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要点导学各个击破求动点的轨迹方程如图,圆O1与圆O2的半径都是1,O1O2=4,过动点P分别作圆O1,圆O2的切线PM,PN(点M,N分别为切点),使得PM=PN.试建立适当的坐标系,并求动点P的轨迹方程.(例1)思维引导首先建立适当的坐标系,找到线段之间的关系,利用已知条件很容易找到动点满足圆的条件,动点的轨迹应该是圆.解答以O1O2的中点O为原点,O1O2所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,则O1(-2,0),O2(2,0).因为PM=PN,所以PM2=2PN2.因为两圆的半径都为1,所以P-1=2(P-1).设P(x,y),则(x+2)2+y2-1=2(x-2)2+y2-1,即(x-6)2+y2=33.故动点P的轨迹方程为(x-6)2+y2=33(或写成x2+y2-12x+3=0).精要点评建立的坐标系不同,则得到的结果可能不同,但是动点的轨迹仍是圆,只是解析式不同而已,但是运算难易也会有所不同,所以建立适当的坐标系会给解决问题带来不同的效果.设 A(-3,0),B(3,0)为两定点,动点P到A点的距离与到B点的距离之比为12,则点P的轨迹图形所围成的面积是.答案16解析设P(x,y),则由题意有=,所以x2+y2+10x+9=0,所以(x+5)2+y2=16,所以点P在半径为4的圆上,故其面积为16.求圆的方程(2014江苏模拟)求圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程.思维引导可以利用“待定系数法”求出圆的方程.解答设圆为(0,b),由题设知圆的方程为x2+(y-b)2=1.因为过点(1,2),所以代入得b=2.故所求圆的方程为x2+(y-2)2=1.精要点评求圆的方程时,要根据已知条件选择合适的形式,一般地,与圆心和半径有关,选择标准式,否则,选择一般式.不论是哪种形式,都是确定三个独立参数,所以应该有三个独立等式.另外,充分利用圆的有关几何性质,也可以求得圆的方程中的三个参数.常用的性质有:圆心在过切点且与切点垂直的直线上;圆心在任意弦的中垂线上;两圆相切时,切点与两圆心三点共线.(2014南安模拟)以(-1,2)为圆心、为半径的圆的一般方程为.答案x2+y2+2x-4y=0解析由圆心坐标为(-1,2),半径r=,则圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=5,化简可得x2+y2+2x-4y=0.圆中的定值(定点)问题已知圆C:x2+y2=9,点A(-5,0),在直线OA上(O为坐标原点),存在定点B(不同于点A),满足:对于圆C上任一点P,都有为一常数.试求所有满足条件的点B的坐标.思维引导由题意知点P为过A,B两点的阿波罗尼斯圆,但其定比未知,故可以用特例求出定点B,然后再验证是否为常数或先假设点B存在,再由恒等性确定B的坐标.解答方法一:假设存在这样的点B(t,0),当点P为圆C与x轴的左交点(-3,0)时,=,当点P为圆C与x轴的右交点(3,0)时,=.依题意知=,解得t=-5(舍去)或t=-.下面证明点B对于圆C上任一点P,都有为一常数.设P(x,y),则y2=9-x2,所以=,从而=为常数.方法二:假设存在这样的点B(t,0),使得为常数,则PB2=2PA2,所以(x-t)2+y2=2(x+5)2+y2,将y2=9-x2代入得x2-2xt+t2+9-x2=2(x2+10x+25+9-x2),即2(52+t)x+342-t2-9=0对x-3,3恒成立,所以解得或(舍去).所以存在点B对于圆C上任一点P,都有为常数.精要点评一般地,我们把“平面内到两个定点距离之比为常数(1)的点的轨迹是圆”叫作圆的第二定义,此圆被叫作“阿波罗尼斯圆”. 本题以阿波罗尼斯圆为背景构建定点问题,体现了阿波罗尼斯圆在解析几何中的重要位置.(2014淮安模拟)已知圆M的方程为x2+(y-2)2=1,直线l的方程为x-2y=0,点P在直线l上,过点P作圆M的切线PA,PB,切点为A,B.