l的方程为3x+y-2=0,AA的中点坐标是,所以3+-2=0.由和,解得x=2,y=6,所以点A的坐标为(2,6).(2) 因为关于点A对称的两直线l与l互相平行,于是可设l的方程为3x+y+c=0.在直线l上任取一点M(0,2),其关于点A对称的点为M(x,y),于是M点在l上,且MM的中点为点A,由此得=-4,=4,即x=-8,y=6,故有M(-8,6).因为点M在l上,所以3(-8)+6+c=0,所以c=18.故直线l的方程为3x+y+18=0.(2014江苏模拟)已知直线a:3x+4y+1=0关于直线l对称的直线b的方程为12x-5y=0,求直线l的方程.解答设点P(x,y)为直线l上的任意一点,点P到直线a,b的距离相等,即=,整理得21x-77y-13=0或99x+27y+13=0,即为直线l的方程.在直线l:3x-y-1=0上求一点P,使得:(1) 点P到点A(4,1)和B(3,4)的距离之和最小;(2) 点P到点A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大.思维引导(1) A,B两点在直线l的同侧,直线l上点P到A,B两点的距离之和等价于点P到A,B两点的距离之和(点B与点B关于直线l对称);这样就将原来的问题转化为简单问题“在直线l:3x-y-1=0上求一点P,使得点P到点A(4,1)和点B的距离之和最小”了,所求点即为直线l与AB的交点.(2) A,B两点在直线l的异侧,直线l上点P到A,B两点的距离之差等价于点P到A,B两点的距离之差(点B与点B关于直线l对称);这样就将原来的问题转化为简单问题“在直线l:3x-y-1=0上求一点P,使得点P到点A(4,1)和点B的距离之差最大”了,所求点即为直线l与AB的交点.规范答题(1) 如图(1),设点B关于直线l的对称点为B,则PA+PB=PA+PBAB,即PA+PB的最小值等于AB.此时直线AB与直线l的交点即为点P.(2分)设点B(m,n),则解得即点B的坐标为. (6分)由两点式可求得直线AB的方程为19x+17y-93=0.则易得直线AB与l的交点坐标为,即为所求的点P的坐标. (7分) 图(1) 图(2)(范题赏析)(2) 如图(2),设点B关于直线l的对称点为B,则PA-PB=PA-PBAB,即PA-PB的最大值等于AB.此时直线AB与直线l的交点即为点P.(9分)设点B(m,n),则解得即点B的坐标为(3,3).所以直线AB 的方程为2x+y-9=0.(12分)所以直线AB与直线l的交点为(2,5),即点P的坐标为(2,5).(14分)精要点评本题无法直接去做,需通过求点B的对称点B,将PB转化为PB,从而实现问题的解决.这里运用了重要的数学思想方法化归思想!1. 若点A(1,3)在直线l上的射影为(-5,1),则直线l的方程是.答案3x+y+14=0解析因为点A(1,3)在直线l上的射影为P(-5,1),所以kPA=,所以kl=-3,所以直线l的方程是3x+y+14=0.2. 设aR,则“a=1”是“直线l1:ax+2y=0与直线l2 :x+(a+1)y+4=0平行”的条件.答案充分不必要解析由=,解得a=1或a=-2.所以当a=1时,两直线平行成立,因此是充分条件;当两直线平行时,a=1或a=-2,不是必要条件.3. 若过点P(1,2)作一直线l,使点M(2,3)和点N(4,-1)到直线l的距离相等,则直线l的方程是.答案2x+y-4=0或x+2y-5=0解析当直线l经过MN的中点时,其方程是x+2y-5=0;当直线平行于直线l时,直线l的方程是2x+y-4=0.4. 若直线x+2y-3=0与直线ax+4y+b=0关于点A(1,0)对称,则b=.答案25. 在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P是边AB上异于A,B的一点,光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P(如图所示),若光线QR经过ABC的重心,则AP=.(第5题)答案解析不妨设AP=m(0m4),建立坐标系,设AB所在的直线为x轴,AC所在的直线为y轴,则A(0,0),B(4,0),C(0,4),Q(xQ,yQ),R(0,yR),P(m,0),可知ABC的重心为G,根据反射性质,可知点P关于y轴的对称点P1(-m,0)在直线QR上,点P关于直线BC:x+y=4的对称点P2(4,4-m)在直线RQ上,则QR的方程为=,将点G代入可得3m2-4m=0,即m=或m=0(舍去).温馨提醒趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习(第109-110页).
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