（江苏专用）高考数学大一轮复习 第十章 解析几何初步 第55课 两条直线的位置关系 文-人教版高三全册数学试题

第55课 两条直线的位置关系(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修2P79例2改编)经过点P(1，2)，且与直线3x+4y-100=0平行的直线的方程是.【答案】3x+4y-11=02.(必修2P77习题6改编)经过点M(3，-4)，且与直线2x+3y-21=0垂直的直线的方程是.【答案】3x-2y-17=03.(必修2P87习题7改编)直线x+ay+3=0与直线ax+4y+6=0平行的充要条件是实数a=.【答案】-2【解析】由两条直线平行可知所以a=-2.4.(必修2P94习题18改编)已知直线l：y=3x+3，那么：(1)直线l关于点M(3，2)对称的直线的方程为 ；(2)l关于直线x+y+2=0对称的直线的方程为 .【答案】(1)y=3x-17(2)x-3y-1=01.两条直线的位置关系斜截式一般式方程y1=k1x+b1，y2=k2x+b2A1x+B1y+C1=0(+0)，A2x+B2y+C2=0(+0)相交k1k2A1B2-A2B10垂直k1=-或k1k2=-1A1A2+B1B2=0平行k1=k2且b1b2或重合k1=k2且b1=b2A1=A2，B1=B2，C1=C2(0)2.两条直线公共点的个数设两条直线的方程分别是l1：a1x+b1y+c1=0，l2：a2x+b2y+c2=0，联立方程，得(1)若方程组有一组解，则l1与l2的位置关系为相交.(2)若方程组有无穷多组解，则l1与l2的位置关系为重合；(3)若方程组无解，则l1与l2的位置关系为平行.3.距离(1)平面上两点P(x1，y1)与Q(x2，y2)间的距离PQ=；(2)点P(x0，y0)到直线l：ax+by+c=0的距离d=；(3)两平行直线ax+by+m=0与ax+by+n=0间的距离d=.【要点导学】要点导学各个击破两直线位置关系的判断例1已知直线l1：mx+8y+n=0和直线l2：2x+my-1=0，试确定m，n的值，使：(1)l1和l2相交于点P(m，-1)；(2)l1l2；(3)l1l2，且l1在y轴上的截距为-1.【思维引导】考查两直线的位置关系，掌握运用直线的方程来刻画不同的位置关系.【解答】(1)联立解得所以当m=1，n=7时，l1与l2相交于点P(m，-1).(2)由题意得=，即m2-16=0，得m=4.又，即n-，所以m=4，n-2或m=-4，n2时，l1l2.(3)当且仅当m2+8m=0，即m=0时，l1l2.又-=-1，所以n=8，即m=0，n=8时，l1l2，且l1在y轴上的截距为-1.【精要点评】运用直线的一般式方程判断位置关系时，需准确掌握两直线位置关系的判断方法，本题也可将方程化为斜截式.变式若直线l1经过不同的两点A(2a+2，0)，B(2，2)，l2经过不同的两点C(0，1+a)，D(1，1).(1)若l1l2，求实数a的值；(2)若l1l2，求实数a的值.【思维引导】利用斜率公式求出斜率，判断求解.【解答】当a=0时，A(2，0)，B(2，2)，C(0，1)，D(1，1).此时kAB不存在，而kCD=0，所以l1l2.当a=-1时，A(0，0)，B(2，2)，C(0，0)，D(1，1)，kAB=kCD=1，又均过原点(0，0)，所以l1与l2重合.当a0且a-1时，kAB=-，kCD=-a.若l1l2，则kAB=kCD，即-=-a，得a=1或a=-1(舍去)；若l1l2，则kABkCD=-1，即(-a)=-1，a不存在.综上， 当a=1时，l1l2；当a=0时，l1l2.对称问题例2已知直线l：x+2y-2=0.(1)求直线l1：y=x-2关于直线l对称的直线l2的方程；(2)求直线l关于点(1，1)对称的直线方程.【思维引导】求对称点或直线，都可以通过构造方程(组)来求解相应量.比如解决点与点关于直线对称的问题时，常利用中点公式和垂直关系列方程组来解决.特别地，当对称轴的斜率为1时，可用替换法.而关于点成中心对称问题，则可利用中点公式.【解答】(1)因为直线l1：y=x-2关于直线l对称的直线为l2，所以l2上任一点P(x，y)关于l的对称点P(x，y)一定在直线l1上，反之也成立.由得 把(x，y)代入方程y=x-2并整理，得7x-y-14=0.即直线l2的方程为7x-y-14=0.(2)设直线l关于点A(1，1)的对称直线为l，则直线l上任一点P(x1，y1)关于点A的对称点P(x，y)一定在直线l上，反之也成立.由得将(x1，y1)代入直线l的方程，得x+2y-4=0，所以直线l的方程为x+2y-4=0.【精要点评】关于点与直线之间的对称问题有若干种，但每一个对称问题都有相应且具体的解决方案.比如解决点关于直线对称的问题时就要把握两点：若点M与点N关于直线l对称，则线段MN的中点在直线l上，且直线l与直线MN垂直.若是直线或点关于点成中心对称的问题，那么只需运用中点公式就可解决.若直线l1，l2关于直线l对称，则可结合如下性质：若直线l1与l2相交，则交点在直线l上；若点B在直线l1上，则其关于直线l的对称点B在直线l2上.