经过A,P,M三点的圆是否经过异于点M的定点?若经过,请求出此定点的坐标;若不经过,请说明理由.解答因为点P在直线l:x-2y=0上,设P(2m,m),MP的中点Q,因为PA是圆M的切线,所以经过A,P,M三点的圆是以点Q为圆心、MQ为半径的圆,故其方程为(x-m)2+=m2+.化简,得x2+y2-2y-m(2x+y-2)=0,此式是关于m的恒等式,故解得或所以经过A,P,M三点的圆必过异于点M的定点.已知圆O的方程为x2+y2=1,直线l1过点A(3,0),且与圆O相切.(1) 求直线l1的方程;(2) 设圆O与x轴交于P,Q两点,点M是圆O上异于点P,Q的任意一点,过点A且与x轴垂直的直线为l2,直线PM交直线l2于点P,直线QM交直线l2于点Q.证明:以PQ为直径的圆C总经过定点,并求出定点坐标.思维引导动点M是问题之源.设M点坐标为(s,t),且s2+t2=1,然后求出动圆方程.令含参数s,t的代数式的系数为0,余下部分为0,解方程组便得定点坐标.规范答题(1) 因为直线l1过点A(3,0),且与圆O:x2+y2=1相切,所以可设直线l1的方程为y=k(x-3),即kx-y-3k=0.(2分)则圆心O(0,0)到直线l1的距离为d=1,解得k=.所以直线l1的方程为y=(x-3). (4分)(2) 对于圆O:x2+y2=1,令y=0,得x=1,即P(-1,0),Q(1,0).又直线l2过点A且与x轴垂直,所以直线l2的方程为x=3.设M(s,t),则直线PM的方程为y=(x+1).由方程组解得P.同理可得Q. (10分)所以以PQ为直径的圆C的方程为(x-3)(x-3)+=0.又s2+t2=1,所以整理得(x2+y2-6x+1)+y=0. (12分)若圆C经过定点,则只需令y=0,从而有x2-6x+1=0,解得x=32.所以以PQ为直径的圆C总经过定点(32,0). (14分)精要点评 (1) 对于以PQ为直径的圆C的方程而言,本题解答选用了直径式,若选用标准式,则运算较繁.(2) 证明动曲线经过定点的一般方法是:将整理好的方程中含有参变量的代数式的系数令为0,余下部分也令为0,然后解方程组即可求得定点坐标.如:动圆(x2+y2-6x+1)+(x2+y2-5)=0恒过定点(1,2),(1,-2).1. (2014江苏模拟)若圆心在直线x=2上的圆C与y轴交于两点A(0,-4),B(0,-2),则圆C的方程为 .答案(x-2)2+(y+3)2=5解析由圆的几何意义知圆心坐标为(2,-3),半径r=,所以圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=5.2. 经过三点A(0,0),B(4,0),C(0,6)的圆的方程是 .答案(x-2)2+(y-3)2=133. 圆心为C(3,-5),且与直线x-7y+2=0相切的圆的方程为.答案(x-3)2+(y+5)2=324. 已知点P(2,1)在圆C:x2+y2+ax-2y+b=0上,点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆C上,那么圆C的圆心坐标为,半径为.答案(0,1)2解析因为点P(2,1)在圆C:x2+y2+ax-2y+b=0上,所以2a+b=-3,点P关于直线x+y-1=0的对称点(0,-1)也在圆C上,所以b=-3,a=0,故圆的方程为x2+y2-2y-3=0,圆心为(0,1),半径为2.5. 已知点M(x,y)与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离之比为,那么点M的轨迹方程为.答案x2+y2+2x-3=0解析由题意得=,化简得x2+y2+2x-3=0.温馨提醒趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习(第111-112页).
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