（江苏专用）高考数学大一轮复习 第十章 解析几何初步 第54课 直线的基本量与方程 文-人教版高三全册数学试题

第54课 直线的基本量与方程(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修2P76练习1改编)已知直线l的方程为-3x+2y=12，那么直线l的斜率为，在x轴上的截距为，在y轴上的截距为.【答案】-46【解析】化直线为斜截式y=x+6，故k=；令y=0，得x=-4，所以直线在x轴上的截距为-4；令x=0，得y=6，所以直线在y轴上的截距为6.2.(必修2P73练习3改编)已知两点A(4，0)，B(0，3)，点C(8，a)在直线AB上，那么实数a=.【答案】-3【解析】由kAB=kAC，得=，所以a=-3.3.(必修2P72练习2改编)若直线l经过原点与点(-3，)，则直线l的倾斜角为.【答案】150【解析】因为k=tan =-，所以直线l的倾斜角为150.4.(必修2P73练习3改编)已知直线l经过点A(1，2)，且倾斜角是直线y=2x+3的倾斜角的2倍，那么直线l的方程为.【答案】4x+3y-10=0【解析】设直线y=2x+3的倾斜角为，则tan =2，所以直线l的倾斜角为2，所以k=tan 2=-，所以直线l的方程为4x+3y-10=0.1.直线的倾斜角的取值范围是0，).2.已知直线上不同的两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，当x1x2时，直线PQ的斜率为；当x1=x2时，直线PQ的斜率不存在.3.当直线与x轴不垂直时，直线的斜率k与倾斜角之间的关系是k=tan .4.直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y-y0=k(x-x0)不含直线x=x0斜截式y=kx+b不含垂直于x轴的直线两点式=不含直线x=x1(x1=x2)和y=y1(y1=y2)截距式+=1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax+By+C=0(A，B不全为0)平面直角坐标系内的直线都适用【要点导学】要点导学各个击破直线的斜率例1若直线ax+y+1=0与连接点A(2，3)，B(-3，2)的线段相交，则实数a的取值范围是.【思维引导】直线与线段AB相交，即可得直线与线段的交点在线段上，于是只需在直线上取一定点，与线段两端点求出斜率即可.【答案】(-，-21，+)【解析】直线的斜率为k=-a，且直线经过定点P(0，-1)，分别求出直线PA，PB的斜率为2，-1，可得斜率k的取值范围是(-，-12，+)，则实数a的取值范围是(-，-21，+).【精要点评】解答已知直线过某定点且与已知线段有交点，求其中参数的取值范围时，常用数形结合法，分别求出该定点与线段的两个端点连线的斜率，再根据图形列出不等式(组)来求解.变式1如图，直线l过点P(-1，2)，且与以A(-2，-3)，B(4，0)为端点的线段恒相交，则直线l的斜率的取值范围为.(变式1)【答案】变式2若直线(k2-1)x-y-1+2k=0不经过第二象限，则实数k的取值范围是.【答案】(-，-1【解析】直线方程可化为y=(k2-1)x+2k-1，因为直线不过第二象限，所以或或解得k-1.即实数k的取值范围是(-，-1.直线的斜率与倾斜角例2设点P是函数y=(x+1)图象上异于原点的动点，且该图象在点P处的切线的斜率为k，倾斜角为.(1)求k的最小值；(2)求的取值范围.【思维引导】本题需要先通过导数求出切线的斜率，再根据所得函数模型，求出斜率的取值范围，再算出倾斜角的取值范围.【解答】(1)k=y=，当且仅当x=时取等号，所以k的最小值为.(2)又k=tan ，0，所以.【精要点评】(1)直线的斜率不存在，则直线的倾斜角为90，直线垂直于x轴；(2)倾斜角和斜率的变化关系，请结合y=tan x，x的图象考虑.变式1如果直线l经过A(2，1)，B(1，m2)(mR)两点，那么直线l的倾斜角的取值范围是.