变式(1)点P(4，0)关于直线5x+4y+21=0的对称点的坐标是.(2)直线l：2x-3y+1=0关于点A(-1，-2)对称的直线l的方程是.(3)直线l1：2x+y-4=0关于直线l：3x+4y-1=0对称的直线l2的方程是.【答案】(1)(-6，-8)(2)2x-3y-9=0(3)2x+11y+16=0【解析】(1)设点P(4，0)关于直线5x+4y+21=0的对称点为P1(x1，y1)，由题意知PP1的中点M在对称轴5x+4y+21=0上，且PP1与对称轴垂直，则有解得x1=-6，y1=-8，所以P1(-6，-8).(2)设点Q(a，b)是直线l上任意一点，点Q(a，b)关于点A(-1，-2)的对称点为Q(x，y)，则解得因为点Q(a，b)在直线l上，所以2(-2-x)-3(-4-y)+1=0，即2x-3y-9=0.(3)在直线l1上取一点A(2，0)，又设点A关于直线l的对称点为B(x0，y0)，则解得B.又l1与l的交点为M(3，-2)，故由两点式可求得直线l2的方程为2x+11y+16=0.距离问题例3已知点P(2，-1).(1)求过点P且与原点距离为2的直线l的方程；(2)求过点P且与原点距离最大的直线l的方程，并求此最大距离.【思维引导】已知直线过定点求方程，首先想到的是求斜率或设方程的斜截式，但不要忘记斜率不存在的直线是否满足题意.若满足，可先把它求出，然后再考虑斜率存在的一般情况.图形中量的最值问题往往可由几何原理作依据解决.【解答】(1)当直线l的斜率不存在时，其方程为x=2，满足条件.当直线l的斜率存在时，设方程为y+1=k(x-2)，即kx-y-2k-1=0，由已知，得=2，解得k=，此时l的方程为3x-4y-10=0.综上，直线l的方程为x=2或3x-4y-10=0.(2)由题可知过点P与原点O距离最大的直线与PO垂直，即lOP，klkOP=-1，所以kl=-=2.所以直线l的方程为y+1=2(x-2)，即2x-y-5=0，此时最大距离为=.【精要点评】若动直线l过定点A，直线外一点B到直线l的距离满足BHBA，即最大值为AB(当且仅当l与直线AB垂直时成立).变式1到直线l：3x-4y+3=0距离为1的直线的方程为.【答案】3x-4y+8=0或3x-4y-2=0【解析】设所求直线l的方程为3x-4y+m=0，由两直线间距离为1，知=1，得m=8或-2，所以所求直线方程为3x-4y+8=0或3x-4y-2=0.变式2已知点P(-1，3)，那么过点P与原点距离最大的直线l的方程是.【答案】x-3y+10=0【解析】过点P且与原点距离最大的直线l垂直于直线OP，所以直线l的斜率为，所以直线l的方程为y-3=(x+1)，即x-3y+10=0.1.经过直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交点，且垂直于直线3x+4y-7=0的直线方程为.【答案】4x-3y+9=0【解析】联立直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0，解得交点为，由已知垂直关系可求得所求直线的斜率为，进而得所求直线方程为4x-3y+9=0.2.点P(-1，3)到直线l：y=k(x-2)的距离的最大值等于.【答案】3【解析】方法一：将直线l：y=k(x-2)的方程化为kx-y-2k=0，所以点P(-1，3)到直线l的距离d=3，由于1，所以d3.方法二：直线l：y=k(x-2)过定点Q(2，0)，所以所求距离的最大值即为PQ=3.3.已知直线l经过点P(3，1)，且被两平行直线l1：x+y+1=0和l2：x+y+6=0截得的线段之长为5，则直线l的方程为.【答案】x=3或y=1【解析】由题意得，直线l1，l2之间的距离为d=，且直线l被平行直线l1，l2所截得的线段AB的长为5(如图).(第3题)设直线l与直线l1的夹角为，则sin =，故=45.由直线l1：x+y+1=0的倾斜角为135，知直线l的倾斜角为0或90.又直线l过点P(3，1)，故直线l的方程为x=3或y=1.4.(2015宿迁一模)已知光线通过点M(-3，4)，被直线l：x-y+3=0反射，反射光线通过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程是.【答案】y=6x-6【解析】由题意得反射光线经过点M(-3，4)关于直线l的对称点Q(x，y)与点N(2，6).由解得所以Q(1，0)，所以反射光线所在直线的方程为=，即y=6x-6.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习第109110页.【检测与评估】第55课两条直线的位置关系一、 填空题1.两平行直线x+3y-4=0与2x+6y-9=0的距离为.2.若直线l过点(-1，2)且与直线2x-3y+4=0垂直，则直线l的方程为.3.若直线x+ay=2a+2与直线ax+y=a+1平行，则实数a的值为.4.若直线l经过直线2x-y+3=0和3x-y+2=0的交点，且与直线y=2x-1垂直，则直线l的方程为.5.