【答案】【解析】k=tan =1-m21，所以.变式2直线x+(a2+1)y+1=0(aR)的倾斜角的取值范围是.【答案】【解析】由题知斜率k=-，故k-1，0)，由正切函数的图象知倾斜角.直线的方程例3(1)已知直线l的纵截距为-1，倾斜角是直线l1：3x+4y-1=0的倾斜角的一半，求直线l的方程.(2)已知直线l过点A(-2，4)，分别交x轴、y轴于点B，C，且满足=，求直线l的方程.【思维引导】(1)设直线l的方程为斜截式，由倾斜角的关系求出斜率；(2)设直线l的方程为截距式，由向量关系求出横截距和纵截距.【解答】(1)设直线l的斜率为k，倾斜角为，直线l1的倾斜角为，则tan =-，且=2.由tan =tan 2=-，得tan =-或3.若tan =-，则90180，从而1800，b0)，因为直线l经过点P(4，1)，所以+=1.(1)+=12=，所以ab16，当a=8，b=2时等号成立，所以a=8，b=2时，AOB的面积最小，此时直线的方程为+=1，即x+4y-8=0.(2)因为+=1，a0，b0，所以OA+OB=a+b=(a+b)(+)=5+9，当且仅当a=6，b=3时等号成立，所以OA+OB最小时，直线l的方程为x+2y-6=0.【精要点评】(1)本题使用直线方程的截距式，几何关系清晰，解法比较简捷，当然也可以使用点斜式，但是要注意斜率k0.(2)通过比较发现，选用直线方程的不同形式求解问题的效果不同，这就需要我们充分认识不同形式的直线方程的特点.例5已知直线l：(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0.(1)求证：不论m为何实数，直线l恒过一定点M；(2)过定点M作一条直线l1，使夹在两坐标轴之间的线段被点M平分，求直线l1的方程.【思维引导】(1)把直线的方程形式转化为关于m的恒等式再求定点坐标；(2)过点M设方程，然后求交点，构造关于点M的中点问题，最后求方程中的参数k的值.【解答】(1)因为m(x-2y-3)+2x+y+4=0，所以由题意可得解得所以直线l恒过定点M(-1，-2).(2)设所求直线l1的方程为y+2=k(x+1)，直线l1与x轴、y轴交于A，B两点，则A，B(0，k-2).由题意知AB的中点为M，所以解得k=-2.所以所求直线l1的方程为2x+y+4=0.【精要点评】求直线的定点是常见问题.解决该类问题的方法有两种：(1)构造关于某参数(如题中m)的恒等式，然后再寻找方程组求定点；(2)任意取参数(如题中m)的特殊值构造关于x，y的方程组，求定点，并代回验证.除直线中的定点问题外，还有涉及到各类函数(指数、对数、三角函数)、圆以及圆锥曲线的定点问题，值得关注.1.在平面直角坐标系中，直线y=-x+1的倾斜角为.【答案】【解析】因为tan =k=-，又0，)，所以=.2.不论m取何值，直线(m-1)x-y+2m+1=0恒过定点.【答案】(-2，3)【解析】由直线方程(m-1)x-y+2m+1=0，整理得(x+2)m-(x+y-1)=0，则解得3.若直线l经过点A(1，2)，且在x轴上的截距的取值范围是(-1，3)，则倾斜角的取值范围是.【答案】【解析】当斜率不存在时，直线l的倾斜角为，方程为x=1，此时满足题意；当斜率存在时，设直线l的斜率为k，则l的方程为y-2=k(x-1)，在x轴上的截距为1-，令-11-3，解得k1，故倾斜角的取值范围是.综上，倾斜角的取值范围是().4.经过点A(-2，2)且在第二象限与两个坐标轴围成的三角形面积最小时的直线的方程为.【答案】x-y+4=0【解析】方法一：设所求直线方程为+=1(a0)，因为+=1，所以a=.又因为a2.SABC=-ab=-= =(b+2)+=+42+4=8，当且仅当b-2=，即b=4时S最小.此时a=-4，b=4，故所求直线方程为x-y+4=0.方法二：设所求直线方程为y-2=k(x+2)，显然k0，根据题意，知SABC=|2k+2| =4+28.当且仅当k=1时取等号，故所求直线方程为x-y+4=0.