已知直线l：x+2y-2=0，那么点P(-2，-1)关于直线l的对称点的坐标为.6.已知直线l到直线l1：2x-y+3=0和l2：2x-y-1=0的距离相等，那么直线l的方程为.7.已知直线l：y=3x+3，那么直线x-y-2=0关于直线l对称的直线方程为.8.已知点P(-2，-2)，Q(0，-1)，取一点R(2，m)，使PR+RQ最小，那么实数m的值为.二、 解答题 9.已知直线l1：(m+3)x+2y=5-3m，l2：4x+(5+m)y=16，求分别满足下列条件的m的值.(1)l1与l2相交；(2)l1与l2平行；(3)l1与l2重合；(4)l1与l2垂直.10.已知直线l1：ax-by+4=0，直线l2：(a-1)x+y+b=0，求分别满足下列条件的a，b的值：(1)直线l1过点(-3，-1)，且直线l1与l2垂直；(2)直线l1与直线l2平行，且坐标原点到l1，l2的距离相等.11.若直线y=2x是ABC中角C的平分线所在的直线，且A，B的坐标分别为A(-4，2)，B(3，1)，求顶点C的坐标，并判断ABC的形状.三、 选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.若动点A，B分别在直线l1：x+y-7=0和l2：x+y-5=0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为.13.若ABC的顶点为A(3，-1)，AB边上的中线所在的直线方程为6x+10y-59=0，角B的平分线所在的直线方程为x-4y+10=0，则BC边所在的直线方程为.【检测与评估答案】第55课两条直线的位置关系1.2. 3x+2y-1=0【解析】由题意知直线l的斜率为-，因此直线l的方程为y-2=-(x+1)，即3x+2y-1=0.3.1【解析】由平行直线斜率相等得=a，解得a=1，由于当a=-1时两直线重合，所以a=1. 4.x+2y-11=0【解析】由得即交点(1，5)，直线y=2x-1的斜率k=2，与其垂直的直线斜率为-=-，所以所求直线方程为y-5=-(x-1)，即x+2y-11=0.5.【解析】设点P关于直线l的对称点为P(x0，y0)，则线段PP的中点M在对称轴l上，且PPl，所以解得即点P的坐标为.6.2x-y+1=0【解析】因为直线l到两直线的距离相等，所以直线l一定与两直线平行.设直线l为2x-y+m=0，则由两条平行线之间的距离公式有=，解得m=1，所以直线l的方程为2x-y+1=0.7.7x+y+22=0【解析】由 得交点坐标P.又直线x-y-2=0上的点Q(2，0)关于直线l的对称点为Q，故所求直线(即PQ)的方程为=，即7x+y+22=0.8. -【解析】因为R(2，m)在直线x=2上，又P(-2，-2)，Q(0，-1)在直线x=2的同侧，所以可求得P(-2，-2)关于直线x=2的对称点P(6，-2)，所以(PR+RQ)min=PQ，于是所求的R(2，m)为直线PQ与直线x=2的交点.由P，R，Q三点共线，得=，解得m=-.9. 可先从平行的条件=(化为a1b2=a2b1)着手.由=，得m2+8m+7=0，解得m1=-1，m2=-7.由=，得m=-1.(1) 当m-1且m-7时，l1与l2相交.(2) 当m=-7时，=.l1l2.(3) 当m=-1时，=，l1与l2重合.(4) 当a1a2+b1b2=0，即(m+3)4+2(5+m)=0，m=-时，l1l2.10. (1) 因为l1l2，所以a(a-1)+(-b)1=0，即a2-a-b=0.又点(-3，-1)在l1上，所以-3a+b+4=0.由解得a=2，b=2.(2) 因为l1l2，所以=1-a，所以b=，故l1和l2的方程可分别表示为(a-1)x+y+=0，(a-1)x+y+=0.又原点到l1，l2的距离相等，所以4=，所以a=2或，所以a=2，b=-2或a=，b=2.11. 由题意画出大致图象如图所示，设点A(-4，2)关于直线l：y=2x的对称点为A(a，b)，则点A必在直线BC上.由对称性可得解得所以A(4，-2).所以直线BC的方程为=，即3x+y-10=0.由得C(2，4).所以kAC=，kBC=-3，所以ACBC.所以ABC是直角三角形.(第11题)12.3【解析】依题意知AB的中点M的集合为与直线l1：x+y-7=0和l2：x+y-5=0距离都相等的直线，则点M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离，设点M所在直线的方程为l：x+y+m=0，根据平行线间的距离公式得=，|m+7|=|m+5|，解得m=-6，所以l的方程为x+y-6=0，根据点到直线的距离公式，得点M到原点的距离的最小值为=3.13.2x+9y-65=0.【解析】设B(4y1-10，y1)，由线段AB的中点在直线6x+10y-59=0上，可得6+10-59=0，解得y1=5，所以B(10，5).设点A关于x-4y+10=0的对称点为A(x，y)，则有即A(1，7).故BC边所在的直线方程为2x+9y-65=0.