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习第107108页.【检测与评估】第十章解析几何初步第54课直线的基本量与方程一、 填空题1.直线x=tan的倾斜角为.2.若经过两点A(4，2y+1)，B(2，-3)的直线的倾斜角为，则y=.3.经过两点(-1，8)和(4，-2)的直线的两点式方程是，截距式方程是，一般式方程是.4.若点A(4，3)，B(5，a)，C(6，5)三点共线，则实数a=.5.设直线l的倾斜角为，且，则直线l的斜率k的取值范围是.6.已知点A(1，3)，B(-2，-1)，若直线l：y=k(x-2)+1与线段AB相交，则斜率k的取值范围是.7.若k，-1，b三个数成等差数列，则直线y=kx+b必经过定点.8.(2014合肥三检)记直线x-3y-1=0的倾斜角为，若曲线y=ln x在点(2，ln 2)处切线的倾斜角为，则+=.二、 解答题 9.求倾斜角是直线y=-x+1倾斜角的，且分别满足下列条件的直线方程：(1)经过点(，-1)；(2)在y轴上的截距是-5.10.过点P(1，4)引一条直线，使它在两个坐标轴上的截距均为正值，且它们的和最小，求这条直线的方程.11.已知直线l：kx-y+1+2k=0.(1)求证：直线l过定点；(2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，AOB的面积为S，求S的最小值，并求出此时直线l的方程.三、 选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.已知直线l经过点M(2，1)，且分别交x轴、y轴的正半轴于点A，B，点O是坐标原点.(1)当ABO的面积最小时，求直线l的方程；(2)当MAMB取得最小值时，求直线l的方程.【检测与评估答案】第十章解析几何初步第54课直线的基本量与方程1. 【解析】因为直线的方程为x=tan=1，斜率不存在，所以倾斜角为.2.-3【解析】由题意知=tan =-1，解得y=-3.3.=+=12x+y-6=0.4.4【解析】kAC=1，kAB=a-3.由于A，B，C三点共线，所以a-3=1，即a=4.5.1，+)【解析】由k=tan ，根据正切函数图象可知k1，+).6.【解析】由题意知直线l恒过定点P(2，1)，如图所示.若l与线段AB相交，则kPAkkPB.因为kPA=-2，kPB=，所以-2k.(第6题)7.(1，-2)【解析】因为k，-1，b成等差数列，所以k+b=-2，即b=-2-k，于是直线方程可化为y=kx-k-2，即y+2=k(x-1)，故直线必过定点(1，-2).8.【解析】直线x-3y-1=0的斜率k=tan =，曲线y=ln x在点(2，ln 2)处的切线的斜率k=tan =，故tan(+)=1，又0，00且4-k0，可得k0，b0).根据题设有+=1，令S=a+b.，有S=(a+b)=5+5+4=9.当且仅当=时，即2a=b，且+=1，即a=3，b=6时，取等号.故所求直线方程为+=1，即2x+y-6=0.11. (1) 由题设得k(x+2)+(1-y)=0，所以无论k取何值，直线过定点(-2，1).(2) 令y=0，得点A的坐标为，令x=0，得点B坐标为(0，2k+1)(k0)，所以SAOB=|2k+1|=(2k+1)=(4+4)=4.当且仅当4k=，即k=时取等号.即AOB的面积的最小值为4，此时直线l的方程为x-y+1+1=0，即x-2y+4=0.12. (1) 如图，设OA=a，OB=b，ABO的面积为S，则S=ab，且直线l的截距式方程是+=1.(第12题)由直线通过点(2，1)，得+=1，所以=.因为点A和点B在x轴、y轴的正半轴上，所以上式右端的分母b-10.由此得S=b=b=b+1+=b-1+22+2=4.当且仅当b-1=，即b=2时面积S取得最小值4，此时a=4，直线l的方程为+=1，即直线l的方程为x+2y-4=0.(2) 如图，设BAO=，则MA=，MB=，所以MAMB=，则当=45时，MAMB有最小值4，此时直线l的斜率为-1，所以直线l的方程为x+y-3=0.